专题15-2022年北京高考数学满分限时题集

专题15大题限时练151．在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的面积．条件①：，；条件②：，为等腰三角形．【答案】见解析【详解】选条件①：（Ⅰ）由余弦定理知，，即，化简得，解得或（舍，，且，，由正弦定理知，，即，．（Ⅱ）的面积．选条件②：（Ⅰ），且为等腰三角形，，，，，而，且，．（Ⅱ），且，，的面积．2．如图，长方体中，，，点为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）证明：连接交于，连接、，因为、分别为、中点，所以，又因为平面，平面，所以平面；（Ⅱ）证明：在长方体中，，，点为的中点．所以，，，所以，于是，因为，，所以平面，又因为平面，所以，即，又因为，平面，平面，所以平面；（Ⅲ）解：因为二面角与二面角互补，取中点，连接、，因为，所以，因为，所以，所以为二面角的平面角，其余弦值为，故二面角的余弦值为．3．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口举行．为了调查学生对冬奥会知识的了解情况，某校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理的相关信息：高一年级成绩分布表成绩（分数），，，，，人数123410（Ⅰ）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？（Ⅱ）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为，用频率估计概率，求的分布列和期望？（Ⅲ）若按照得分从高到低分为、、、、，学校为提高对冬奥会知识的了解情况需要在高一或高二进行一场讲座，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个级别，若高一高二学生数量一致，那么若要想高一和高二学生的平均分尽可能的高，需要在高一讲座还是高二讲座？【答案】见解析【详解】（Ⅰ）设从高一样本中抽取一人成绩不低于90分为事件，从高二抽取一人成绩不低于90分为事件；两人成绩都不低于90分的概率为：；（Ⅱ）由题意可知从高一年级中抽取一人此人成绩不低于90分的概率为；从高二年级中抽取一人此人成绩不低于90分的概率为；的可取值为0，1，2，3，，，，，的分布列如下表0123所以．（Ⅲ）需要在高二讲座．4．已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）若，求证：当时，；（Ⅲ）若对任意的实数，恒成立，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）当时，，则，，又，切线方程为；（Ⅱ）证明：（证法当时，，当时，设．则当时，，单调递增，注意到，当时，，结论成立．当时，；（证法当时，，．则，；令，解得．当，；当时，．故是的极小值点，．注意到，（1）．当，，同时；当，；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在上恒成立；当时，不可能恒成立，，，等价于等价于；设，则令，解得，．由于题目探寻的最大值，我们先来研究的情形：当变化时，与的变化情况如下表所示：100极小值极大值由于，要使恒成立，只需（1）即可；，，的最大值不可能在取到，对任意的实数，恒成立，的最大值是．5．已知椭圆．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）经过原点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线垂直，且与椭圆的另一个交点为．（ⅰ）当点为椭圆的右顶点时，求证：为等腰三角形；（ⅱ）当点不是椭圆的顶点时，求直线和直线的斜率之比．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）6【详解】（Ⅰ）因为椭圆方程，所以，所以．所以离心率．（Ⅱ）（ⅰ）设，由题设知，．因为，所以点，在以线段为直径的圆上，所以有．又，解得（舍．所以，所以，又所以，即为等腰三角形．（ⅱ）设，，且．记直线，，率分别为，，，所以，因为，所以．又，因为，所以．所以．所以，即直线和直线的斜率之比为6，因为点不是椭圆的顶点，所以直线，，的斜率都存在且不为0，设直线的方程为，由得，由△，所以．设，，，，的中点，．因为，所以，，因为，所以，又因为，所以．所认．6．对于给定的区间，和非负数列，，，，若存在，，，，使，，2，，成立，其中，，，1，，，则称数列可“嵌入”区间，．（Ⅰ）分别指出下列数列是否可“嵌入”区间，；①，3；②，0，1．（Ⅱ）已知数列满足，2，，，若数列可“嵌入”区间，，求数列的项数的最大值；（Ⅲ）求证：任取数列，，，满足，，2，，，均可以“嵌入”区间，．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析【详解】（Ⅰ）①，3，由定义可得，，对显然不存在，故不可以“嵌入”区间，；②，0，1，由，即存在或1，所以可以“嵌入”区间，