高一数学同步辅导讲解典型例题分析和练习

高一寒假数学同步辅导讲义〔典型例题分析和练习〕典型例题分析【题1】设集合A={x︱xZ，且－10≤x≤－1},B={x︱xZ，且︱x︱≤5},那么AB中元素个数是〔〕A．11B。10C。16D。15分析：此题主要考察集合概念及集合并集运算可借助于数轴求解解：如下图AB={x︱xZ，且－10≤x≤5}显然，AB中有16个整数，应选C评注：该题容易错选D，原因是无视了“0〞元素。【题2】如下图，U是全集，M，P，S是U3个子集，那么阴影局部表示集合是〔〕A．〔MP〕SB．〔MP〕SC．〔MP〕D．〔MP〕分析：此题主要考察考生对综合韦恩图理解，给出全集U与3个子集M，P，S关系图，求阴影局部表示集合，可以用直接分析判断法，也可用间接排除法。解：解法1：由图中阴影局部所表示集合是MP子集，同时又是S补子集应选C。解法2：图中表示集合S区域与阴影局部没有公共面积，即阴影局部表示集合不含S元素，排除B；M，P，S三个区域公共局部位于阴影外部，排除A；阴影只是区域一局部，中元素不全部落在阴影里，排除D；从而得C是所求。评注：在失分考生中，有过半考生误用D作答，说明考生混淆了集合交与并这两个概念，是该题失分主要原因，至于集合韦恩图含义，已为考生们所普遍掌握。【题3】设U是全集，非空集合P，Q满足PQU，假设含P，Q一个集合运算表达式，使运算结果为空集，那么这个运算表达式可以是_________〔只要写出一个表达式〕分析：此题主要考察集合根本概念和集合间包含关系，考察考生对符合语言和图形语言互译能力解：通过画出韦恩图，就可直觉地看出答案为P评注：此题是一道通俗读物是集合开放题，逆向考察集合运算能力。【题4】命题“a，b是偶数，那么a+b是偶数〞逆否命题是〔〕a+b不是偶数，那么a，b都不是偶数a+b不是偶数，那么a，b不都是偶数a+b不是偶数，那么a，b都是偶数a、b都不是偶数，那么a+b不是偶数分析：此题主要考察“假设p那么q〞形式命题逆否命题概念，以及考生转化能力，按逆否命题定义求解即可。解pq﹃q﹃p所以应选B评注：正确理解常用词语否认，是此题解题关键，如“都是〞否认是“不都是〞【题5】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙必要条件，丙是乙充分条件，但不是乙必要条件，那么〔〕丙是甲充分条件，但不是甲必要条件丙是甲必要条件，但不是甲充分条件丙是甲充要条件丙不是甲充分条件，也不是甲充分条件分析：此题主要考察“pq“形式命题，其条件和结论之间逻辑关系，可以从四种逻辑关系入手。解：∵乙甲，丙乙∴丙甲，即丙是甲充分条件。又乙丙不成立，假设甲乙，那么甲丙不成立；假设甲不乙，那么仍有甲丙不成立。即丙不是甲必要条件应选A评注：解答此题容易发生逻辑混乱【题6】设集合A={x︱︱x－a︱<2,B={x︱<1}，假设AB，求实数a取值范围。分析：此题主要考察集合包含关系等概念，分式不等式，绝对值不等于和不等式给解法，同时考察了考生化归能力。解，由︱x－a︱<2得a－2<x<a+2∴A={x︱a－2<x<a+2}由<1,得<0，即－2<x<3∴B={x︱－2<x<3}a－2≥－2由AB，知a+2≤3故0≤a≤1评注：在确定〔※〕不等式时，可借助于数轴，数形结合处理【题7】设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A→B把集合A中元素n映射到集合B中元素2+n，那么在映射f下，象20原象是〔〕A．2B。3C。4D。5分析：根据映射定义，列出原象方程2+n=20解，依题意，得2+n=20，将A、B、C分别代入检验，知n=4，应选C评注：此题建立方程容易，解方程难，考虑到选择特点，可逆向代入验根【题8】映射f:A→B,其中，集合A={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中元素都是A中元素在映射f下像，且对任意aA，在B中和它对应元素是︱a︱，那么集合B中元素个数是〔〕A．4B。5C。6D。7分析：此题主要考察映射概念，解答该题可依题意具体写出像集合B中所有元素，再数其个数你答；也可将原像集A中元素按负数与非负数分成两类，从整体考虑作答。