2025《金版教程•高考数学复习创新方案》第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式课标解读考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,2)，α±π的正弦、余弦、正切))，并会简单应用.从近几年的高考来看，本部分内容主要考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数式的作用，预计2025年高考可能会与三角恒等变换结合考查.必备知识——强基础1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：eq\x(\s\up1(01))sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：eq\x(\s\up1(02))eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))．2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角α＋k·2π(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα——口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．和积互化变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．弦切互化变形：sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)，cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1)，sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1).1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(3)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，则cosθ＝eq\f(1,3).()答案(1)×(2)×(3)×2．小题热身(1)已知α为锐角，且sinα＝eq\f(4,5)，则cos(π＋α)＝()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(4,5)答案A解析因为α为锐角，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(3,5)，故cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(3,5).故选A.(2)(人教B必修第三册7.2.3练习BT2改编)已知tanα＝2，则eq\f(3sinα－cosα,sinα＋2cosα)＝()A．eq\f(5,4) B．－eq\f(5,4)C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)答案A解析原式＝eq\f(3tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3×2－1,2＋2)＝eq\f(5,4).故选A.(3)下列三角函数的值中(k∈Z)，与sineq\f(π,3)的值相同的个数是()①sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(4π,3)))；②coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)))；③sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)))；④coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2k＋1)π－\f(π,6)))；⑤sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2k＋1)π－\f(π,3))).A．1 B．2C．3 D．4答案C解析对于①，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(4π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((k＋1)π＋\f(π,3)))，当k为奇数时，sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((k＋1)π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)；当k为偶数时，sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((k＋1)π＋\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)，不满足题意．对于②，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝sineq\f(π,3)，满足题意．对于③，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)，满足题意．对于④，coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2k＋1)π－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－sineq\f(π,3)，不满足题意．对于⑤，sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2k＋1)π－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)，满足题意．故选C.(4)(人教A必修第一册习题5.3T5改编)化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·cos(2π－α)的结果为________．答案sinα解析原式＝eq\f(sinα,cosα)·cosα＝sinα.考点探究——提素养考点一同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)考向1“知一求二”问题例1已知角α的终边在第三象限，且tanα＝2，则sinα－cosα＝()A．－1 B．1C．－eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)答案C解析由角α的终边在第三象限，则sinα<0，cosα<0，由题设知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2，,sin2α＋cos2α＝1，))解得cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，所以sinα－cosα＝－eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(\r(5),5).故选C.【通性通法】利用同角基本关系式“知一求二”的方法注意：由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．【巩固迁移】1．(2024·广东梅州模拟)已知cosα＝eq\f(1,3)，且α为第四象限角，则tanα＝()A．－2eq\r(2) B．±2eq\r(2)C．±eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(2),3)答案A解析∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(2\r(2),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2).故选A.考向2“弦切互化”问题例2已知tanθ＝2，则eq\f(1,sin2θ－cos2θ)的值为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,3) D．2答案C解析由题意，得eq\f(1,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋1,tan2θ－1)＝eq\f(22＋1,22－1)＝eq\f(5,3).故选C.【通性通法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切．【巩固迁移】2．(2023·苏州模拟)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则cos2α＋sinαcosα＝()A．eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．－3 D．3答案A解析由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋sinαcosα＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1＋tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,5).故选A.考向3sinα±cosα，sinαcosα之间关系的应用例3(2023·广东潮州模拟)已知eq\f(π,2)<x<π，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，则sinx－cosx＝________．答案eq\f(7,5)解析由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx＝eq\f(1,25)，得2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，因为eq\f(π,2)<x<π，所以sinx>cosx，故sinx－cosx＝eq\f(7,5).