高二数学选择性模块综合检测卷（提高卷2）-2021-2022学年高二数学期中期末高效复习课（人教A版2019）

选择性必修第一册模块综合检测卷（提高卷2）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2021·昆明市外国语学校高二月考（理））如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得，再利用数量积运算性质即可得出．【详解】解：，，，，，．，，，即的长为.故选：A．2．（2021·天津市西青区杨柳青第一中学高二月考）直线：与：平行，则的值等于（）．A．或3 B．1或3 C．3 D．【答案】D【分析】根据两直线平行关系，列出方程，即可求解.【详解】由题意，直线：与：平行，可得，即，解得或，当时，直线：与：，此时；当时，直线：与：，此时与重合.故选：D.3．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（）A．1 B．－1 C． D．【答案】A【分析】设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得，所以，如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，此时取得最小值，又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．故选：A．4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考）设直线与圆交于、两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线的距离的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线的方程，并求出圆的圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可得出结果.【详解】圆的圆心为，由垂径定理可知，直线的斜率为，所以，直线的斜率为，故直线的方程为，即，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，因此，圆上的点到直线的距离的最小值为.故选：A.5．（2021·全国高二课时练习）已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出点，点的坐标，求出斜率，将点，的坐标代入方程，两式相减，再结合，即可求得离心率．【详解】设，，因为点A，连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，则，所以．因为点A，在双曲线上，所以，两式相减，得，所以，所以．故选：D.6．（2021·全国高二专题练习）如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则到的距离为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，因为，所以，，,所以点P到AB的距离．故选：C.7．（2021·江苏高二专题练习）点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为，由，解得或（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴，∴，当且仅当，且，即时等号成立．故选A．【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值．8．（2021·安徽六安一中高二开学考试（理））正方体的棱长为4，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16，则动点到点的最小值是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】作，，即为到直线的距离，从而可得，即点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线，然后建立平面直角坐标系求解.【详解】如图所示，作，为垂足，则面过点作，则面所以即为到直线的距离因为，所以所以点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线如图建立直角坐标系，则点的轨迹方程是点,设所以所以当，取得最大值故选：C【点睛】本题考查的是立体几何中的垂直关系、解析几何中抛物线的定义及最值问题，属于较难题.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2021·全国高二单元测试）将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的是（）A．B．是等边三角形C．与平面所成的角为90°D．与所成的角为30°【答案】AB【分析】首先画出几何体，由线面垂直的性质定理判断A是否正确；根据直二面角的条件计算的长度，判断是否是等边三角形，即可判断B的正误；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角通过向量方法转化为先求与夹角余弦值，然后根据余弦值即可得夹角大小，即可判断D的正误.【详解】对于A选项，如图，取的中点，连接，，，则，，又，平面，又平面，∴，A中结论正确；对于B选项，由直二面角，得，∴是等边三角形，B中结论正确；对于C选项，∵平面，∴是与平面所成的角，其大小为45°，C中结论错误；对于D选项，，不妨设，则，∴，∴，∴，即与所成的角为60°，D中结论错误.故选：AB.10．（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（）．A．直线的斜率可以等于0B．若直线与轴的夹角为30°，则或C．直线恒过点D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或【答案】BD【分析】讨论和时直线的斜率和截距情况，判断AD的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；将方程化为判断直线过定点，判断C的正误.【详解】当时，直线，斜率不存在，当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；∵直线与轴的夹角角为30°，∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，∴或，∴或，故B选项正确；直线的方程可化为，所以直线过定点，故C选项错误；当时，直线，在轴上的截距不存在，当时，令，得，令，得，令，得，故D选项正确．故选：BD．11．（2021·全国高二专题练习）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.则下列说法正确的是（）A．的最大值为B．若点，则的最小值为C．无论过点的直线在什么位置，总有D．若点在抛物线准线上的射影为，则、、三点共线【答案】ABCD【分析】对选项A，设直线，与抛物线联立，得到当且仅当与抛物线相切时，取得最大值，从而得到A正确；对选项B，利用抛物线的几何性质即可得到答案；对选项C，设方程为，，，与抛物线联立得到，利用根系关系得到，即可得到；对选项D，由题意知，再计算即可判断D正确.【详解】对选项A，设直线，联立得，当且仅当与抛物线相切时，取得最大值.由，得.直线的斜率为，此时取得最大值.故A正确.对选项B，，则在准线上的射影为，设到准线的距离为，则，当且仅当，，三点共线时等号成立，故B正确；对选项C，由题意知，，且的斜率不为，则设方程为，，，联立直线与抛物线的方程，整理得，则，，所以，.则.故直线，的倾斜角互补，所以，故C正确.对选项D，由题意知，由③知，，，则，，由，知，即､､三点在同一条直线上，故D正确.故选ABCD【点睛】关键点点睛：求解抛物线有关距离的最值，要结合抛物线的定义来解决.12．（2021·江苏连云港·高二期末）如图，是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，，．现将沿斜边翻折成（不在平面ABC内）．若，分别为和的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）A．平面B．与BC不可能垂直C．二面角正切值的最大值为D．直线与所成角的取值范围为【答案】AD【分析】利用线面平行的判定定理可判断A是正确的，设，的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，过作，垂足为，连接，则计算可得，根据的范围可判断C的正误，计算也可得，从而可得存在一个位置，使得，从而可判断B的正误，利用空间向量计算后可判断D的正误.