解法1：依题意可将映射f:A→B原像与像之间对应列成表2—5表2—5：A元素－3－2－11234映射f下像3211234因此像集合B={3，2，1，4}，即得B中元素个数个为4，取A为答案解法2：依题意，对任意aA,f(a)=︱a︱,因为A中含3个负数－3，－2，－1绝对值都在A中正数中故n=4，得A为答案。评注：该题错答考生中，多数选为D，反映了他们对集合中元素相异性没有掌握好。【题9】〔假设函数y=f(x)反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0,那么g(b)等于〔〕解法1因为f(x)与g(x)互为反函数，即对f(x)定义域中任意值x，都有g(f(x))=x，所以由f(a)=b，便有g(b)=g(f(a))=a，因此取A作答。解法2取特殊函数f(x)=x+1，其反函数f(x)=x－1，进而取a=2，有f(a)=3,即b=3，从而g(b)=3－1=2，选A为答案评注：解答此题失误主要原因是混淆“函数互反〞与“实数倒数〞这两个概念。【题10】函数f(x)=ax+bx+cx+d图像如下图，那么〔〕A．b(－(0，1)(2，+)分析：观察图形，从形向数转化解法一：由题意得f(0)d=0f(1)=a+b+c+d=0f(2)=8a+4b+2c+d=0解这个关于b，c，d方程组，得b=－3a,c=2a,d=0由图2—19知，f(3)>0,即27a+9b+3c=6a>0∴b=－3a,(－，0)评注：此题考察识图、读图，将图形语言转化为数学符号语言能力【题11】设函数f(x)=(a>b>0)，求f(x)单调区间，并证明f(x)在其单调区音频单调性。分析：从定义域入手，用定义证明解：函数f(x)定义域为(－,－b)(－b，+)f(x)在〔－，－b〕内是减函数，f(x)在(－b，+)内也是减函数证明f(x)在(－b，+)内是减函数取x，x(－b，+)且x<x，那么f(x)－f(x)=－=∵a－b>0.x－x>0,(x+b)(x+b)>0∴f(x)－f(x)>0即f(x)在(－,－b)内是减函数评注：本小题主要考察函数单调性及不等式根底知识，以及数学推理判断能力【题12】某地为促进淡水鱼养殖业开展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克。根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼市场日供给量P千克与市场日需求量Q千克近似满足关系：P=1000〔x+t－8〕(x≥8，t≥0)Q=500(8≤x≤14)当P=Q时市场价格称为市场平衡价格。将市场平衡价格表示为政府补贴函数，并求出函数定义域为使市场平衡价格不高于每10元/千克，政府至少补贴多少？分析：此题主要考察运用所学数学知识和方法解决实际问题能力，以及函数概念、方程和不等式解法等根底知识和方法。解〔1〕依题设有1000(x+t－8)=500化简得5x+(8t－80)x+(4t－64t+280)=0当△=800－16t≥0时可得x=8－t±由△≥0，t≥0，8≤x≤14得不等式组0≤t≤8≤8－t+≤14解①得0≤t≤故所求函数关系为x=8－t+函数定义域为[0，]〔2〕为使x≤10,应有8－t+≤10化简得：t+4t－5≥0解得t≥1或t≤－5，由于t≥0知t≥1从而政府补贴至少为1元/千克。评注：此题反映了当前经济生活，要求学生运用自己数学家知识解决社会实际问题，把生活问题转化为数学问题，最后化归为方程和不等式问题来处理。【题13】设{a}是首项为1正项数列，且〔n+1〕a－na+aa=0(n=1，2，3，…)，那么它通项公式是a=____________解：由(n+1)a－na+aa=0得〔aa〕[〔n+1〕a－na]=0(怎样得到？)又∵a，a>0∴(n+1)a－na=0，即=∴==……=∵=∵a=1,∴a=，应填评注：此题是累商法求数列通项公式，如果从特殊情形入手，还可猜想通项公式，作为填空题，也不失为一种好方法【题14】设{a}是由正数组成等比数列，公比q=2,且a·a·a……a=2，那么a·a·a……·a等于〔〕A．2B。2C。2D。