第03讲二项式定理精讲

第03讲二项式定理(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：二项展开式的通项及其应用角度1：求二项展开式的特定项（或系数）角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题题型二：二项式系数与各项的系数和问题角度1：二项式系数和与系数和角度2：展开式的逆应用题型三：项式系数的性质角度1:二项式系数最大问题角度2：系数最大问题第四部分：高考真题感悟第一部分：知第一部分：知识点精准记忆知识点一：二项式定理（1）二项式定理一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.（2）二项展开式公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.（3）二项式系数与项的系数二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.（4）二项展开式的通项二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.知识点二：二项式系数的性质①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.知识点三：各二项式系数和（1）展开式的各二项式系数和：；（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：第二部分：课第二部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高二课时练习）若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【详解】解：设，令得，解得．故选：D2．（2022·云南昆明·高二期中）已知，则（

）A．31 B．32 C．15 D．16【答案】A【详解】逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以．故选:A3．（2022·全国·高二单元测试）的展开式中各项的二项式系数之和为________．【答案】512【详解】的展开式中各项的二项式系数之和为．故答案为：512．4．（2022·广西贵港·高二期末（理））在展开式中，含的项的系数是__________．【答案】20【详解】的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，故在展开式中，含的项的系数为20．故答案为：205．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）（1）已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，则__________.（2）__________.【答案】

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21【详解】（1）根据二项式定理可知，，所以；（2）根据组合数性质可知，，解得，又因为，所以，所以.故答案为：5；21第三部分：典第三部分：典型例题剖析题型一：二项展开式的通项及其应用角度1：求二项展开式的特定项（或系数）典型例题例题1．（2022·四川广安·模拟预测（理））在的展开式中，常数项为（

）A．60 B．60 C．240 D．240【答案】D【详解】由题知，展开式中第项，令，得，所以展开式中常数项为.故选：D例题2．（2022·河北·唐山市第五中学高三开学考试）的二项展开式中第三项是（

）A． B．240 C． D．【答案】D【详解】由题意可得的二项展开式中第三项是，故选：D同类题型归类练1．（2022·云南红河·高二期末）的展开式中的常数项为________（用数字作答）．【答案】135【详解】的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的常数项为.故答案为：135.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）求二项式展开式的第7项及含的项的系数．【答案】；．【详解】解：二项式展开式的通项为所以展开式的第项为，令，所以，所以含的项的系数为．角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题典型例题例题1．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）的展开式中的项系数为（

）A．30 B．10 C．30 D．10【答案】B【详解】因为，的通项为：令，则，令，则，所以的系数为．故选：B.例题2．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）若的展开式中的系数为0，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为的展开式中的系数为，的系数为，所以的展开式中的系数为，由，得.故选：C.例题3．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）的展开式中，含项的系数为（

）A．160 B．140 C．120 D．100【答案】A【详解】的展开式中，含项为，故选：A例题4．（2022·福建福州·高二期末）在的展开式中，记项的系数为，则_____.【答案】75【详解】的展开式中含的项为，含的项为，则，.故答案为：75.同类题型归类练1．（2022·四川省资阳中学高二期末（理））展开式中的系数为（

）A． B． C．20 D．40【答案】A【详解】解：因为，其中展开式的通项为，所以展开式中的系数为.故选：A2．（2022·浙江舟山·高二期末）的展开式中的常数项为___________.【答案】【详解】，对于，通项公式为，令，得r=3，；对于，通项公式为，不存在常数项；∴常数项为10；故答案为：10.3．（2022·全国·高二课时练习）已知正整数，若的展开式中不含的项，则n=______．【答案】10【详解】因为的展开式的通项为，所以展开式中的系数为，的系数为．又，所以若展开式中不含，则，由组合数的性质以及，得．故答案为：4．（2022·福建省福州第二中学高二期末）的展开式中的系数为___________.【答案】【详解】展开式的通项为：由于，所以当当时，，当当时，，所以的展开式中的项为，，所以的展开式中的系数为.故答案为：.角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）的展开式中，的系数是（

）A．120 B．120 C．60 D．30【答案】A【详解】，展开式的第项为，令，可得第3项为，的展开式的第项为，令，可得第3项为，所以的展开式中，的系数是．故选：A．例题2．（2022·山东济南·高二期末）的展开式中，所有不含的项的系数之和为（

