数学课后训练：数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后训练1．设(n∈N＋），则f（n＋1)－f（n)等于(）．A．B．C．D．2．某个命题与正整数有关,若当n＝k（k∈N＋)时该命题成立,那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得（)．A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时,该命题成立D．当n＝4时，该命题不成立3．设（n∈N＋）,那么f（n＋1)－f（n）等于(）．A．B．C．D．4．若f（n）＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f（k＋1）与f（k)的递推关系式是________．5．用数学归纳法证明“n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，n＝1时,原式＝__________，从k到k＋1时需添加的项是__________．6．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋（2n－1）2－（2n）2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．7．求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)＝（n－3）(n∈N＋，n≥4）．8．已知数列｛an｝满足条件(n－1）an＋1＝(n＋1）（an－1）,且a2＝6,设bn＝an＋n(n∈N＋）．（1）求a1、a3、a4的值；（2)求数列{an｝的通项公式．已知点的序列An(xn，0)，n∈N＋，其中x1＝0，x2＝a(a＞0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…,An是线段An－2An－1的中点，…。（1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3）;(2）设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3,由此推测数列｛an｝的通项公式,并加以证明．参考答案1.答案：D解析：因为。所以.所以。2。答案：D解析：利用等价命题，原命题的真假等价于逆否命题的真假，若n＝k＋1时命题不成立,则n＝k时命题不成立，所以n＝4时命题不成立．3。答案：D解析：因为,所以.所以。4.答案：f（k＋1）＝f（k)＋(2k＋1）2＋(2k＋2)2解析：∵f（k）＝12＋22＋32＋…＋(2k)2,而f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋（2k)2＋（2k＋1)2＋（2k＋2)2，∴f（k＋1）＝f（k）＋（2k＋1)2＋（2k＋2）2.5.答案：1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋46。分析：当n＝k＋1时，左边的项应该增加两项（2k＋1）2－(2k＋2）2.证明：(1)当n＝1时,左边＝12－22＝－3，右边＝－1×（2×1＋1）＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立,即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1），则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－（2k)2＋（2k＋1)2－［2（k＋1）］2＝－k（2k＋1)＋（2k＋1）2－［2（k＋1）]2＝－2k2－5k－3＝－（k＋1）（2k＋3)＝－(k＋1)［2（k＋1)＋1］，即当n＝k＋1时，等式成立．由(1）(2）可知，对任何n∈N＋，等式成立．7.分析：利用“递推”法，f（k＋1)－f（k）来寻找n＝k＋1比n＝k时增加的对角面的个数．证明：(1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，×4×（4－3）＝2，命题成立．(2)假设当n＝k（k∈N＋，k≥4）时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面个数是f（k)＝(k－3），现在考虑n＝k＋1的情形，第k＋1条棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的k－2条棱分别增加了1个对角面，共(k－2)个，而面A1B1BkAk变成了对角面，因此对角面的个数变为f(k）＋（k－2)＋1＝（k－3)＋k－1＝（k2－3k＋2k－2)＝(k－2)（k＋1)＝（k＋1)[（k＋1）－3］，即f(k＋1)＝(k＋1)［(k＋1）－3］．由(1）(2）可知,命题对n≥4，n∈N＋都成立．8.解:(1)∵(n－1）an＋1＝（n＋1)(an－1)（n∈N＋),且a2＝6，∴当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a3＝3（a2－1）＝15;当n＝3时，2a4＝4（a3－1）＝56，∴a4＝28。（2）由a2－a1＝5，a3－a2＝9，a4－a3＝13。猜想an＋1－an＝4n＋1，∴an－a1＝（an－an－1)＋（an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)．∴an＝2n2－n(n∈N＋）．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝2×12－1＝1，故猜想正确．②假设当n＝k时，有ak＝2k2－k(k∈N＋,且k≥1）．∴(k－1）ak＋1＝(k＋1)（ak－1），（k－1)ak＋1＝（k＋1)(2k2－k－1)．∴ak＋1＝（k＋1）(2k＋1)＝2(k＋1）2－(k＋1)．即当n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，an＝2n2－n（n∈N＋)．9。解：(1）当n≥3时，。（2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x