安徽省江南十校2024-2025学年高三年级上册第一次综合素质检测数学试题（含答案解析）

安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检

测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=｛刈。82工＜2｝,8=3忖＜4｝,A^B=()

A.(一叫4)B.(0,4)C.(-4,4)D.(-4,0)

2.记等差数列｛0“｝的前〃项和为S“，已知%+%=8,则国=()

A.28B.30C.32D.36

7

3.已知函数〃尤)=1--，则对任意实数x,有()

A.f(T)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C.f(-x)+f(x)=2D./(-x)-/(x)=2

4.已知e,尸都是锐角，cosa=-,cos(a+6)=-〃，求cos£=()

7v'14

1395971

A.—B.—C.—D.—■

2989898

5.已知(l+2x)”的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中的一项的系数为()

A.5B.16C.40D.80

6.已知正方体力58-44G4的棱长为G，以顶点/为球心，2为半径作一个球，则球

面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为()

3兀5兀

A.—B.—C.2兀D.兀

22

7.某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决

定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运

动员丙第一个出场''的概率为()

A.—B.-C.；D.—

135413

8.对于x＞0,e2"-；ln«zo恒成立，则正数彳的范围是()

Z

试卷第1页，共4页

A.A>-B.2>—C.Z>2eD.2>e

e2e

二、多选题

9.设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为。，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A.z-z=|z|2

B.5+i>4+i

C.若目=1,贝!Jz=±l或z=±i

D.若14目4血，则点Z的集合所构成的图形的面积为兀

10.袋中装有5张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取两次，

每次取1张卡片./表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的

卡片数字是偶数”，C表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则（）

1Q

A.P（”B）=1B.P（BLIC）=—

C.A与3相互独立D.3与C相互独立

11.定义：设/'（X）是函数/（X）的导数，尸⑺是函数4（x）的导数,若方程/〃（x）=0有实

数解看,则称点（%,/（无。））为函数y=/（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有

“拐点”,且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数〃x）=加+加+；（仍30）的对称

中心为（1,1）,则下列说法中正确的有（）

A.a=—,b=-l

3

b-瓦的值是19

C.函数/（X）有三个零点

D.过卜1,£|只可以作两条直线与y=〃x）图象相切

三、填空题

12.抛物线>=2/上的一点/到焦点的距离为1,则点”的纵坐标为.

13.已知样本国,…％的平均数为3,方差为4,样本必，了2,…,％的平均数为8,方差为2,

试卷第2页，共4页

则新样本西,马,…的方差为.

14.在VN8C中，AB-CB-ACBC=~BC,则tan(8-C)的最大值为.

四、解答题

15.如图，一个质点在随机外力作用下，从原点。处出发，每次等可能地向左或者向右移

动一个单位.

-4_3_2_101234

(1)求质点移动5次后移动到1的位置的概率；

(2)设移动5次中向右移动的次数为X,求X的分布列和期望.

16.如图，直角梯形N2CD中，AB//CD,ABLBC,ZDAB=60°,48=40=4,等腰

直角三角形4DE中，AE=DE,且平面ADE_L平面48C,平面N3E与平面CDE■交于跖.

Q)若CD=EF,求二面角/-8C-尸的余弦值.

17.已知°>0,函数/3=犹,-办.

(1)证明f(x)存在唯一的极值点;

⑵若存在。，使得/(x)26-2“对任意xeR成立，求实数6的取值范围.

18.已知圆Af：(x+l)2+/=16,动圆。过定点N(l,0)且与圆M内切，圆心。的轨迹为

曲线C.

(1)求曲线。的方程；

⑵曲线。上三个不同的动点尸，E,尸满足PE与尸尸的倾斜角互补，且尸不与曲线C的顶

点重合，记P关于x轴的对称点为P,线段好的中点为。为坐标原点，证明：P,H,

。三点共线.

19.设集合M={“K=x2-y2,xeZ,yeZ}对于数列{%},如果生€〃\(，=1,2,3--)，则称

试卷第3页，共4页

｛%｝为“平方差数列”.

(1)已知在数列｛%｝中，％=3,(〃+1)。"-〃。用=1.求数列｛%｝的通项公式，并证明数列｛%｝

是“平方差数列”；

(2)已知6"=2",判断出｝是否为“平方差数列”?说明理由；

(3)已知数列｛g｝为“平方差数列"，求证：ciCjeM,(z,j=1,2,3--).

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BCAADBABADBCD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】利用对数函数的性质确定集合A,再利用绝对值的几何意义确定集合3，再求NC8.