）A．16 B．32 C．27 D．81【答案】D【详解】解：展开式的通项公式为，若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项，令，可得所有不含z的项的系数之和为，故选：D.例题3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））的展开式中的系数是___________（用数字作答）【答案】【详解】展开式通项为：；展开式通项为：；则当，时，的系数为；当，时，的系数为；当，时，的系数为；当，时，的系数为；的展开式中的系数为.故答案为：.同类题型归类练1．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（

）A．21 B．15 C．9 D．6【答案】C【详解】解：，可知含项的系数是．故选：C．2．（2022·广东·中山一中高三阶段练习）的展开式中，含项的系数为___________.【答案】【详解】相乘的5项中，含的项只能由4个2与1个相乘所得，故含项的系数为.故答案为：3．（2022·全国·高二课时练习）的展开式中的系数是______（用数字作答）．【答案】4480【详解】解：，其展开式的通项为，令，则，的通项为，令的系数为.所以的展开式中的系数是.故答案为：44804．（2022·上海·复旦附中高二期末）在的展开式中，项的系数为___________.【答案】【详解】由题设，展开式通项可写为，而项中的指数为0，故项包含于，所以，则有.故答案为：题型二：二项式系数与各项的系数和问题角度1：二项式系数和与系数和典型例题例题1．（2022·河南河南·高二期末（理））的展开式中所有奇数项的二项式系数和为（

）．A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】C【详解】解：的展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故选：C．例题2．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）已知的展开式中各项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为（

）A．70 B．70 C．40 D．30【答案】B【详解】解：依题意可得，所以，则展开式的通项为，令，解得，所以展开式中常数项为；故选：B例题3．（2022·河北唐山·高二期中）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．(1)求展开式中各项系数的和与二项式系数的和；(2)求展开式中含的项．【答案】(1)二项式系数之和为，展开式中各项系数的和为1(2)(1)解：因为的展开式的通项为，所以第五项系数为，第三项系数为，则，解得或（舍），所以令可得展开式中各项系数的和为1，二项式系数和为；(2)解：二项式的通项公式为，令，则，所以展开式中含的项为．例题4．（2022·广东茂名·高二期中）已知.求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)1(2)2187(3)1094(1)令，得(2)令，得由的展开式的通项为，知，，，为负数所以(3)由，得，所以例题5．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）在①只有第5项的二项式系数最大，②第4项与第6项的二项式系数相等，③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知，的展开式中，_________.(1)展开式中的第6项；(2)若.①求的值；②求的值.【答案】(1)选①②③答案一样：(2)①0；②0(1)选①：只有第5项的二项式系数最大，即只有最大则，则展开式通项公式为，当时，；选②：第4项与第6项的二项式系数相等，即，则，则展开式通项公式为，当时，；选③：奇数项的二项式系数的和为128，即，则则展开式通项公式为，当时，；(2)①由第一问可知：，，令得：，令得：，所以②，求导得：，令得：同类题型归类练1．（2022·上海中学东校高二期末）（1）设，求①展开式中各二项式系数的和；②的值．【答案】（1）①；②；（2）13或14【详解】（1）①展开式中各二项式系数的和为；②令得：，令得：，所以，2．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）已知的展开式中各项的二项式系数之和为16．(1)求的值及展开式中各项的系数之和；(2)求展开式中的常数项．【答案】(1)；展开式中各项的系数之和为81.(2)24(1)由题意知，,解得．在展开式中，令x＝1，得展开式中各项的系数之和为.(2)展开式的通项为令，得，所以.即展开式中的常数项为24．3．（2022·广东·新会陈经纶中学高二期中）设(2－x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10·x10，求下列各式的值.(1)求a0；(2)求(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2；(3)求二项式系数的和.【答案】(1)1024(2)1(3)1024(1)令x=0，得a0=210=1024.(2)令x=1，可得a0+a1+a2+…+a10=(2－)10，①令x=－1，可得a0－a1+a2－a3+…+a10=(2+)10.②结合①②可得，(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0－a1+a2－…+a10)=(2－)10×(2+)10=1.(3)二项式系数的和为++…+=210=1024.4．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）.求：(1)；(2)；(3)；(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；(5).【答案】(1)1(2)(3)(4)，(5)第1012项.(6)4044（1）令，得①.（2）令，得②.由①②得，.（3）相当于求展开式的系数和，令，得.（4）展开式中二项式系数和是.展开式中偶数项的二项系数和是.（5）两边分别求导得：，令，得.5．（2022·重庆长寿·高二期末）二项式的展开式中，中间项的系数为160.(1)求的值；(2)求.【答案】(1)2；(2)729.(1)依题意，展开式的中间项为，因此，解得，所以的值是2.(2)由（1）知，显然，均为负数，另4项的系数为正数，取，有，所以.6．（2022·河北邯郸·高二阶段练习）已知(1)求；(2)求.【答案】(1)255(2)32895(1)令，则.令，则，①故.(2)令，则，②①+②可得，故.7．（2022·北京石景山·高二期末）在的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答）【答案】

