第10讲复数的三角形式（知识点串讲）原卷版

第10讲复数的三角形式（沪教版2020必修二）【知识讲练】知识点一、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝eq\r(a2＋b2)，根据任意角余弦、正弦的定义可知cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r).因此a＝rcosθ，b＝rsinθ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作argz例1．（2021·浙江高一单元测试）把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）；（2）.【变式训练11】（2020·全国高一课时练习）复数化成三角形式，正确的是（）A． B．C． D．【变式训练12】（2020·全国高一课时练习）复数的三角形式是A． B．C． D．【变式训练13】（2020·全国高一课时练习）复数（i为虚数单位）的三角形式为（）A． B．C． D．【方法技巧】复数的代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角．(4)求出复数的三角形式．提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．例2．（2020·全国高一课时练习）“复数的模与辐角分别相等”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式训练14】（2020·河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（）A． B． C． D．【变式训练15】（2020·全国高一课时练习）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（）A． B．C．－i D．＋i【变式训练16】（2020·全国高一课时练习）复数的辐角主值为A． B． C． D．【方法技巧】复数的三角形式z＝rcosθ＋isinθ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，.知识点二、复数三角形式的乘、除运算若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)].例1．（2020·全国高一课时练习）计算：（1）；（2）.【方法技巧】1．乘法法则：模相乘，辐角相加．2．除法法则：模相除，辐角相减．3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．例2．（2020·全国高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是A． B． C． D．【变式训练23】（2020·全国高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是A．2i B． C． D．【变式训练23】（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【变式训练23】（2020·全国高一课时练习）在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若的重心对应的复数为，求.【方法技巧】两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.【变式训练24】（2020·全国）复数（）A． B． C． D．【变式训练25】（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：（1）；（2）.【变式训练26】（2020·全国高一课时练习）计算的值.【方法技巧】知识：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等．方法：两个复数三角形式乘法的法则可简记为：模相乘，辐角相加，并且可以作以下推广；(1)有限个复数相乘，结论亦成立．即z1·z2…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)…rn(cosθn＋isinθn)＝r1·r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)