【详解】由bg2X<2,可得log?x<log2%解得0<x<4,

所以/={x[0<x<4},

由国<4解得T<x<4,

所以3={止4cx<4},

所以卜|0<》<4}=(0,4),

故选:B.

2.C

【分析】根据等差数列的性质计算.

【详解】由题意S'=8(%广)=4x8=32.

故选：C.

3.A

【分析】计算/(-x)后与/(x)比较可得.

【详解】〃x)=l-3=守，贝IJ/(-x)=¥=|^=-/(x),即"-无)+/(尤)=0,

故选：A.

4.A

【分析】利用同角三角函数之间的关系可求得sina,sin(«+/?),再利用两角差的余弦公式

可得结果.

【详解】由cosa=；,cos(a+£)=-K以及%。都是锐角可得sine=孚，

sin(a+尸)=;

、,14

所以cos/?=cos(a+/7—a)=cos(a+〃)cosa+sin(a+〃)sina

答案第1页，共15页

1115百4百491

=---------X------1------------X-----------=-------=—.

147147982

故选：A

5.D

【分析】根据各项系数和求得〃的值，进而由二项式定理求得力的系数即可.

【详解】因为(1+2%)〃的展开式中各项系数的和为243,

则令x=l,代入可得"2)〃=243=35,解得〃=5,所以二项式为(1+2X)5,

则该二项式展开式的通项为=c⑴51(2X)，=2-CN,re(0,1,2,3,4,5},

令r=4得，则该展开式中的一项的系数为2、仁=16x5=80.

故选：D

6.B

【分析】利用勾股定理确定曲线，然后根据圆弧长公式计算曲线长.

【详解】如图，取8R=4Q=4尸=1,则/R=/Q=/尸=2,

因此球面与面NAS/1的交线是以A为圆心，AR为半径的圆弧砺，

与面48©。的交线是以其为圆心，4。为半径的圆弧起，球面与面N8C。，面40口4,

面N844的交线是一样的，

与面4BC14，面8CC0,面CDDC的交线是一样的，

由tan/R4R=3=左，所以/以火=色，^ZRAQ=--

V3362666

所以所求曲线长为3x%2+3xfxl="，

622

故选：B.

答案第2页，共15页

【分析】先甲最后一个出场或甲在中间出场分类讨论求出方法数，再求出此时运动员丙第一

个出场的方法数，然后由概率公式计算.

【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或

甲在中间出场，

方法数为A：+C；C；A；=78,

在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出

场”,

即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为C；A；=18,

1QQ

因此所求概率为尸=女=].

故选：A.

8.B

【分析】原不等式恒成立转化为22e*Zlnx,两边同乘以x后可同构函数/(x)=xe]

由其单调性可化为222叱恒成立，利用导数求出—的最大值即可得解.

XX

【详解】由e?八一qln620恒成立可得即2加2心之Mx恒成立，

由X>0,可得22xew>xlnx=etaAlnx恒成立，

令/(x)=xe，,则/'(x)=e，(l+x),

由x>0知/'(x)>0,函数/(x)单调递增，

所以/(2西)N/(Inx)恒成立，

InV

则22x2Inx恒成立，即2八——恒成立，

X

人/、Inxe，/、1-lnx

令g(x)=—，则g(x)=——,

XX

当0<x<e时，g'(Q>0,g(x)单调递增，

当X>e时，g<(x)<0,g(x)单调递减，

所以当X=e时，g(x)=g(e)=-,

maxe

所以只需即几上上.

e2e

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于转化为2加2人NInx后，能够两边同乘以x,同构出

答案第3页，共15页

函数/(x)=xe\再由单调性化简为2/lxNlnx恒成立.

9.AD

【分析】选项A：利用复数与共辗复数的概念求解，选项B:利用虚数无法比大小求解，选

项C：利用复数的模求解，选项D：利用复数的几何意义求解.

【详解】选项A：设复数z=a+bi,则z="从,贝!I=(a+Z)i)(a-Z)i)=a2+b~=|z『，故选项

A正确；

选项B:虚数无法比较大小，故选项B错误；

选项C：若目=1,则目=万寿=1,则复数z有无数组解，例如z=；+gi,故选项C错误;

选项D：若1《匕归&,Z的集合所构成的图形的面积S=(V2)271-(1)271=71,故选项D正确.

故选:AD.

10.BCD

【分析】根据相互独立事件的概率计算方法计算，从而得到答案.