【详解】对A，如图，连接，∵分别为的中点，∴，而面，∴平面，A正确；设，的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，过作，垂足为，连接，因为、均为等腰直角三角形，故，故，因为，故平面，因为平面，所以，而，故平面，而平面，故.而，则平面，而平面，故，故为二面角的平面角.设，则，，故，，所以，而，，故，因为，故无最大值，故C错误.在直角三角形中，，故，取，此时满足前者范围要求且，故，但，，故平面，而平面，故，故B错误.在三角形中，化简可得，，化简可得，故，，故，设所成的角为，则，故，故D正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：对于空间动态问题角的计算，一方面要能够根据图形构造出线面角、二面角等，如果题设给出的图形不规则且构造角又比较困难，则可选用空间向量来简化计算.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）13．（2021·全国高二专题练习）已知圆与圆关于直线对称，则直线方程___________.【答案】【分析】由于两圆的半径相等，可得，求出两圆的圆心O(0，0)，，则求出OA的中点坐标，，从而可得直线的斜率为，从而可求出直线的方程【详解】由于半径相等，易求，由圆的圆心坐标为O(0，0)，圆的标准方程为，可得圆心，则OA的中点坐标为，且OA的斜率为，可得所求直线的斜率为，所以直线的方程为，即.故答案为：.14．（2021·全国高二课时练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是________．(填序号)①②；③向量与的夹角是；④与所成角的余弦值为.【答案】①②【分析】根据空间向量数量积的运算律及空间向量基本定理一一计算可得；【详解】解：因为以为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为，不妨设棱长为，对于①，，因为，则，所以，故①正确；对于②，因为，故②正确；对于③，因为，显然为等边三角形，则，所以向量与的夹角为，向量与的夹角为，故③不正确；对于④，因为，，则，，所以，所以，故④不正确．故答案为：①②．15．（2021·河北张家口·高二期末）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为和．若圆心到直线的距离的最大值为，则实数=________．【答案】4【分析】由平面几何知识可知圆心O到直线的距离的最大时，的最小，利用点到直线的距离公式即得.【详解】连接，，，，设与相交于点，易知被垂直平分，，圆心到直线的距离为，中，有，即，∵圆心O到直线的距离的最大值为，则的最小值为，依題意，知的最小值为点到直线的距离，∴，即，∵，∴.故答案为：4.16．（2021·安徽高二期末（理））已知点为双曲线在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为___；若，分别交双曲线于，两点，记直线与的斜率分别为，，则___.【答案】415【分析】设，由已知条件可得，从而可得点横坐标，由勾股定理可得，将代入双曲线方程结合可得关于的齐次方程，即可求离心率；由题意知：，由可得，再计算即可求解.【详解】设，因为，所以，由可得，＝，即，把代入双曲线方程，可得，即，又，代入上式可得，即，解得或所以双曲线的离心率；设，则，因为，所以，，所以，把、的坐标分别代入双曲线方程，可得两式作差可得，即，∴故答案为：；.【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：（1）直接利用公式；（2）利用变形公式；（3）根据条件列出关于的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）17．（2021·天津河东区·高二期末）如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在上，且.（1）求证：；（2）求与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】如图建立空间直角坐标系，（1）利用空间向量证明，（2）利用空间向量求解【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.则E（），，（1）∵，，∵，（2）由（1）知，∴，，，设EF与C1G所成角为，则故EF与C1G所成角的余弦值为18．（2021·江苏）已知直线（1）求证：直线经过定点．（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程．（3）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）4，；（3）．【分析】（1）直线化为，令，则可得直线l经过定点；（2）由l的方程得，，利用三角形面积公式及基本不等式求解；（3）直线不经过第四象限，由求解.【详解】（1）直线，化为，令，可得由题意得出直线l经过定点；（2）由l的方程得，，由题知：，且，，，当且仅当，，即时，面积取最小值4，此时直线的方程是：．（3）直线即不经过第四象限，则，解得．即实数k的取值范围为．19．（2021·广东石门高级中学高二月考）已知动点到点的距离，与点到直线的距离相等.（1）求动点的轨迹方程；（2）若过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.【答案】（1）；（2）16．【分析】（1）根据抛物线的定义求得轨迹方程；（2）写出直线方程，代入抛物线方程，设，应用韦达定理，由弦长公式计算出弦长．【详解】（1）由题意点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，，，所以轨迹方程是；（2）由已知直线方程是，设，由得，所以，．20．（2021·全国高二单元测试）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②过点；③与直线平行.问题：已知直线过点，且___________.（1）求直线的一般式方程；（2）若直线与圆相交于点，，求弦的长.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【分析】选①：（1）求出直线的斜率，可求得直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程即可；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长；选②：（1）根据直线上两点求出直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长；选③：（1）由直线平行求得直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程即可；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长.【详解】方案一选条件①.（1）因为直线的斜率为，又直线与直线垂直，所以直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即.（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以.方案二选条件②.（1）因为直线过点及，所以直线的方程为，即.（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以.方案三选条件③.（1）因为直线的斜率为，直线与直线平行，所以直线的斜率为依题意，直线的方程为，即.（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以.21．（2021·河南许昌·高二期末（理））如图，四棱锥中，底面为正方形，△为等边三角形，平面底面，为的中点．（1）求证：；（2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在；点为靠近点的三等份点．【分析】（1）取的中点连，由面面垂直的性质易得面，法一：由线面垂直的性质得，由正方形性质有易得，根据线面垂直的性质可证；法二：取的中点，连，构建以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，进而应用坐标表示、，根据向量的数量积，即可证；（2）由（1）所得