2解法1由a·a·a……a=2,得a·(aq)·(aq)…·〔aq〕=aq=aq=2∴aq=2(∵a>0)∴a·a·a……·a=〔aq〕·(aq)……〔aq〕=a·q=a·q=(aq)=(aq·q)=(2·2)=20，应选B解法2设a=a·a·a……a那么aq=a·a·a……aaq=a·a·a……a(为什么？)∴a·aq·aq=aq=2，而q=2,a>0∴a=1,a=1,aq=q=2，应选B评注：此题主要考察等比数列通项公式等根底知识，同时考察运算能力和整体思想。【题15】a，a，…，a为各项都大于零等比数列，公比q≠1,那么()a+a>a+aa+a<a+aa+a=a+aa+a与a+a大小关系不能由条件确定解：∵(a+a)－(a+a)=a(1+q)－a(q+q)=a(1+q－q－q)=a(1－q)(1－q)又a>0,∴q>0,q≠1∴当q>1时，q>1,q>1,1－q<0,1－q<0当0<q<1时，0<q<1，0<q<1，1－q>0，1－q>0总有a(1－q)(1－q)>0∴a+a>a+a应选A评注：此题主要考察等比数列通项公式及求差法比拟大小。错选C较多，主要认为1+8=4+5，∴a+a=a+a，这显然是“思维定势〞影响，错把等差数列性质移到了等比数列中。【题16】设S是等差数列{a}前n项和，S与S等比中项为S，S与S等差中项为1，求等差数列{a}通项a解：设等差数列{a}首项a=a,公差为d,那么通项为a=a+(n－1)d前n项和S=na+dS·S=(S)依题意有其中S≠0S·S=2(3a+3d)·(4a+6d)=(5a+10d)由此可得(3a+3d)+(4a+6d)=23ad+5d=0a=1a=4整理得解得或2a+d=2d=0d=－∴a=1或a=4－〔n－1〕=－n经历证知a=1时，S=5或a=－n时，S=－4，均适合题意故所求等差数列通项为a=1，或a=－n评注：此题主要考察等差数列，等比数列，方程组等根底知识，考察运算能力等比数列中任何一项都不能为零，此题中须注明S≠0，否那么扣1分〔当年评分标准规定〕【题17】设数列{a}首项a=1,前n项和S满足关系式：3tS－(2t+3)S=3t(t>0.m=2，3，4，…)求证：数列{a}是等比数列设数列{a}公比为f(t)，数列{b},使b=1,b=f()(n=2，3，4，…),求b求和：bb－bb+bb－…+bbb解〔1〕由S=a=1,S=a+a=1+a得3t(1+a)－(2t+3)=3t∴a=又3tS－(2t+3)S=3t3tS－(2t+3)S=3t(n=3，4，…)两式两边分别相减得3ta－(2t+3)a=0，又t>0于是=，n=3，4，…因此{a}是一首项为1，公比为等比数列。〔2〕由f(t)==+,b=f(),n=2，3，4，…∴b=+b，可见{b}是一个首项为1，公差为等差数列。∴b=1+〔n－1〕=(3)解法1由b=，可知{b}和{b}是首项分别为1和，公差均为等差数列，并且b=∴bb－bb+bb－bb+…+bbb=b(b－b)+b(b－b)+…+b(b－b)=－(b+b+…+b)=－·=－(2n+3n)解法2∵bb－bb=b(b－b)=(2m+1)∴bb－bb+bb－bb+…+bbb=(bb－bb)+(bb－bb)+…+(bb－bb)=－[(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2·2+)]=－[2×(2+4+…+2n)+n]=－(2n+3n)评注：此题考察等差数列，等比数列概念和求和公式，以及考察逻辑推理能力与分析问题，解决问题能力。【题18】设{a}为等差数列，S为数列{a}前n项和，S，S=75，T为数列{}前n项和。求T解：设等差数列{a}公差为d，那么S=na+n(n－1)d∵S=7,S=757a+21d=715a+105d=75a+3d=1即解得a=－2,d=1a+7d=5∴=a+(n－1)d=－2+(n－1)∴－=∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为∴T=－n评注：本小题主要考察等差数列根底知识和根本技能，运算能力。寒假综合能力测试题〔1〕选择题〔共12题，每题5分，共60分〕1．以下图形中，不可能是函数f(x)图象是〔〕2．设函数y=log2x，y=x—1，y=()x定义域依次为P，Q，W，那么他们之间关系是〔〕A．QPWB．PQ=WC．P=QWD．PQW3．假设数列前n项和为Sn=n2+2n+1，那么a4值为〔〕A．