专题09立体几何之证明平行与垂直

专题09立体几何之证明平行与垂直专项一、几何法证明平行1．如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于．(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：因为矩形，所以，平面，平面，所以平面．因为过的平面交平面于，由线面平行性质定理，得；2．如图，在四棱锥中，，，，点P在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，E，F分别是BC，AP的中点.(1)证明：平面PCD；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）设的中点为，连接，则，.因为平面，平面，所以平面，同理平面，，平面，平面，平面平面，平面.3．如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且.(1)若M、N分别为棱AB、的中点，求证：；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：连接MD，为AB的中点，D为AC的中点，且，为的中点，则在三棱柱中，且，且，四边形为平行四边形，，平面CDN，且平面CDN，；4．如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，点为的中点，为半个圆柱上底面的直径，且，．为的中点．(1)证明：平面平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：取的中点，连接，且∴四边形为平行四边形，，又平面，平面平面，又平面，平面平面，平面∴平面平面5．如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、BC的中点．(1)求证：平面平面VCD；【答案】(1)证明见详解【详解】（1）如图所示：因为E、F、G分别为VA、VB、BC的中点，所以∥,且∥.底面ABCD是矩形,所以∥，又因为平面，平面,所以∥平面，同理：∥平面，又因为,平面，平面，所以平面平面6．如图，和都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直．平面，且．(1)设P是的中点，证明：AP平面．【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：取的中点O，连接．是正三角形，．∵平面平面，平面平面，平面ABC平面．平面，．在中，，．又，为等腰三角形．是的中点，．平面，．平面平面，平面．7．如图，在四棱锥中，，，，平面，，为线段上一点且．(1)证明：∥平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）过点作交DC于点G，连接BG，又∵，又，又，故四边形是平行四边形.∴，面，面，面，同理面，∴平面平面又平面，∴平面．

8．如图，在三棱锥中，底面.点分别为棱的中点，是线段的中点，.(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵是线段的中点，∴，∵平面，平面，∴MF平面.∵点分别为棱的中点，∴，∵平面，平面，∴NF平面.∵，∴平面MNF，∴平面MNF平面，∵平面MNF，∴平面.9．如图，为三棱锥的高，，在棱上，且.(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）连接OA，延长交于点，连接PE由平面，得，，，又则，又，则设由，可得又平面平面平面.10．如图，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分别是，的中点，．(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析；【详解】（1）解：取的中点，连接，，∵M，N分别是，的中点，∴，，又∵平面ABC，平面ABC，∴平面．又，∴，同理可得，平面．∵平面MND，平面MND，，∴平面平面．∵平面MND，∴平面．11．如图所示，直三棱柱中，，点M为线段，的交点，点P，Q分别为线段，AB的中点，延长至点D，使得，连接CD，QD，CQ．(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）如图，连接MQ．因为，，故，而，故四边形BDCP为平行四边形，则，因为平面，平面，故平面；同理可证BDQM为平行四边形，，即，平面，平面，故平面．因为，平面CDQ，平面CDQ，故平面平面；12．如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，△BCF是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，，二面角的大小是.(1)求证：直线平面ABCD；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）如图，取AD的中点G，连接EG，则，因为△BCF是边长为2的等边三角形，底面ABCD是矩形，所以，因为，所以.设E在平面ABCD内的射影为O，连接EO，则平面ABCD，连接OA，OD，OG，则，所以，所以，所以为二面角的平面角，所以，所以.过F作，垂足为H，因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.易知，连接OH，则四边形EFHO为矩形，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.13．如图1，在平面四边形中，已知，，，，，于点.将沿折起使得平面，如图2，设（）.(1)若，求证：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在平面四边形中，，，，所以，，又，，所以，，，所以，所以.所以在中，易得.因为，，所以.在四棱锥中，连接，设，连接，因为，所以，又，所以.因为平面，平面，所以平面.二、向量法证明平行14．在四棱锥中，，，，，且，，平面平面.(1)证明：//平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）设点满足，即，结合条件，即，，即；由条件，即，可得：，显然线段不共线，从而可得四边形为平行四边形，即可得：//，平面，平面，故可得：//平面15．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，，PD⊥底面ABCD，，E是PC的中点，F是PB上的点，且．(1)证明：PD//平面AEF；【答案】(1)证明见详解【详解】（1）连接，由题意可知：为等边三角形，取的中点，连接，则，∵，则，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，即，∵，且平面，∴平面.16．如图，在四棱锥中，平而为的中点，在上，且(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析；【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，则，而，则以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，又，则有，，因为，则，，因此，即，而，于是得，而平面，平面，所以平面.17．如图所示，四棱雉的侧面为边长为的正方形，且，为棱的中点，为棱上的点.(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：如图所示，连接交于，连接，连接，由于侧面为边长为的正方形，，所以四棱雉为正四棱锥，则平面，为正方形的中心，且，则以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，又，所以，令，所以，则，又平面，所以平面；18．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点P为的中点，请用空间向量知识解答下列问题：(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：易知，，两两相互垂直，∴以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，解得.故平面的法向量为，易知，则，又平面，∴平面.19．如图，正四棱柱中，为棱的中点.(1)用向量法证明：平面；【答案】(1)证明见解析；【详解】（1）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，设，，则,1,，,0,，,1,，,0,，∴，，．