【详解】根据题意可知第一次抽取和第二次抽取是相互独立的，故/与8相互独立，故C

正确；

C事件结果有{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},8c事件结果有{(2,4),(4,2)},

375177

易知尸⑷=丁P(B)=§P(C)=—=-.P回Fw，

尸尸⑷+尸⑻一尸3)=0卜＞g故A错误;

7193913

P®C)=P(B)+P(QEB4=底；=--=-,故B正确;

〉〉3X33，J，J

2

P(BC)=—=P(B)P(C),所以8与C相互独立，故D正确.

故选：BCD.

II.ABD

【分析】由题意求一次导数，再求二次导数，得到方程组，解出。力可得A正确；利用对称

性得到/(x)+/(2-x)=2,再仿写求和即可得到B正确；求导后分析极大值和极小值，再

由/(-2)<0结合单调性可得C错误；设出切点，由导数的意义和点斜式得到切线方程，再

代入切点，解出方程即可得到D正确;

【详解】对于A,因为/(x)=ax'+6x2+g(a6H0),

答案第4页，共15页

所以/'(%)=3依2+2bx,

所以/"(x)=6ax+2b,

6a+2b=0

r(O=o

由题意可得即《I5」

/⑴=i'Q+6H---1

3

解得a=g,b=-l,故A正确;

对于B,因为/(x)=。/+6/+片0)的对称中心为(1,1),

所以/(x)+/(2—x)=2,

18

设s=/

ill10

18

仿写得到s=/

a-101?

两式相加得到2s=2+2d---1-2=38，

1819

所以/=19,故B正确;

110W

对于C,由A可得/(x)=-x3-x2+-,

33

所以/''(X)=x?_2x=x(x-2),

令/(无)=0,解得x=0或2,

所以，当xe(-8,0)时,r(x)>0,〃x)为增函数;

当xe(0,2)时,r(x)<0,/(x)为减函数；

当》€(2,舟)时，r(x)>0,〃x)为增函数；

所以在x=0取得极大值，在尤=2处取得极小值，

COC1

又〃0)=『0,/(2)=--4+-=->0,

_85

J=L/(-2)=--4+-=-5<0,

所以「(X)有一个零点，故C错误；

对于D,设切点为7国,%),

贝！J切线方程为+(xg-2r0)^-x0),

答案第5页，共15页

又切线过点

所以+(X；-2¥0l-x0),

化简可得X；-3xo-2=O,即(x0+1)2(x0-2)=0,

解得x0=-1或2,

即满足题意的切点只有两个，所以满足题意的切线只有2条，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题A选项关键在于对于函数新定义的理解后得到方程组解得；本

题D选项关键在于设出切点，利用导数的意义得到切线方程，再解出方程的根，其中分解

因式X”3%-2=0较为关键.

7

12.-/0.875

8

【分析】由题意，根据抛物线的标准方程，求准线方程，结合抛物线的定义，可得答案.

【详解】由题意得，抛物线的标准方程为/=：了，准线方程为了=-：,设点

根据抛物线的定义可知，点M到焦点的距离等于点”到准线的距离，

17

所以为+g=l，解得％=丁

OO

故答案为：

O

13.8.8

【分析】根据方差的计算公式计算.

【详解】演,％2广/6，%，%产,，%的平均值为‘一"-----1；〜--------——=6,

又(再-3)2+(%-3)2+…+@-3)2=4x6=24,即

x；+%2+,•,+X：—6(X]+%2+,,,+%)+6x3之=%：+x；+,,,+X：—6x6x3+6x32=2，，

所以x；+xf4---卜x：=78,

(%—8)2+(%—8)2+…+(%—8)2=2x9=18,

同理可得+y\H--HJ：=594,

所求方差为§2=(西-6)2+(%-6)2+…+(4-6)2+(必―6)2+(%—6)2+…+(居—61

工、一15

答案第6页，共15页

龙；++1—FXg+y；+y2+…+yg—]2乜+/+—%+m+%+'—Fjv9)+15x6

一15

_78+594-12x(6x3+9x8)+15x62_0°

------------------------------------------------0.0?

15

故答案为：8.8.

14.^/1V3

33

【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算法则，两角和的正弦公式，以及正弦定理和三

角形的内角和，化简得到5足8(：05。=33535出。，进而得到tan5=3tanC,再由两角差的

正切，得到tan(8_C)=]j；：£c，结合基本不等式，即可求解.