7B．9C．10D．244．设函数f(x)\=，那么函数解析式为〔〕A．B．C．－xD．x5．设全集I=R，M=，N=，那么〔〕A．MNB．MC．M∩N=ΦD．M∪N=R—6．一个项数为2n－1〔n∈N+〕等差数列，它奇数项与偶数项之和分别是333和296，那么此数列中间项是〔〕A．37B．17C．9D．747．“p是q为真命题〞是“p且q为真命题〞〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．设f(x)=ax2+bx+2，且f(－2)=3，那么f(2)值等于〔〕A．－3B．－1C．1D．39．函数y=反函数〔〕A．是奇函数，它在〔0，+∞〕上是减函数B．是偶函数，它在〔0，+∞〕上是减函数C．是奇函数，它在〔0，+∞〕上是增函数D．是偶函数，它在〔0，+∞〕上是增函数10．假设logx(a+2)＞logx(2a)＞0，那么a取值范围是〔〕A．1＜a＜2B．a＞2C．＜a＜1D．0＜a＜11．设f(x)是〔－∞，+∞〕上奇函数f(x+2)=－f(x)，当≤x≤1时，f(x)=x，那么f(7，5)等于〔〕二、填空题：〔本大题4小题，每题4分，计16分〕13．用“＜〞(－)3，()，()，()，(2)重新排列为____________.14．数列满足an+1=2an+1，且a1999=a2000－1，那么a2002____________.15．函数y=ln(x2―3x―4)递增区间是______________________________.16．等数差数列中，Sn是它前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，给出以下结论：①比数列公差d＜0②S9一定小于S6③a7是各项中最大一项④S7一定是Sn中最大值其中正确是___________________________.〔填入序号〕三、解答题：〔共6大题，共74分〕17．〔此题12分〕设f(x)=x+〔1〕判定f(x)奇偶性；〔2〕当x＜0时，讨论f(x)单调性。18．此题〔12分〕：由正数组成数列，假设前2n项之和等于它前2n项中偶数之和11倍。第三项与第四项之和为第二项与第四项之积11倍，求数列通项公式。19．如果不等式7x－2＞(x2－1)m，对m∈[－2，2]成立，求x取值范围。20．用分期付款方式购置P4型家用电脑，价格为每台11500元，可用以下方式付款，购置当于先付1500元，以后每月交付500元，并先加付欠款利息，月利率为1%〔即欠款1%，利息不计入欠款〕，在交付1500元后第一个月为分期付款第一个月，问分期付款第10个月交付多少钱？全部贷款付清后，买这台电脑实际花了多少钱？21．二次函数f(x)=ax2―bx+c〔a、b、c∈R〕满足f(―1)=0，对于任意实数x都有f(x)―x≥0，并且当x∈(0，2)时有f(x)≤.〔1〕求f(x)解析式；；〔2〕当x∈[―1，1]，函数g(x)=f(x)―mx(m∈R)是单调函数，求实数m取值范围.22．数列前n项和为Sn，满足条件lgSn+(n―1)lgb=lg(bn+1+n―2)，其中b＞0且b≠1，〔1〕求数列通项an；〔2〕假设对4≤n∈n+1＞an求b取值范围。参考答案1．D2．D3．B4．D5．C6．A7．B8．C9．C10．A11．A12．B13．(－)3＜()＜，()＜()＜(2)14．a2002=22003－115．〔－∞，－1〕.16．①、②、④正确17．解〔1〕f(x)定义域是x∈〔－∝，0〕∪〔0，+∞〕f(－x)=－x－=－(x+)=－f(x)，那么f(x)是奇函数〔2〕设x1＜x2，x1，x2∈〔－∞，0〕f(x2)―f(x1)=x2+―(x1+)=(x2―x1)()那么：x1＜x2＜1，∵x1x2＞0，x1x2－1＞0，f(x)是减函数18．解：当q=1时，S2n=2na1，S偶数项=na1，又a1＞0，2na1≠11na1，故q≠1∴S2n=，S偶数项=，以题意有=11―解之得q=又a3+a4=a1q2(1+q)，以题意aq2(1+q)=11a12q4将q=待入得，a1=10∴an=10()n—1=102—n19．解：令f(m)=(x2―1)m―7x+2＜0∴一次函数要使其f(m)＜0那么在m∈[－2，2]端点最值均小于0，故＜x＜20．