863平面与平面垂直（第1课时平面与平面垂直的判定定理）（精讲）

8.6.3平面与平面垂直（第1课时平面与平面垂直的判定定理）(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:判断面面垂直题型2:证明面面垂直题型3:补全面面垂直的条件题型4:二面角的概念及辨析题型5:求二面角题型6:二面角最值问题题型7:由二面角求参数三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：二面角（1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．（2）符号语言：①二面角.②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.知识点2：二面角的平面角（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）说明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.知识点3：二面角的平面角求法（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.（2）三垂线定理及其逆定理①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到).知识点4：求二面角的平面角步骤(1)找到或作出二面角的平面角；(2)证明(1)中的角就是所求的角；(3)计算出此角的大小以上步骤可概括为“一作、二证、三计算”知识点5：平面与平面垂直（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.（2）符号语言:（3）图形语言知识点4：平面与平面垂直的判定定理（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)（2）符号（图形）语言:，（3）应用：线面垂直面面垂直.二、重点题型分类研究题型1:判断面面垂直典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设，，是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】A选项，若，则可能异面，所以A选项错误.B选项，若，则可能，所以B选项错误.C选项，若，根据面面垂直的判定定理可知，所以C选项正确.D选项，若，则可能，所以D选项错误.故选：C例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】C【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选：C例题3．（2022·高一课时练习）如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有________．【答案】平面，平面，平面【详解】连接面对角线，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面，同理可知平面⊥平面，平面⊥平面.故答案为：平面，平面，平面.同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【答案】C【详解】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于,若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则与平行或相交，故错误；对于,若m∥α，m∥n，则n∥α或，故错误；对于,若m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确；对于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则或与相交或∥，故错误.故选：.2．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【详解】因为，所以，又因为，所以，即“”是“”的充分条件；如图，在长方体中，设面为面、面为面，则，且与面不垂直，即“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．（2022秋·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考阶段练习）如图所示，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（

）①直线直线

②直线直线③直线平面

④平面平面A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】D【详解】取的中点．连，则，平面平面，平面平面，平面平面，，假设，因为与交于，平面，，这与相矛盾，故假设不成立，即直线与直线垂直不成立．由平面平面，平面平面，平面，且，可得平面，又平面，所以直线直线，又平面，所以平面平面，所以①错误，②③④正确.故选：D．题型2:证明面面垂直典型例题例题1．（2023秋·江西·高三校联考期末）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，因为是菱形，所以，且是的中点，所以且，又，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）设到平面的距离为，因为平面，平面,所以,因为,平面，所以平面，且平面,所以,因为，，所以，所以,,,所以且,所以,取中点为，连接,因为是菱形，，所以为等边三角形，所以,且,又因为平面，平面,所以,且平面,所以平面,又因为,因为，即,所以.例题2．（2023·广西梧州·统考一模）边长为1的正方形中，点，分别是，的中点，现将，分别沿，折起，使得，两点重合于点，连接，得到四棱锥.(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：在正方形中有，，，，又因为，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）连接MN,由题意可得，，，由，所以为直角三角形，即，，设点到平面的距离为，由得，，即，得，即四棱锥的体积为例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．