【通性通法】“sinα±cosα，sinαcosα”关系的应用sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝eq\f((sinα＋cosα)2－1,2)，sinαcosα＝eq\f(1－(sinα－cosα)2,2).因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个．【巩固迁移】3．(2023·山东聊城模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)，则tanα的值为________．答案－eq\f(1,2)解析∵sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(1,5)，∴sinαcosα＝－eq\f(2,5)，∴sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝eq\f(9,5)＝(sinα－cosα)2，又sinαcosα<0，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴sinα<0，cosα>0，∴cosα－sinα＝eq\f(3\r(5),5)，∴sinα＝－eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝－eq\f(1,2).考点二诱导公式的应用例4(1)eq\f(tan(π－α)cos(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos(－α－π)sin(－π－α))的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2答案B解析原式＝eq\f(－tanαcosα(－cosα),cos(π＋α)[－sin(π＋α)])＝eq\f(tanαcos2α,－cosαsinα)＝－eq\f(sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝－1.故选B.(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝eq\f(2,3)，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝________．答案－eq\f(2,3)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝－eq\f(2,3).【通性通法】1．利用诱导公式解题的一般思路(1)化绝对值大的角为锐角；(2)角中含有加减eq\f(π,2)的整数倍时，用公式去掉eq\f(π,2)的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)互余的角：eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等；(2)互补的角：eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等．【巩固迁移】4．(2024·湖南长郡中学高三质量检测)已知f(α)＝eq\f(sin(α－3π)cos(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(5π,2))),cos(－π－α)sin(－π－α))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝________．答案eq\f(1,2)解析因为f(α)＝eq\f(sin(α－3π)cos(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(5π,2))),cos(－π－α)sin(－π－α))＝eq\f(－sinαcosαcosα,－cosαsinα)＝cosα，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用例5(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))的值为()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)答案C解析由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，而α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，∴eq\f(5π,6)－α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α)))＝eq\f(2\r(2),3).故选C.(2)(2023·辽宁葫芦岛模拟)若eq\f(sin(π－θ)＋cos(θ－2π),sinθ＋cos(π＋θ))＝eq\f(1,2)，则tanθ＝________．答案－3解析因为eq\f(sin(π－θ)＋cos(θ－2π),sinθ＋cos(π＋θ))＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(1,2)，解得tanθ＝－3.【通性通法】利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式．(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【巩固迁移】5．已知cos167°＝m，则tan193°＝()A．eq\r(1－m2) B．eq\f(\r(1－m2),m)C．－eq\f(\r(1－m2),m) D．－eq\f(m,\r(1－m2))答案C解析tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－eq\f(sin167°,cos167°)＝－eq\f(sin167°,m)，因为cos167°＝m，所以sin167°＝eq\r(1－m2)，所以tan193°＝－eq\f(\r(1－m2),m).故选C.6．已知cosα＝－eq\f(5,13)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cos(α＋π))＝________．答案eq\f(13,12)解析∵cosα＝－eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(12,13)，∴eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋π)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cos(α＋π)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))＝eq\f(cosα,－cosα(－sinα))＝eq\f(1,sinα)＝eq\f(13,12).课时作业一、单项选择题1．(2023·广西桂林模拟)sin9330°的值为()A．eq\f(\r(2),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(2),2)答案B解析sin9330°＝sin(360°×25＋330°)＝sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).故选B.2．(2023·吉林长春质检)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，θ∈(0，π)，则tanθ＝()A．2eq\r(2) B．eq\f(\r(2),4)C．－2eq\r(2) D．－eq\f(\r(2),4)答案C解析依题意，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝－cosθ＝eq\f(1,3)，则cosθ＝－eq\f(1,3).由于θ∈(0，π)，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2\r(2),3)，所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－2eq\r(2).故选C.3．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值为()A．eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)答案D解析∵eq\f(π,4)＋α－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(π,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3).故选D.4．(2023·江西南昌模拟)已知3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sinθ＝()A．－eq\f(3\r(10),10) B．－eq\f(\r(10),10)C．eq\f(3\r(10),10) D．eq\f(\r(10),10)答案A解析∵3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＋sin(θ＋π)＝0，∴3cosθ－sinθ＝0，∵θ∈(－π，0)，sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝－eq\f(3\r(10),10).故选A.5．若tanθ＝－2，则cos2θ－sin2θ＝()A．－eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)答案C解析解法一：由题意知tanθ＝－2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanθ＝\f(sinθ,cosθ)＝－2，,sin2θ＋cos2θ＝1，))解得cos2θ＝eq\f(1,5)，所以cos2θ－sin2θ＝cos2θ－(1－cos2θ)＝2cos2θ－1＝2×eq\f(1,5)－1＝－eq\f(3,5).故选C.解法二：已知tanθ＝－2，所以cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝－eq\f(3,5).故选C.6．已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为()A．eq\f(5,6) B．－eq\f(5,6)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)答案B解析由题意，得sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，sinαcosα＝eq\f(a,3)，所以sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝eq\f(4,9)－eq\f(2a,3)＝1，解得a＝－eq\f(5,6).故选B.7．已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为()A．3－eq\f(π,2) B．eq\f(π,2)－3C．π－3 D．eq\f(3π,2)－3答案A解析tanα＝eq\f(－2cos3,2sin3)＝－eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－3)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(π,2)))，又0<3－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)，α为锐角，所以α＝3－eq\f(π,2).故选A.8．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，则eq\f(tan(π＋α)＋1,2sin2α＋sin2α)＝()A．－eq\f(175,24) B．eq\f(175,24)C．－eq\f(25,24) D．eq\f(25,24)答案C解析由题意知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，有2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，所以eq\f(tan(π＋α)＋1,2sin2α＋sin2α)＝eq\f(tanα＋1,2sinα(sinα＋cosα))＝eq\f(sinα＋cosα,cosα)·eq\f(1,2sinα(sinα＋cosα))＝eq\f(1,2sinαcosα)＝－eq\f(25,24).故选C.二、多项选择题9．已知eq\r(3)sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))，则θ的值可能是()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C．eq\f(π,3) D．eq\f(5π,6)答案AD解析∵eq\r(3)sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－eq\r(3)sinθ＝cosθ，∴tanθ＝－eq\f(\r(3),3)，∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))，∴θ＝－eq\f(π,6)或θ＝eq\f(5π,6).故选AD.10．在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC答案ABC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确；sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2)，B正确；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，C正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误．故选ABC.11．给出下列四个结论，其中正确的是()A．sin(π＋|α|)＝－sinα成立的条件是角α是锐角B．若cos(nπ－α)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，则cosα＝eq\f(1,3)C．若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(1,tanα)D．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα＝1答案CD解析由诱导公式，知sin(π＋|α|)＝－sin|α|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－sinα，α≥0，,sinα，α<0，))所以A错误．当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cosα，此时cosα＝eq\f(1,3)，当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cosα，此时cosα＝－eq\f(1,3)，所以B错误．若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(cosα,－sinα)＝－eq\f(1,tanα)，所以C正确．将等式sinα＋cosα＝1两边平方，得sinαcosα＝0，所以sinα＝0或cosα＝0.若sinα＝0，则cosα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；若cosα＝0，则sinα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D正确．故选CD.三、填空题12．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，且|φ|<eq\f(π,2)，则tanφ＝________．答案－eq\r(3)解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，∴－sinφ＝eq\f(\r(3),2)，∴sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，∵|φ|<eq\f(π,2)，∴cosφ＝eq\f(1,2)，∴tanφ＝eq\f(sinφ,cosφ)＝－eq\r(3).13．(2023·河南平顶山联考)已知tanθ＝2，则1＋sinθcosθ的值为________．答案eq\f(7,5)解析∵tanθ＝2，∴1＋sinθcosθ＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ＋1,tan2θ＋1)＝eq\f(22＋2＋1,22＋1)＝eq\f(7,5).14．(2023·全国乙卷)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanθ＝eq\f(1,2)，则sinθ－cosθ＝________．答案－eq\f(\r(5),5)解析因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(1,2)，则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝eq\f(\r(5),5)或sinθ＝－eq\f(\r(5),5)(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－eq\f(\r(5),5).15．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(aπ,2)＋\f(π,6)))＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)答案D解析根据“数字黑洞”的定义，任取数字串2024，经过第一步之后变为404，经过第二步之后变为303，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a＝123，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(aπ,2)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(123π,2)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).故选D.16．(多选)已知角α满足sinαcosα≠0，则表达式eq\f(sin(α＋kπ),sinα)＋eq\f(cos(α＋kπ),cosα)(k∈Z)的取值为()A．－2 B．－1C．2 D．1答案AC解析当k为奇数时，原式＝eq\f(－sinα,sinα)＋eq\f(－cosα,cosα)＝(－1)＋(－1)＝－2；当k为偶数时，原式＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.故选AC.17．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－eq\f(1,4)，则下列角β中，可能与角α广义互余的是()A．sinβ＝eq\f(\r(15),4) B．cos(π＋β)＝eq\f(1,4)C．tanβ＝eq\r(15) D．tanβ＝eq\f(\r(15),5)答案AC解析若α与β广义互余，则α＋β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即β