【详解】因为存•无一%•就=一1尼，可得德•沅+就•前=!旅，

22

所以QCC0S(兀一5)+Q6COSC二$2,可得2(-CC0S3+6cosc)=a，

由正弦定理得2sin5cosc-2sinCeosB=sinA,

又因为sin4=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以2sin5cosC-2sinCcosB=sinBcosC+cos5sinC,

所以sin5cosc=3cosBsinC,则tan5=3tanC,

因为民。为三角形的内角，所以tanC〉O,

/「小tanB-tanC2tanC2

,tan(5-C)=------------------=-----------=—.----------------

由1+tanBtanC1+3tan2C1”+厂，

------+3tanC

tanC

又因为^^+3tanC22」」一x3tanC=26，

tanCVtanC

iA

当且仅当一二=3tanC时，即tanC=组时，等号成立，

tanC3

所以tan(3-C)〈宗=£.

故答案为：立.

3

5

15.(1)—

v16

(2)分布列见解析；|

【分析】⑴根据题意，质点向左或向右移动的概率均为;，且是等可能的，要使得质点移

动5次后移动到1的位置，只需质点向右移动3次，向左移动2次，结合独立重复试验的概

答案第7页，共15页

率计算公式，即可求解；

(2)根据题意，得到随机变量X可能取值为0,1,2,3,4,5,结合独立重复试验的概率公式,

求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.

【详解】(1)由题意，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位，

可得质点向左或向右移动的概率均为：，且是等可能的，

要使得质点移动5次后移动到1的位置，则质点向右移动3次，向左移动2次，

所以概率为尸=C(权([2吗=得.

(2)由题意知，质点向左或向右移动的概率均为且是等可能的，

2

移动5次中向右移动的次数为X,可得随机变量X可能取值为0,1,2,3,4,5,

可得依'=0)=^(1)°(1)5='5

P(X=1)=C；

32

P(X=2)=*)2(1)31,P(X=3)=1,

尸(X=4)=*)4TV，尸(丫=5)=吟4)。=:，

16.(1)证明见解析

【分析】(1)由已知利用线面平行的判定定理得CD〃平面/瓦花，进而由线面平行的性质

定理即可证明结论；

(2)取/。中点O,连接OE,OB,DB,由等边三角形的性质得又由面面垂

直的性质定理可得。石，平面/8C。，可得0408,OE三线两两垂直，建立以。为原点的空

间直角坐标系，利用向量方法可得答案.

【详解】(1)因为43〃CD,A8u平面NBFE,CD<2平面/2尸£,所以。〃平面4BFE,

答案第8页，共15页

又因为平面/BE与平面CDE交于E尸，CDu平面CDE,所以CD〃EP；

(2)取/。中点O,连接OE,OB,DB,因为/ZMB=60。，AB=AD=4,

所以△A8D是等边三角形，由三线合一得：OBLAD,

又因为VNDE是等腰直角三角形，所以

因为平面/DEJ_平面N8C,平面NDEn平面T15C=M,OEu平面NDE,

所以O£_L平面N3CD,又OBu平面N3CA,所以OE_LOB,

故OAQBQE三线两两垂直,

如图以O为坐标原点，CM为x轴，。3为V轴，。£为z轴建立空间直角坐标系,

则/(2,0,0),5(0,26,0)9口,&0)。(2,0,0)E(),0,2),

因为CZ)=EF且由(1)知CD〃斯，

所以四边形。跖为平行四边形，可得厂(-1,6,2),

所以北=(-3-73,0),CF=(2,0,2),设平面BCF的一个法向量为4=(x,y,z),

n,-BC—-3x-A/3V=0

则」一取x=l则1=0,-世，一1卜

nxCF=2x+2z=0

又平面4BC的一个法向量可取鼠=(0,0,1),所以cos%,%=

同同5

设二面角N-3C-尸的大小为6,由题意6为锐角，所以cosO=bos*,矶=]-,

所以二面角/-5C-尸的余弦值为包.

5

17.(1)证明见解析

(2)(-^2e2]

【分析】(1)求出函数导数，判断函数单调性及变化趋势，即可证明；

(2)由题意转化为求“X)最小值，再转化为(-加2+2旭+2)铲26能成立，求出左边最大值

答案第9页，共15页

即可得解.

【详解】⑴因为/(x)=xe-ax,所以八x)=(x+l)e「a.

令g(x)=(x+l)e"则g")=(x+2)e*,令g*)=0,得x=-2.

g'(x),g(x)的变化情况如下:

X-2(-2,+»)

g'(x)—0+

g(x)极小/

所以当x«f-2)时,g(x)单调递减;当xe(-2,+“)时，g(x)单调递增.