(1)求证：；(2)求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD，因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.（2）因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.例题4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，直三棱柱中，为中点．(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析（1）连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，因为为中点，所以MF是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为直三棱柱上下底面为正三角形，，，所以，所以，所以，即，由三线合一可得：，又因为平面ABC，平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以因为所以平面，因为平面，所以平面平面同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面圆的一条直径，且点是弧的中点，点是的中点，，．(1)求圆锥的表面积；(2)求证：平面平面．【答案】(1)(2)证明见解析（1）圆锥的侧面积，底面积，故表面积.（2）证明：由圆锥的性质知，平面，因为平面，所以，因为是底面圆的一条直径，所以又是的中点，所以，又，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面．2．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）如图所示，在三棱锥中，，，，点，分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求四面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）因为，所以，，又因为，，平面，所以平面，又由平面，所以，因为，为的中点，所以，又由，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）由（1）可得为三棱锥的高，因为点，分别为，的中点，所以，，由余弦定理可得，因为，，所以，可得，所以，即四面体的体积为.3．（2023秋·江西新余·高三统考期末）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.(1)证明：平面；(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）易知分别为的中点，是的中位线，，平面平面，平面；（2）底面平面，又平面，且，平面，又平面，四边形是正方形，，平面，平面，又平面平面平面.4．（2023秋·江西景德镇·高三统考阶段练习）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面，且M是的中点．(1)证明：平面平面；(2)若，求四面体的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）过作的平行线交分别于点，连接，如下所示：因为是正三棱柱，故可得面面，故；又三角形为等边三角形，为中点，故；又面，，故面；因为，则确定一个平面，即面，又面，面面，故可得，则面，又面，故面面.（2）根据（1）中所证，可得，故四边形为平行四边形，在△中，因为，且点为中点，故可得，又，则，所以，又正三棱柱中到平面的距离为，即到平面的距离，所以.题型3:补全面面垂直的条件典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，，是上的一动点，当点满足___________时，平面平面.（只要填写一个你认为正确的条件即可）【答案】（或，等都可）【详解】解：可填，由为菱形，则，∵平面，平面，所以，又，∴平面，又平面，∴，又，，所以平面MBD，又因平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.故答案为：.（或，等都可）例题2．（2022春·安徽黄山·高一统考期末）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为，是的中点.(1)请在棱与上各找一点和，使平面平面，作出图形并说明理由；(2)求异面直线与所成角的正切值；(3)问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)(3)答案见解析（1）分别取AB，BC的中点M，N，连接MN，NE，则平面MNE//平面PAC证明：在中，M，E分别为AB，PB的中点，所以ME//AP，同理，NE//PC，又平面平面所以ME//平面PAC，同理NE//平面PAC又ME，所以平面MNE//平面PAC

（2）连接，，因为分别是的中点，所以，故为异面直线与所成的角或其补角．因为，，平面，所以平面．又平面，所以．设四棱锥的底面边长为，取中点为,连接由于,故为侧面与底面所成的二面角的平面角，故，在中,，所以，所以；（3）存在点F符合题意，且AF=AD，证明：取OB得中点Q，连接，在中，Q，E分别为BP，BO的中点，所以QE//PO，所以QE⊥平面ABCD，因为BC平面ABCD，所以QE⊥BC,又在中，，,所以QF//AB，所以QF⊥BC，又,所以BC⊥平面QEF，所以BC⊥EF在，PF==,BF==所以，故又所以平面PBC,所以存在点F符合题意。所以存在这样的F点，且例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，.在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.【答案】存在，【详解】当点为的中点，即时，平面平面.