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256【详解】在的展开式中，二项式系数之和为；令，，即各项系数和为.故答案为：①；②.8．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）二项式的展开式中所有的二项式系数之和为64，则______，则展开式中含的项的系数为____________．【答案】

【详解】解：由已知可得，解得，故的展开式的通项公式为，令，解得，则展开式中含项的系数为，故答案为：；．角度2：展开式的逆应用典型例题例题1．（2022·云南昆明·高二期中）已知，则（

）A．31 B．32 C．15 D．16【答案】A【详解】逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以．故选:A例题2．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）已知，则除以10所得的余数是（

）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】D【详解】解：，所以除以10的余数为8．故选：D．同类题型归类练1．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）除以78的余数是（

）A． B．1 C． D．87【答案】B【详解】因为所以，除了第一项之外，其余每一项都含有的倍数，所以原式除以的余数为1.故选:B．2．（2022·北京大兴·高二期末）化简等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，所以.故选：B3．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）数列中，，，的值为（

）A．761 B．697 C．518 D．454【答案】D【详解】解：因为，又，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则又，，所以，故选：D题型三：项式系数的性质角度1:二项式系数最大问题典型例题例题1．（2022·山西·祁县中学高二阶段练习）展开式中二项式系数最大的项是（

）A． B． C．和 D．和【答案】C【详解】展开式的通项公式为，因为展开式共有8项，所以第4项和第5项的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项为和，即为和，故选：C例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为第（

）项.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】的展开式通项为，第3项为，其系数为，倒数第3项为，其系数为，由题意，，所以，所以展开式中二项式系数最大的项为，即为展开式的第4项.故选：B.例题3．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为（

）A．960 B．960 C．1120 D．1680【答案】C【详解】因的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则有，解得，即的展开式共有9项，于是得展开式的第5项的二项式系数最大，，所以展开式中二项式系数最大的项的系数为1120.故选：C例题4．（2022·全国·高二课时练习）设若，则展开式中二项式系数最大的项是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题可知，，当时，，的展开式中，通项为：，则常数项对应的系数为：，即，得，所以，解得：，则展开式中二项式系数最大为：，则二项式系数最大的项为：故选：C．同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【详解】在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大，即，解得：故选：C．2．（2022·广东·广州市禺山高级中学高二期中）设若，则展开式中二项式系数最大的项是A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题可知，，当时，，的展开式中，通项公式为：，则常数项对应的系数为：，即，得，所以，解得：，则展开式中二项式系数最大为：，则二项式系数最大的项为：.故选：A.3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）的展开式中，二项式系数最大的项的系数是___________.【答案】【详解】解：因为的展开式有项，所以第项的二项式系数最大，所以的展开式中的二项式系数最大的项为.所以，的展开式中，二项式系数最大的项的系数是.故答案为：4．（2022·河北·高碑店市崇德实验中学高二阶段练习）已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为，则展开式中最大的二项式系数值为______．【答案】【详解】由题意，的展开式的通项为，所以展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，所以，即，得，所以展开式中最大的二项式系数值为或.故答案为：角度2：系数最大问题典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）设，若，则展开式中系数最大的项是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以当时，可得；当时，可得．又，所以，得，所以的展开式中系数最大的项