湖南省岳阳市某中学2025届高三年级上册第二次检测数学试题（含答案）

湖南省岳阳市第一中学2025届高三上学期第二次检测数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={%eZ|-3<%<3],5={%|y=/xTl},则AClF=()

A.{-1,0,1,2}B.(-1,3)C.{0,1,2}D.(-1,+8)

2.复数篇的共辗复数是()

A.B.|iC.-iD.i

3.若一sina+V3cosa=2,贝|tan(7T—a)=()

A.-V-3B.V-3C.D.-

4.已知等比数列{an}满足.。5=4(。4一1)，则的值为

A.2B.4C.|D.6

5.已知函数f(%)=/•%2_b有三个零点，贝脑的取值范围是()

A.(0,劫B.(0,摄)C,口.[0,1

C

6.在△ABC中，角C的对边分别为a,b,c,已知2acos25=b(l-cosA)+a,则△ABC的形状是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.函数/(%)=2sinnx-73x-4所有零点的和等于()

A.6B.7.5C.9D.12

8.设a=^,b=21n^sin^+cos2),c=1ln|,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知％>0,y>0,且久+2y=2,则（）

A.的最小值是1B,x2+y2的最小值是衣

C.2*+犷的最小值是4D二+2的最小值是5

xy

10.设函数/(%)=%3—x2+ax—1,贝！J()

A.当a=-1时，/(x)有三个零点

B.当a>，时，/(*)无极值点

C.maeR,使/(%)在R上是减函数

D.VaGR,/(久)图象对称中心的横坐标不变

11.对勾函数/(久)=ax+^a>0,b>0)的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此对

勾函数即为双曲线.已知。为坐标原点，下列关于函数/(%)=x+§的说法正确的是()

A.渐近线方程为x=0和y=x

B.y=/0)的对称轴方程为y=(彘+l)x和y=(1—V2)x

C.M,N是函数外久)图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN,0P的斜率之积为定值

D.Q是函数f(x)图象上任意一点，过点Q作切线交渐近线于4B两点，贝帆04B的面积为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量记=(1,2)花=(2—尢若2与B的夹角为锐角，贝U的取值范围是.

13.数列｛an｝的前n项和为Sn,=1,an+1=2Sn(nGN*),则即=.

14.设等差数列｛&J的各项均为整数，首项的=3,且对任意正整数n,总存在正整数相，使得的+a2+…

+an^am,则关于此数列公差d的论述中，正确的序号有.

①公差d可以为1；

②公差d可以不为1；

③符合题意的公差d有有限个；

④符合题意的公差d有无限多个.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在锐角ZL48c中，角的对边分别为a,6,c,且辿+?=空誓

ab3a

(1)求角B的大小；

(2)若6=2，可，求a+c的取值范围.

16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—HBCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=2.AP4D为等边三角形，平面PAD，

平面4BCD,E为AD的中点.

入

(I)求证：PELAB；

4B

(II)求平面P2C与平面2BCD夹角的余弦值.

17.(本小题12分)

已知椭圆C:^+，=l(a>6>0)的离心率为今左、右顶点分别为力、B,左、右焦点分别为&、F2.过右

焦点尸2的直线I交椭圆于点M、N,且A6MN的周长为16.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)记直线AM、BN的斜率分别为以、电，证明：金为定值.

18.(本小题12分)

设f(x)=ex.

(1)求证：直线y=x+1与曲线y=f(x)相切；

(2)设点P在曲线y=/(x)上，点Q在直线y=x—1上，求|PQ|的最小值；

(3)若正实数a,b满足：对于任意xeR,都有/'(久)Na久+6,求ab的最大值.

19.(本小题12分)

数列的前几项a1,a2,…,即(71eN*)组成集合4n={a1,a2,—,an),从集合4t中任取=1,2,3,…,n)个

数，其所有可能的k个数的乘积的和为廉(若只取一个数，规定乘积为此数本身)，例如：对于数列{2n-

1},当?1=1时，&={1},=1;n=2时，A2={1,3},=1+3,T2=1-3；

⑴若集合4={1，3,5厂,2几—1},求当n=3时，A，T2b3的值；

n

(2)若集合4n=[1,3,7,-,2-1},证明：n=k时集合人的7与n=k+1时集合4场]的哈(为了以示区

别，用7―表示)有关系式7/=(2-1—1)7_1+7，其中

(3)对于(2)中集合力几.定义%=A+R+…+M，求土(用n表示).

参考答案

1.71

2.C

3.C

4.B

5.B

6.D

7.C

8.F

9.BC

10.BD

11.ABD

12.(—24呜+8)

13f15=1

(2-3n-2,n>2

14.①②③

15.(1)锐角ZL4BC中，等+等=空|咨，

,..n2V-3j.「

••・bcosA+acosB=—nsinC,

由正弦定理得sinBcos/+cosBsinA=^^sinBsinC,

・•・sin(4+B)=^y^sinBsinC,

又sin(/+B)=sinCW0,

./3

•••sinBn=—,

又0<B<3

n

「•8=可

(2)由正弦定理急=肃=9=4,

则有CL=4sin/,c=4sinC,

则a+c=4sinA+4sinC

=4sin4+4sin-A

=6sinX+2A/3cosZ

=4V~3sin(Z+*

因为448c为锐角三角形

0<A<^

所以《0<^-A<^可得FAW

%<4+太警

由正弦函数的图像与性质可得写<sin（/l+g<l,

即6<a+cW4<3

16.解：（/）因为APaD为正三角形，E为4。中点，

所以PE14D.