解：每月付500元，所欠10000元需20个月付清第一个月付：a1=500+10000×1%=500+100=600―5(1―1)第二个月付：a2=500+(10000－500)×1%=595=500+100―5=600―5(2―1)第三个月付：an=500+[10000―500(n―1)]×1%=600―5(n―1)=605―5n(1≤n≤20)当n=10时，a10=600―5(10―1)=555∵an―an—1=(605―5n)―[605―5(n―1)=―5=d∴S20=600×20+(－5)=1150011050+1500=12550因此第10个月应付555元，买这电脑实际花了12550元。21．解：〔1〕∵f(－1)=0，∴a+b+c=0①由题意，当x=1时，有f(1)－≥0，f(1)≤∴f(1)=1，即a－b+c=1②由①、②可得b=－由f(x)－x≥0恒成立，即ax2－+c≥0恒成立∴a＞0且△≤0可得ax≥，∴c≤0由①知a+c=－b=∴c=－aac=a(―a)=―a2+a=―(a―)2+≤但ac≥，∴ac=，这时a=，∴c=∴f(x)=x2－x+(2)g(x)=f(x)―mx=x2+(―m)x+―∵g(x)在[―1，1]是单调函数，由二次函数g(x)顶点横坐标x0=由x0≤－1或x0≥1，即≥1，∴≥1，解得m≤0或m≥1∈∪22．解：〔1〕由得Sn=b2+当n=1时，a1=s1=b2－1当n≥2时an=sn－sn—1=综上知an=〔2〕由an+1＞an化简得〔n―3〕b2―(2n―4)b+(n―1)＞0，即(b－1)(b－)＞0(n≥4)解得b＜1或b=1+而1+≤1+2=3∴b＞3综上知0＜b＜1或b＞3寒假综合能力测试题〔2〕选择题：〔本大题共12小题，每题5分，计60分〕1．数列，，，，，……依前三项给出规律变化，那么实数对〔a、b〕应该是〔〕A．〔19，3〕B．〔19，－3〕C．〔，〕D．〔，－〕2．或a＞0，a≠1，F(x)是偶函数，g(x)=f(x)loga(x+)图象是〔〕A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称3．有以下四个命题：①“假设b=3，那么b2=9〞逆命题；②“全等三角形面积相等〞；③“假设c≤1，那么x2+2x+c=0有实根〞④“假设A∪B=B，那么AB〞逆命题其中真命题个数是〔〕A．1B．2C．3D．44．三数式等差数列是=〔〕A．必要非充要条件B．充分非必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件5．是等差数列，且a2+a4+a5+a6+a8=10，那么方程x2－(a3+a7)x+4=0根情况是〔〕A．无实根B．两相等实根C．两相异实根D．不能确定6．函数f(x)=x2+2(a―1)x+2在区间〔―∞，4〕上是减函数，那么实数a取值范围是〔〕A．a≤－3B．a≥3C．a≤5D．a=－37．f(x)=，那么f值为〔〕A．π+1B．0C．1D．π8．以下函数I，y=ax，Ⅱ.y=bx，Ⅲ.y=logcx，Ⅳ.y=logax，在第一象限图象如下图，那么〔〕A．a＞b＞c＞dB．c＞d＞a＞bC．a＞b＞d＞cD．d＞c＞b＞a9．以下命题中正确是〔〕A．命题“a、b都是偶数，那么a+b是偶数〞逆否命题是“a+b不是偶数，那么a、b都不是偶数〞；B．如果一个数列递推公式，那么可以写出这个数列任何一项；C．以下对应不是映射“A=，B=，对应法那么f：x→y=x2，x∈A，y∈B〞D．偶函数一定没有反函数10．正项等比数列中，假设a2a4+2a3a5+a4+a6=25，那么a3+a5等于〔〕A．5B．25C．D．311．Y=1+lg(x+2)图象与函数g(x)图象关于y=x轴对称，那么〔〕A．g(x)=2－10x—1B．g(x)=2－10x+1C．g(x)=10x+1－2D．g(x)=10x—1－212．函数f(x)=－x2+2x+1，那么f(2x)与f(3x)关系为〔〕A．f(2x)≤f(3x)B．f(2x)≥f(3x)C．f(2x)＞f(3x)D．大小不定二、填空题〔共4小题，每题4分，共16分〕13．假设〔x，y〕在映射f下象是〔x－y，x+y〕那