设是平面B1ED1的一个法向量，则，令，则，，即，∴．且平面B1ED1，∴平面B1ED1；20．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.(1)求证：平面BDE.【答案】(1)证明见解析【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以.因为ABCD为正方形，所以.又，且平面ADP，所以平面ADP.如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，所以，，.设平面BDE的法向量为，则，即，令，则，，得.由题意得.因为平面BDE，所以平面BDE.三、几何法证明垂直21．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，，点E是棱上的一点（与，不重合）.(1)求证：；【答案】(1)证明见解析；【详解】（1）证明：如图1，连结.由已知可得，平面，平面，所以.又因为四边形是菱形，所以.又平面，平面，，所以平面.因为平面，所以.22．如图，在五面体中，平面，平面是梯形，，，，E平分．(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析;【详解】（1）由题意，，∴，，平面，平面，∴，，平面，∴平面，平面，∴平面平面；23．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面.(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）如图，过点A作，垂足为，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面又∵平面，∴.又∵平面，平面,∴.又∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴.24．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且．(1)证明：平面平面；【答案】(1)证明见解析；【详解】（1）因为，为的中点，所以，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；25．如图,在三棱台中,已知平面平面,,,(1)求证:直线平面;【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明:在等腰梯形中,过作于点,画图如下:所以,且,,所以,即,即,因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面;26．如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．(1)证明：；【答案】(1)详见解析；【详解】（1）因为底面ABCD为平行四边形，，，所以，，所以，故，，所以，又∵⊥平面，平面，∴，又∵平面，平面，∴平面，又平面，所以；27．如图，在五面体中，，，，，P，O分别为CD，AP的中点，二面角的大小为．(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）∵，，为的中点，为平行四边形，∴且∵，∴，则．又∵，∴，∴为二面角的平面角，∴又∵，∴为等边三角形，∵为的中点，则，又∵，，平面，，∴平面，∵平面，∴，平面，，∴平面.28．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，.(1)求证：平面⊥平面；【答案】(1)证明见详解.【详解】（1）证明：取中点连接，如图所示：因为三棱柱的所有棱长都为2，所以，又因为且平面，所以平面，又因为平面，所以．在直角三角形中，，所以，在三角形中，，所以，所以，又因为平面所以平面．又因为平面，所以平面平面．29．如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，分别为线段的中点．(1)证明：平面；【答案】(1)详见解析；【详解】（1）因为，为线段的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以，所以，即，由分别为线段的中点，可得，所以，又，平面，平面，所以平面；30．已知四边形ABCD如图1所示AD∥BC，AB=AD=DC=BC=2，将△ABD沿BD折起得到四面体A'BCD，如图2所示，．(1)证明：A′B⊥CD；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）过点作于点，连接，∵，，∴，即，所以，在中，∴，即，又∵，∴，即，又，且均含于面，∴面，∴.31．如图，四棱锥中，平面平面，为正三角形，底面为等腰梯形，//，．(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析；【详解】（1）取中点，连接，根据梯形性质和可知，//，且，于是四边形为平行四边形，故，则为等边三角形，故，在中，由余弦定理，，故，注意到，由勾股定理，，即，由平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理可得，平面.32．如图1，在边长为2的菱形中，，点分别是边上的点，且，．沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥．(1)在翻折过程中是否总有平面？证明你的结论；【答案】(1)在翻折过程中总有平面；证明见解析【详解】（1）在翻折过程中总有平面．证明如下：∵点分别是边的点，且,又，且是等边三角形,∵,G是的中点，∴，∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面，而，∴平面.33．已知直角三角形中，，分别是边中点，将和分别沿着翻折，形成三棱锥是中点(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）因为为中点，所以；又因为，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以，因为平面，平面，，所以平面34．四棱锥，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，平面平面PBC.(1)证明：⊥；【答案】(1)证明过程见解析【详解】（1）如图，过点A作AE⊥PB于点E，因为平面平面PBC，交线为PB，且AE平面PAB，所以AE⊥平面PBC，因为平面PBC，所以AE⊥BC，因为平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BC，因为，平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因为AB平面PAB，所以BC⊥AB；35．已知四棱锥中，，，，，，面面，.(1)求证：；【答案】(1)见解析【详解】（1）由题知，，，，，，面面，.过作，过作，即，连接交于，因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为在中，,所以,所以，因为，，，所以所以，因为，所以,因为，，所以在中，,即，又因为，平面平面且交于，所以面，因为面，所以，因为平面，所以平面,因为平面，所以.36．如图，水平面上摆放了两个棱长为的正四面体和．(1)求证：；【答案】(1)证明见解析；【详解】（1）证明：因为与共面，所以，连接与交于点，因为四面体和是相同的正四面体，所以，与均为等边三角形，即，所以，四边形时菱形，则为与中点，过点分别作平面，平面，垂足分别为，所以，由正四面体的性质可知，分别为、的中心，且在上，，因为正四面体的棱长为，所以，因为平面，平面，所以，，同理得，所以，，故四边形为平行四边形，所以，因为四边形时菱形，，所以四、向量法证明垂直37．在三棱锥中，，平面，点是棱上的动点，点是棱上的动点，且.(1)当时，求证：；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在平面内过点作，使得点与点在同侧，平面，平面，平面，，，则两两互相垂直.以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，；由得：，，为等腰直角三角形，；同理可得：为等腰直角三角形，当时，，，分别是中点，，，，，，.38．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形且垂直于底面，，分别为，的