2024-2025学年江西省宜春市高二上学期开学诊断考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江西省宜春市高二上学期开学诊断考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为，则该扇环的外弧长为（

）A． B． C． D．3．已知函数对任意满足，，且，则等于（

）A．1 B．0 C．2 D．4．已知向量，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．已知均为锐角，若则p是q的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（

）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度7．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知定义在上的偶函数，当时，，对任意总有.当时，恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（

）A．这组数据的众数为4 B．这组数据的极差为3C．这组数据的平均数为1.5 D．这组数据的分位数为110．若，则下列结论正确的有（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则11．半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是（

）

A．该半正多面体的表面积为B．与平面所成角的正弦值为C．该半正多面体外接球的表面积为D．若点，分别在线段，上，则的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．.13．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为.

14．如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有800年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在文塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上共线的三点，，处测得古树顶点的仰角分别为45°，45°，30°，若米，则该古树的高度为米.四、解答题（本大题共5小题）15．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.(1)求的解析式；(2)设，若在上是单调函数，求实数的取值范围.16．在如图所示的多面体中.四边形是边长为的正方形，其对角线的交点为，平面，，.点是棱的中点.(1)求证：平面；(2)求多面体的体积.17．甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．18．在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且.(1)求；(2)若，，的平分线交于点，求的长.19．设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”.(1)记的“友函数”为，求函数的单调递增区间；(2)设，其中，求的“友向量”模长的最大值；(3)已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.

答案1．【正确答案】C【分析】计算得到，再根据定义判断即可.【详解】由知，故在复平面内对应，在第三象限.故选：C.2．【正确答案】C【分析】设该扇环的内弧的半径为，根据弧长公式计算可得.【详解】设该扇环的内弧的半径为，则外弧的半径为，圆心角，所以，即，解得，所以该扇环的外弧长.故选：C3．【正确答案】B【分析】首先分析函数的周期，再利用对称性求值.【详解】，所以函数的周期为4，由，知，则.故选：B4．【正确答案】A【分析】根据投影向量的公式求解.【详解】根据题意，在上的投影向量为：.故选：A5．【正确答案】B【分析】以互为条件，举反例或利用正弦函数的单调性即可判断两者关系.【详解】先证不成立：令，则满足，但不满足，所以不成立；再证成立：因为，又，所以，因为在上单调递增，所以，故成立；综上：p是q的必要而不充分条件.故选：B.6．【正确答案】C【分析】根据三角函数平移伸缩变化求解即可.【详解】先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.故选C.7．【正确答案】A【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理结合两角和的正弦公式得到，进而得到，然后利用正弦定理和三角恒等变换，由求解.【详解】解：因为，由正弦定理得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，又，所以，所以，又，，则，所以或，即或（舍去），则，所以解得，则．所以，，，即的取值范围是．故选：A．关键点点睛：本题解决的关键是得到，从而利用确定角B的范围，由此得解.8．【正确答案】C【分析】先分析、、时的函数解析式以及值域，再根据函数的倍增性和偶函数图象特征作出函数的图象，结合图象确定出符合条件的的范围即得的最大值.【详解】当时，,则即当时，；当时，，由题意，,则即当时，；同理，当时，.又为定义在R上的偶函数，其图象关于轴对称，故当时，，如图所示.当时，恒成立，即，，而由图象知，，则，当取最大值时，必有，且，由时，，可得，则得，或，由图知应舍去.故当，时，取得最大值.故选：C.思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，属于难题.本题以分段函数为媒介，采用数形结合思想，通过数与形的相互转化能使繁难问题得到简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.9．【正确答案】BD【分析】利用众数、极差、平均数与百分位数的定义求解即可.【详解】数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4.对于A，该组数据的众数为1，故A错误；对于B，极差为，故B正确；对于C，平均数为，故C错误：对于D，因为，所以这组数据的分位数为第4个数1，故D正确.故选：BD.10．【正确答案】BCD对于选项ABC：利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项D：利用作差法判断即可.【详解】对于选项A：若，由基本不等式得，即，得，故，当且仅当时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若，，，当且仅当且，即时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由，，即，由基本不等式有：，当且仅当且，即时取等号，所以选项C正确；对于选项D：，又，得，所以，所以选项D正确；故选：BCD.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．【正确答案】BCD【分析】根据给定的多面体，利用正四面体的性质、线面角的定义、球的截面圆的性质，以及多面体的侧面展开图，结合棱锥的表面积公式、球的表面积公式逐项判断，即可得解.【详解】解：该半正多面体的表面积为，选项A错误；选项B中，该半正多面体的所在的正四面体边长为，可求得高为，

，设点在平面的射影为，如上图，由比例关系可得，设与平面所成角为，则，选项B正确；

选项C中，该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心，如上图，记球心为，半径为，的中心为，连接、、、，由等边的边长为，可得，在正四面体中，可得，所以，，设，因为，可得,即，解得，即，所以，故该半正多面体外接球的表面积为，选项C正确；

选项D中，该半正多面体的展开图如上图所示，，，，，选项D正确.故选：BCD.12．【正确答案】2【分析】利用正切的两角和公式将展开整理可得.【详解】因为，整理得，所以.故213．【正确答案】【详解】因为，所以，所以，又，，所以，因为，，三点共线，所以，由图可知，，所以，当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.

故14．【正确答案】28；【分析】设古树高度为，表示出，利用，结合余弦定理列方程求解．【详解】设古树高度为，则，由得，由余弦定理得，解得，即为28米．故28．15．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式；（2）首先表示出，从而确定其对称轴，依题意得到或，解得即可.【详解】（1）因为不等式的解集为，所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上，则可设，，即，由的图象过点，可得，解得，所以，即.（2）因为，对称轴，因为在上是单调函数，所以或，解得或，即实数的取值范围.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）根据线面垂直的性质证明四边形为矩形，求出，结合勾股定理和线面垂直的判定定理即可证明；（2）证出平面，由，利用锥体的体积公式即可求解.【详解】（1）连接.因为平面平面，所以，因为是中点，所以四边形为矩形，则.因为是正方形的对角线交点，所以为中点，，所以.因为四边形ABCD是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面，而平面，所以.又平面，所以平面.（2）因为四边形是正方形，所以，因为平面，所以.因为平面，平面，且，所以平面.因为，所以，.因为四边形是边长为的正方形，所以，则.故多面体的体积.17．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，.（2）设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以，则，由事件的独立性与互斥性，得，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为．18．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示结合二倍角公式可得，再根据正弦定理进行边角互化可得解；（2）由余弦定理可得，再利用等面积法可得角分线的长度.【详解】（1）由，则，即，再由正弦定理可知，即，则，又，则，所以，，又，所以；（2）由，，则，即，解得，又为的平分线，则，所以，即，所以，解得.19．【