证明如下：设的中点为，连接，，因为，分别为，的中点，所以且，又为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，故，因为，M为棱的中点，故,又因为平面ABC,平面ABC,故，由平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面.同类题型演练1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点．(1)在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．(2)为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值．【答案】(1)存在，E为AD的中点(2)（1）在线段AD上存在点E满足题意，且E为AD的中点．如图，取AD中点E连接EF，SE，SF，因为四边形ABCD是矩形，所以．又E，F分别是AD，BC的中点，所以，．因为为等腰直角三角形，，E为AD的中点，所以．因为，平面，平面，所以平面．又平面．所以平面平面．故AD上存在中点E，使得平面平面．（2）过点E作于点G，由（1）知平面，又则平面，平面，所以，又，所以平面，所以直线SE与平面SBC所成的角为，由为等腰直角三角形，，得，．又，因为为等边三角形，，所以,在中，，所以．则，即直线与平面所成角的正弦值为．2．（2022·高一单元测试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上的一点，且，为线段上的动点.(1)当为何值时，平面平面，并说明理由；(2)若，，平面平面，，求出点到平面的距离.【答案】(1)，理由见解析(2)(1)解：当时，平面平面，理由如下：因为底面，平面，所以，因为为矩形，所以，又，所以平面.因为平面，所以.因为，所以为线段的中点，又因为，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面.(2)解：因为平面平面，由（1）可知为的中点.因为底面，所以点到底面的距离为，所以，因为，所以，所以，，平面，平面，则，同理可知，，为的中点，则，，所以，，设点到平面的距离为，由得，解得.3．（2022·高一课时练习）如图，在四棱锥中四边形为平行四边形，，是正三角形，且．(1)当点M在线段上什么位置时，有平面？(2)在（1）的条件下，点N在线段上什么位置时，有平面平面？【答案】(1)当点为线段的中点时，有平面，证明见解析．(2)点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面【详解】（1）解：当点为线段的中点时，有平面．下面先证明：平面．四边形是平行四边形，．又，即，，，平面，平面，，从而平面，平面．．是正三角形，，，又，平面，平面，平面．（2）解：在（1）的条件下，点时，有平面平面，即点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面．下面给出证明：在（1）的条件下，平面，平面．，又．，平面，平面平面．因为平面平面平面．不妨设，则，．则，即，解得．．点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面．题型4:二面角的概念及辨析典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）自二面角棱上任选一点，若是二面角的平面角，则必须具有条件（），， B．，C．，， D．，，且，【答案】D【详解】根据题意，是与平面的交线，则根据二面角的定义，若，，且,则为二面角的平面角故选：D例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，∴，，，即面，而面，∴，又面面，，∴由二面角的定义：为二面角的平面角.故选：C例题3．（2022·宁夏银川·银川一中校考一模）过正方体的顶点作平面，使正方形､正方形､正方形所在平面与平面所成的二面角的平面角相等，则这样的平面可以作（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【详解】如图所示，由正方形可知，三棱锥为正三棱锥，所以平面与平面，平面，平面所成角均相等，所以平面平面，同理，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以平面，平面，平面与平面，平面，平面所成角均相等，所以有4个，故选：D.同类题型演练1．（2023·上海·高二专题练习）若两个半平面所成二面角的大小为.则的取值范围是______【答案】##【详解】因为两个半平面所成二面角的大小为，所以的取值范围是.故答案为：.2．（2022·全国·高一专题练习）若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（

）A．相等 B．互补C．相等或互补 D．不确定【答案】C【详解】若方向相同则相等，若方向相反则互补，故选：C.3．（2022·高一课时练习）如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是______．【答案】##【详解】设二面角的大小为，因为，，垂足为、，所以，又，所以.故答案为：题型5:求二面角典型例题例题1．（2023秋·北京西城·高二统考期末）在长方体中，，则二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】长方体中，，，，平面,平面,,又平面平面，为二面角所成的平面角，，所以二面角的余弦值为.故选：D.例题2．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为4，，且平面.(1)求点到平面的距离；(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【详解】（1）设点到平面的距离为，因为，三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为，又由，得，解得.（2）由已知设，，则，，取的中点，连接，如图所示：则，由平面平面，知面，故，又，从而平面.故，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，又，得.