专题突破练4从审题中寻找解题思路

专题突破练4从审题中寻找解题思路一、选择题1.(2019山东栖霞高三模拟,文7)已知sinπ42x=35,则sin4x的值为()A.1825 B.±1825 C.725 D2.(2019安徽黄山高三质检,文5)函数y=x3+ln(x2+1x)的图象大致为(3.(2019黑龙江哈尔滨第三中学高三二模)向量a=(2,t),b=(1,3),若a,b的夹角为钝角,则t的取值范围是()A.t<23 B.t>C.t<23且t≠6 D.t<4.已知△ABC中,sinA+2sinBcosC=0,3b=c,则tanA的值是()A.33 B.233 C.3 5.设双曲线x2a2-y2b2=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,bA.2 B.3 C.2 D.26.(2019湖南桃江一中高三模拟,理9)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点M是AD的中点,动点P在底面ABCD内(不包括边界),若B1P∥平面A1BM,则C1P的最小值是()A.305 B.2305 C.277.(2019江西临川一中高三模拟,文12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象经过两点A0,22,Bπ4,0,f(x)在0,π4内有且只有两个最值点,且最大值点大于最小值点,则f(x)=()A.sin3x+π4 B.sin5x+3π4C.sin7x+π4 D.sin9x+3π4二、填空题8.(2019山东栖霞高三模拟)若△ABC的面积为34(a2+c2b2),则∠B=.9.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i行第j列的数为ai,j(i,j∈N*),则(1)a9,9=;

(2)表中的数82共出现次.

