第5章《导数及其应用》知识点全掌握-2021-2022学年高二数学上学期期末金牌模拟试卷（2019选择性）

第5章《导数及其应用》知识点全掌握（满分100分时间：20分钟）班级姓名得分知识点1平均变化率1．平均变化率的定义：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq\f(fx2－fx1,x2－x1)．2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”知识点2曲线上一点处的切线1．设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C．当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．若曲线C上一点，P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)，当Δx无限趋近于0时，eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率．知识点3瞬时速度与瞬时加速度1．平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．2．瞬时速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率eq\f(S(t0＋Δt)－S(t0),Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率eq\f(v(t0＋Δt)－v(t0),Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．知识点4导数1．导数设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．3．导函数(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．知识点5基本初等函数的导数1．常用函数的导数(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；(2)C′＝0(C为常数)；(3)(x)′＝1；(4)(x2)′＝2x；(5)(x3)′＝3x2；(6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(′)＝－eq\f(1,x2)；(7)(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))．2．基本初等函数的导数公式(1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；(2)(ax)′＝axlna(a>0，且a≠1)；(3)(ex)′＝ex；(4)(logax)′＝eq\f(1,x)logae＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)；(5)(lnx)′＝eq\f(1,x)；(6)(sinx)′＝cosx；(7)(cosx)′＝－sinx．知识点6导数的运算法则(1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)积的导数①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；②[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)．(3)商的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))eq\s\up12(′)＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),g2(x))(g(x)≠0)．知识点7复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．知识点8复合函数的求导法则若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a．知识点9函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)在该区间上单调递增，即f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)在该区间上单调递减，即f(x)为该区间上的减函数．上述结论可以用下图来直观理解．知识点10极大值与极小值1．极大值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．2．极小值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极小值．知识点11函数极大值、极小值与函数的导数的关系1．极大值与导数的关系xx1左侧x1x1右侧f′(x)f′(x)＞0f′(x)＝0f′(x)＜0f(x)↗极大值f(x1)↘2．极小值与导数的关系xx2左侧x2x2右侧f′(x)f′(x)＜0f′(x)＝0f′(x)＞0f(x)↘极小值f(x2)↗知识点12最大值与最小值最大值与最小值的概念(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值唯一．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值唯一．知识点13求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤第一步求f(x)在区间(a，b)上的极值．第二步将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．知识点14函数图象的画法函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质．通常，按如下步骤画出函数f(x)的图象：(1)求出函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)及函数f