又当xe(-8,-1)时，g(x)<0,g(-l)=O,当xe(-l,+8)时，g(x)>0,

当X->+8时，X+1—>+co,e*—>+00,故g(x)―>+8.

所以g(无)大致图象如下：

因为a>0,所以了=g(尤)与V=。恰有一个交点，记为

所以g(m)=a,m>-l,/,(m)=g(m)-a=0.

当xe(-s,相)时,a>g(x),则/'(x)<0,7(%)单调递减,

当xe(九+8)时,a<g{x),则_f(x)>0,/(X)单调递增.

所以/■(“存在唯一的极小值点加，无极大值点，证毕.

(2)由⑴知，当且仅当x=m时，/(X)取得最小值，且g(M=a,m>-l.

所以/'(x)最小值为/("?)=mem-am=mem-mg{m)■

所以原命题等价于存在“，使得/6-2a；

答案第10页，共15页

等价于存在加>T,使得/（m）+2g（w"b,

ipme",-mg（7M）+2g（m）>b,即（一〃/+2m+2）e"'>b.

令〃（无）=（-x?+2x+2）e，'（尤>—1）,

若存在。，使得/（无丝6-2。对任意xeR成立，等价于6V/Kx）max（x>T）,

贝|h，（X）=（―尤？+4k*=（2_工）卜+2）1（尤>_1）,

令〃'（x）=0,得x=2.

〃（x）,〃（x）的变化情况如下：

X（T2）2（2,+8）

h，(x)+0-

/极大

所以当xe（-1,2）时，〃（x）单调递增，当x6（2,+8）时,〃（x）单调递减，

所以当且仅当x=2时，〃（无）取得最大值A（2）=2e2.

所以实数6的取值范围（-'2e2].

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对所求问题进行等价转化，首先转化为

/（尤霜・〃间乂-2。，再把。转化为g（M,问题转化存在“，不等式（-加2+2〃?+2产26

成立，转化为方可（-/+2加+2产],利用导数求解即可得解，属于难题.

18.（1）—+^=1

43

（2）证明见解析

【分析】（1）根据两个圆的位置关系结合椭圆的定义即可求解；

（2）根据题意设出尸（与，%）,^^,%）,尸即为，"。*,%）,尸（%,»），利用点差法确定

做尸=一答，进而有自"=-4一，再利用韦达定理可得/为=4（二一句>）.12,

4%3（EF3+4左

答案第11页，共15页

4（%+区。）2-128（y；+F硝一24-16kxy

,两式相加减可得尤o（尤]+x）=%（占一尤2）=QQ

3+4/23+4/3+4左2

代入够=及±kx0（再+%）—2嗨中得“/=3'从而有脑=一金，所以

再-x2

已知圆M的圆心为M（T,O）,半径为4；设动圆Z）的圆心为。（羽田，半径为五,

则|£W|=七|。叫=4-同+|Z）M=4>\MN\,

所以点。的轨迹是以”,N为分别为左右焦点，且长轴为4的椭圆,

22

设椭圆方程为鼻+彳=1,则有。=2,c=l万=/-C2=3,

ab

则曲线C的方程为江+片=1.

43

（2）

设尸（%/0），颐不，必），户（X2/2），印>3，%），尸（%0,寸0），

由题意演。％2,弘0%，可知物=再+%2点%=必+%，

+二1

，两式相减得，左斯=91=一誓三斗=一户

,占-%43]+%）4%

+=1

答案第12页，共15页

一4

而上O”二匹所以《OH二一百一

3kFE

设直线尸石的方程为歹-％=做＞-％0）,尸尸的方程为＞-No=-任%-%）

将用的方程代入得，

2

整理得（3+4左2）f_|_8左（J?。—h：o）x+4（jv0—AXQ）—12=0,①

因为X=/是方程①的一个根，所以七毛=迎二笆二11,②

将"的方程代入〉『I得’宜八

整理得(3+4/)/+8左(％+kx0)x+4(%+丘0)2-12=0,③

因为x=x。是方程③的一个根，所以％%=4"°+"°）：一12，④

3+41

②一④可得，"「%）=]：筌,⑤

②+④可得，/（网+马）=85+乙0-24,⑥

y-y斤（无]-＞0）+夕0—[左（X?一）0）+夕0]=左（匹+/）2履0=5（再+/）-2日；

;t2⑦

七一遍再一3龙0）

卜8(y；+/x；)24

—2fog

3+4左2—24-6XQ

将⑤⑥代入⑦式可得，k