在平面内作于，则，在平面内，作于，连接，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，则二面角的平面角为.在直角中，，故，，即所求二面角的余弦值为.例题3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为的垂心，连接.(1)证明：；(2)若平面把三棱锥分成体积相等的两部分，与平面所成角的，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).（1）连接并延长交于点，连接，如图，因为为的垂心，所以.因为，，所以面.因为面，所以，因为，所以面，又面，所以.（2）由（1）知，面把三棱锥分成两个三棱锥.因为两个三棱锥的体积相等，所以到面的距离相等，即为的中点.因为，所以.因为面，所以为与面所成的角，，因为，所以所求平面与平面所成二面角的平面角为，且，所以平面与平面所成二面角的余弦值为.例题4．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，.(1)求证：；(2)求平面与平面所成的二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意可知，，又，所以，连接，如下图所示：由，可知，是正三角形，又点为棱的中点，所以，平面，平面，，所以平面，平面所以.（2）由（1）知，，根据二面角定义可知，即为所求二面角的平面角或其补角，在正三角形中，，所以，因为，，所以，又，且，所以平面，而平面，所以，在中，，所以，于是平面与平面所成的二面角的正弦值为同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）如图1，是等边三角形，是直角三角形，BD⊥BC，，将沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2.(1)证明：BC⊥平面ABD；(2)求平面ABC与平面BCD所成的二面角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：由已知，折叠后的几何体是三棱锥，取的中点，连接，因为是等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面BCD＝BD，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，所以平面；（2）解：由（1）知平面.因为平面，所以，又，所以平面与平面所成的角为，因为是等边三角形，所以，所以平面与平面所成角的正切值.2．（2023·全国·高三专题练习）如图．正方体中，棱长为1，(1)求证：AC⊥平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：∵在正方体中，平面ABCD，又平面ABCD，∴，∵，，，BD，平面，∴AC⊥平面；（2）∵，所以，又，而，面BAC，∴为二面角的平面角．在中，，，∴，∴．3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若，求二面角B—PC—A的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且BD平面ABCD，所以，又因为PC⊥平面BDE，BD平面BDE，所以，且平面PAC、PC平面PAC所以BD⊥平面PAC．（2）（2）设AC，BD的交点为O，过点O作于点F，连接BF由（1）知，BD⊥平面PAC，且OF平面PAC，所以，即△OBF为直角三角形且，OF平面BDF，BO平面BDF，所以PC⊥平面BOF，BF平面BOF，所以，所以∠BFO为二面角B—PC—A的平面角由（1）知，所以ABCD为正方形.且在Rt△BFO中，，则，所以二面角B—PC—A的正切值为．4．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥PABCD中，ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为棱PC的中点.(1)求证：平面EBD⊥平面PAC；(2)若，，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）证明：由ABCD为菱形得，又PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故PA⊥BD，由平面PAC，故平面PAC，由平面EBD，故平面EBD⊥平面PAC；（2）作平行四边形ABNP，PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故PA⊥AB，即PA⊥NP，又平面ABNP，故平面ABNP⊥平面ABCD，取CD中点M，由菱形ABCD的得AM⊥CD，即AM⊥AB，由平面ABNP平面ABCD，平面ABCD，故AM⊥平面ABNP，∵平面PAM，，∴平面PAM，又平面PAM，故，由平面ABNP平面NCDP，故为平面PAB与平面PCD夹角，设，则，故，故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为题型6:二面角最值问题典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测）在直三棱柱中，，，，，为线段的三等分点，点在线段上（包括端点）运动，则二面角的正弦值的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在直三棱柱中,平面ABC，且平面ABC，故，又，，所以，.如图，过点作交于点，则，故平面ABC，因为平面ABC，故，过点作交AB于点，连接DN，因为平面，平面，且，所以平面，又平面，则，故即二面角的平面角.设，在直角中，，所以，，所以，.所以，则，易知在上的值域为，所以.故选：C.例题2．（2022春·吉林·高一吉林省实验校考期中）已知矩形满足，现将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的射影为点．(1)若点恰好落在边上，①求证：平面；②当，时，求边长度的最小值；(2)当时，若点恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的平面角余弦值的取值范围．