因为平面PAD_L平面ABC。，平面PADCl平面48CD=AD,PEu平面PAD,

所以PE1平面ABCD.

因为力Bu平面4BCD,

所以PE1AB.

（H）由（I）知,PEI平面4BCD.

取BC中点F,连结EF.

因为底面2BCD为矩形，E为4D中点，

所以EF14D.

所以E4,EF,EP两两垂直.

分别以E4EF,EP为式轴，y轴，z轴，建立

空间直角坐标系E-xyz.

则E(0,0,0),4(1,0,0),P(0,0,O,C(-1,3,0)

所以同=(1,0,—V^),AC=(-2,3,0).

设平面P4C的法向量元=(x,y,z),

由长”=0,得巴优=0

[n-AC=0,(-2%+3y=0.

令z=V-3>得第=3,y=2.

所以元=(3,2,O.

平面ABC。的法向量加=(0,0,时).

设平面PAC与平面/BCD夹角大小为仇

元丽_(3,2,⑸(0,0,71)_/3

则cos。=|cos{n,EP)|=

同.网_4x<3_4

所以平面P4C与平面4BCD夹角的余弦值为今

17.(1)

由AFiMN的周长为16,及椭圆的定义，可知：4a=16,即a=4,

又离心率为c=£=撕以c=2

aL

b2=a2—c2=16—4=12.

所以椭圆C的方程为：S+*=L

161Z

(2)

依题意，直线1与无轴不重合,

设/的方程为：%=my+2.

联立1612—得：(3m2+4)y2+12my-36=0,

x=my+2

因为尸2在椭圆内，所以/>0,

即(12zn)2+4(3m2+4)x36>0,易知该不等式恒成立,

设M(%i，yi),N(%2，y2)，

由韦达定理得力+%=瑞，=湍・

又力(一4,0),8(4,0),则

当

ki_勺+4_丫1(%2-4)_丫1(/丫2_2)_犯々丫2-2丫1

五一五一丫2(%1+4)-y(my+6)-myy+6y

%2-421122

2

注意到今詈=匚=£，即：rnyry2=3。1+y2)

y〔y?--JOs

fcj_小"1〉2-2匕_3仇+下2)-2力_力+3y2=1

卜2—my1y2+6y2—3(y1+y2)+6y2—3y1+9y2—3,

18.(1)

设直线y=x+1与fO)=e*相切于点(久°,e*。)，

易知(0)=靖，则斜率k=，Oo)=e&=l,解得%o=O,即切点为(0,1)；

此时切线方程为y-1=%,即丫=久+1,

所以可得直线y=比+1是曲线y=/(尤)在点(0,1)处的切线方程；

(2)

根据题意，将直线y=x-1往靠近曲线y=/(x)的方向平移，

当平移到直线与曲线相切时，切点P与直线间的距离最近，

设切线方程为y=x+c,

由(1)可知，当切线斜率为1时，切点坐标为(0,1)，此时切线方程为y=x+l，

此时P(0,l),从P点向直线y=x-1作垂线，垂足为Q,此时|PQ|取最小值，

即-Qi

所以|PQ|的最小值为YZ

(3)

若对于任意％eR,都有f(%)>ax+b,即可得e%-ax-b>。恒成立，

令g(x)=ex—ax—b,则g'(%)=ex—a,

当a<0时，“(%)=ex—a>0恒成立，即g(%)在汽eR上单调递增，

显然当久趋近于-8时，不等式并不恒成立，不合题意；

当a>0时，令g'(%)=ex—a=0,解得％=Ina,

所以当第E(-8,Ina)时，g，(x)<0,此时g(%)在(一8,Ina)上单调递减，

当％G(Ina,+8)时,“(%)>0,此时g(%)在。na,+8)上单调递增，

所以g(%)在％=Ina处取得最小值，

即满足g(%)min=g(lna)=elna-alna—b=a—alna—b>0即可，

即b<a—alna,

由a>。可得ab<a2(l—Ina),

设h(x)=%2(1—Inx),则〃(%)=2x(1—Inx)+/x(—})=x(l-21nx),

令H(x)=0可得久=

即％G(o,，?)时，"(%)>o,所以八(%)在(o,V"W)上单调递增，

当i+8)时，h!{x)<0,所以以%)在(y@+8)上单调递减，

所以h(%)max=^(V-e)=e(l-ln-/e)=|，

即ab<f

所以ab的最大值为?

19.⑴

n—3时，A3={1,3,5},

=1+3+5=9,72=1X3+1X5+3X5=23,T3=1x3x5=15.

(2)

71=k+1时，集合4上+1的T/中各乘积由两部分构成，

一部分是乘积中含因数2日1-1,乘积的其他因数来自集合故诸乘积和为(2女+1-1)7_1；

另一部分不含2日1-1,乘积的所有因数来自集合①，