234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……10.已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b是12和2的等比中项,c是1和5的等差中项,则a的取值范围是.11.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{an}的通项;(2)设{bn(1)nan}是等比数列,且b2=7,b5=71.求数列{bn}的前n项和Tn.12.(2019河南八市重点高中高三五模,文21)已知函数f(x)=x(lnx+a)+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为2xy1=0.(1)求a,b的值;(2)若对任意的x∈(1,+∞),f(x)≥m(x1)恒成立,求正整数m的最大值.13.(2019河南八市重点高中高三五模,理21)已知函数f(x)=exax2,且曲线y=f(x)在点x=1处的切线与直线x+(e2)y=0垂直.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:x>0时,exex1≥x(lnx1).参考答案专题突破练4从审题中寻找解题思路1.C解析由题意得cosπ24x=12sin2π42x=12×925=725,sin4x=cosπ24x=725.2.C解析当x=1时,y=1+ln(21)=1ln(2+1)>0;当x=1时,y=1+ln(2+1)<0.观察各选项,可得C选项符合.故选C.3.C解析若a,b的夹角为钝角,则a·b<0且不反向共线,a·b=2+3t<0,得t<23.向量a=(2,t),b=(1,3)共线时,2×3=t,得t=6,此时a=2b.所以t<23且t≠6.4.A解析∵sinA+2sinBcosC=0,∴sin(B+C)+2sinBcosC=0.∴3sinBcosC+cosBsinC=0.∵cosB≠0,cosC≠0,∴3tanB=tanC.∵3b=c,∴c>b.∴C>B.∴B为锐角,C为钝角.∴tanA=tan(B+C)=tanB当且仅当tanB=33时取等号∴tanA的最大值是33.故选A5.A解析∵直线l过(a,0),(0,b)两点,∴直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ayab=0.又原点到直线l∴|-ab|a2+b2又c2=a2+b2,∴a2(c2a2)=316c4即316c4a2c2+a4=化简得(e24)(3e24)=0,∴e2=4或e2=43又∵0<a<b,∴e2=c2a2=1+∴e2=4,即e=2,故选A.6.B解析如图,在A1D1上取中点Q,在BC上取中点N,连接DN,NB1,B1Q,QD.∵DN∥BM,DQ∥A1M且DN∩DQ=D,BM∩A1M=M,∴平面B1QDN∥平面A1BM,则动点P的轨迹是DN(不含D,N两点),又CC1⊥平面ABCD,则当CP⊥DN时,C1P取得最小值.此时,CP=2×11∴C1P≥252+27.D解析根据题意画出函数f(x)的大致图象如下,因为f(0)=sinφ=22,由图可知,φ=3π4+2kπ(k∈Z).又因为0<φ<π,所以φ=3π4.所以f(x)=sinωx+3π4.因为fπ4=sinπ4ω+3π4=0,由图可知,π4ω+3π4=π+2kπ,k∈Z,解得ω=1+8k,k∈Z.又因为2πω=T<π4,可得ω>8.所以当k=1时,ω=9,所以f(x8.π3解析由三角形面积公式可得:S=12acsinB=34(a2+c2∴14sinB=34×a∴tanB=3.∵B∈(0,π),∴B=π39.(1)82(2)5解析(1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2……第9行的公差为9,第9行的首项b1=10,则b9=10+8×9=82.(2)第1行数组成的数列a1,j(j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a1,j=2+(j1)·1=j+1;第i行数组成的数列ai,j(j=1,2,…)是以i+1为首项,公差为i的等差数列,所以ai,j=(i+1)+(j1)i=ij+1,由题意得ai,j=ij+1=82,即ij=81,且i,j∈N*,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出现5次.10.(22,10)解析因为b是12和2的等比中项,所以b=12×2=1;因为c是1和5的等差中项,所以又因为△ABC为锐角三角形,①当a为最大边时,有1解得3≤a<10;②当c为最大边时,有12+a2-3由①②得22<a<10,所以a的取值范围是(22,1011.解(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),∵a1=2,且a2,a4,a8成等比数列,∴(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2,故an=a1+(n1)d=2n.(2)令cn=bn(1)nan,设{cn}的公比为q.∵b2=7,b5=71,an=2n,∴c2=b2a2=3,c5=81,∴q3=c5c2=∴cn=c2qn-2=3从而bn=3n1+(1)n2n.Tn=b1+b2+…+bn=(30+31+…+3n1)+[2+46+…+(1)n2n],当n为偶数时,Tn=3n+2n-12,当n为奇数时12.解(1)由f(x)=x(lnx+a)+b,得f'(x)=lnx+a+1,由切线方程可知:f(1)=21=1,∴f解得a(2)由(1)知f(x)=x(lnx+1),则x∈(1,+∞)时,f(x)≥m(x1)恒成立等价于x∈(1,+∞)时,m≤x(ln令g(x)=x(lnx则g'(x)=x-令h(x)=xlnx2,则h'(x)=11x=x-1x,∴当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,则∵h(3)=1ln3<0,h(4)=22ln2>0,∴∃x0∈(3,4),使得h(x0)=0.当x∈(1,x0)时,g'(x)<0;x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,∴g(x)min=g(x0)=x0∵h(x0)=x0lnx02=0,∴lnx0=x02.∴g(x)min=g(x0)=x0(x0-∴m≤x0∈(3,4),即正整数m的最大值为3.13.(1)解由f(x)=exax2,得f'(x)=ex2ax.因为曲线y=f(x)在点x=1处的切线与直线x+(e2)y=0垂直,所以f'(1)=e2a=e2,所以a=1,即f(x)=exx2,f'(x)=ex2x.令g(x)=ex2x,则g'(x)=ex2.所以x∈(∞,ln2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;x∈(ln2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)min=g(ln2)=22ln2>0.所以f'(x)>0,f(x)单调递增.即f(x)的单调增区间为(∞,+∞),无减区间.(2)证明由(1)知f(x)=exx2,f(1)=e1,所以y=f(x)在x=1处的切线方程为y(e1)=(e2)(x1),即y=(e2)x+1.令h(x)=exx2(e2)x1,则h'(x)=ex2x(e2)=exe2(x1),且h'(1)=0,h″(x)=ex2.x∈(∞,ln2)时,h″(x)<0,h'(x)单调递减;x∈(ln2,+∞)时,h″(x)>0,h'(x)单调递增.因为h'(1)=0,所以h'(x)min=h'(ln2)=4e2ln2<0.因为h'(0)=3e>0,所以存在x0∈(0,1),使x∈(0,x0)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;x∈(x0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.又h(0)=h(1)=0,所以x>0