【答案】(1)①证明见解析；②.(2)(1)解：①证明：因为点在平面上年的射影为，点恰好落在边大红，所以平面平面，又由，所以平面，因为平面，所以，又因为且，平面，所以平面.②解：因为平面，平面，所以，又由，所以，记，，则，又因为，所以，可得，由矩形，可得，又由平面，平面，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以，在直角中，则当且仅当时，即时，等号成立，所以有最小值，最小值为.(2)解：作，交于点，交于点，连接，由，所以为二面角的平面角，所以，因为点恰好落在的内部（不包括边界），则点恰好在线段上，当点与点重合时，可得，此时；当点与点重合时，此时因为，所以，不妨设，则，在直角中，可得，又由直角三角形的射影定理，可得，可得，则，根据，可得，所以，此时，所以，即二面角的余弦值的取值范围是.同类题型演练1．（2022秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校联考阶段练习）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A､B的任意一点，且.求证：(1)平面平面PBC；(2)当点C（不与A､B重合）在圆周上运动时，求平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围.【答案】(1)证明见解析(2)（1）因为PA垂直于所在的平面ABC，平面ABC，所以，，因为AB是的直径，所以，因为平面PAC，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PBC（2）因为平面PAC，平面PAC，所以，又，所以即为平面PBC与所在的平面所成二面角的平面角，设，圆O的半径为R，则，又，所以，因为，所以，所以，因为所以，所以平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围为2．（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）已知矩形，设是边上的点，且，现将沿者直线翻折至，(1)当为何值时，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值；(2)设二面角的大小为，求的最大值.【答案】(1)为，正切值是(2)（1）当为时，可以使面面.证明如下：取中点，则.在中，，此时.又平面平面面面此时面为在面上的射影是与面所成角在中，，即直线与平面所成角的正切值是（2）作，垂足为，且面，则面，作，垂足为，则，设则，，当且仅当时，取到等号，故的最大值为.题型7:由二面角求参数典型例题例题1．（2023·上海·高二专题练习）二面角的大小是60°，在该二面角内有一点到的距离是3，到的距离是5，又动点和，，，则的周长的最小值是（

）A． B． C．12 D．14【答案】D【详解】解：如图，作出关于两个平面，的对称点、，交平面，分别为，，过点，分别作，垂直直线，连接，线段与两个平面的交点坐标分别为，，连接，，，，则的周长，当与重合，与重合时，由两点之间线段最短可以得出即为周长的最小值，根据题意可知：到二面角两个面的距离分别为3、5，，，面角的大小是60°，，，根据余弦定理有：，，周长的最小值等于．故选：D．例题2．（2023·四川广安·统考一模）已知是边长为3的正三角形的中心，点是平面外一点，平面，二面角的大小为60°，则三棱锥外接球的表面积为______．【答案】【详解】∵O是正三角形ABC的中心，则，∴，取的中点，连接，则，即二面角的平面角为，由正三角形ABC的边长为3，则，三棱锥为正三棱锥，则三棱锥的外接球的球心在直线上，设三棱锥的外接球的半径为，∵，则，解得，∴三棱锥外接球的表面积.故答案为：.例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，，，点是的中点．将沿折起，使，连接、、，得到三棱锥．(1)求证：平面平面；(2)若，二面角的大小为60°，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)(1)，，，故平面，平面，故，，，故平面，平面BCD，故平面平面BCD.(2)如图所示：分别为的中点，连接，分别为中点，故，平面，故平面，平面，故.分别为中点，故，，故，，故平面，故为二面角的平面角，即，设，则，，，，，，根据的等面积法：，解得..同类题型演练1．（2023·上海·高二专题练习）已知二面角的大小为，直线分别在平面内且都垂直于棱，则与所成角的大小为__________.【答案】【详解】因为二面角的大小为，直线分别在平面内且都垂直于棱，所以与所成角的大小为故答案为：2．（2023·上海·高二专题练习）已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为，则该四棱锥的侧面积为______．【答案】8【详解】如图,在正四棱锥VABCD中,底面正方形ABCD边长为2.侧面VAB与底面ABCD所成二面角的大小为60°,过V作平面ABC的垂线VO,交平面ABC于O点,过作OE⊥AB,交AB于E.连结VE,则∠VEO是二面角VABC的平面角,∴∠VEO=60°,OE=AE=BE=1,∴，∴cos∠VEO=,∴该四棱锥的侧面积.故答案为：83．（2023·上海·高二专题练习）如图所示，圆锥的底面圆半径，母线.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)如图，半平面与半平面所成二面角大小为，设线段中点为，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)体积为，侧面展开图扇形的面积为.(2)【详解】（1）解：由题意可知，，圆锥的体积为，该圆锥的侧面展开图扇形的面积为.（2）解：在圆锥中，平面，、平面，，，所以，二面角的平面角为，取的中点，连接、，、分别为、的中点，则且，所以，异面直线与所成的角为或其补角，，，则，，在中，，，，由余弦定理可得，由余弦定理可得.因此，异面直线与所成角的余弦值为.三、高考（模拟）题体验1．（2022·四川资阳·统考二模）如图，在长方体中，底面为正方形，，分别为，的中点，点是棱上靠近的三等分点，直线与平面所成角为.给出以下4个结论：①平面；

②；③平面平面；