2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数课时素养评价含解析北师大版必修4

PAGE课时素养评价二十五两角和与差的正切函数(20分钟35分)1.若tanQUOTE=2,则QUOTE= ()A.QUOTEB.2C.-2D.-QUOTE【解析】选D.已知tanQUOTE=2,所以QUOTE=2,则QUOTE=2,所以QUOTE=QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.【补偿训练】已知cosQUOTE=2cosQUOTE,则tanQUOTE= ()A.QUOTE B.-3 C.QUOTE D.3【解析】选B.由cosQUOTE=2cos(π-α),可得-sinα=-2cosα,所以tanα=2,则tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-3.2.已知tanα,tanβ是方程x2+3QUOTEx+4=0的两个根,且α、β∈QUOTE,则α+β的值是 ()A.QUOTE B.-QUOTEC.QUOTE或-QUOTE D.-QUOTE或QUOTE【解析】选B.由题意得tanα+tanβ=-3QUOTE,tanαtanβ=4,所以tanα<0,tanβ<0,所以α,β∈QUOTE,因为tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,α+β∈(-π,0),所以α+β=-QUOTE.3.已知tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,则tanα·tanβ等于 ()A.4 B.2 C.1 D.QUOTE【解析】选D.因为tan(α+β)=QUOTE,又tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,所以4=QUOTE,所以tanαtanβ=QUOTE.4.已知tanQUOTE=7,α∈QUOTE,则cosα=.

【解析】因为tanα=tanQUOTE=QUOTE=QUOTE,又α∈QUOTE,由tanα>0可得α∈QUOTE,所以cosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.若(tanα-1)(tanβ-1)=2,则α+β=.

【解析】(tanα-1)(tanβ-1)=2⇒tanαtanβ-tanα-tanβ+1=2⇒tanα+tanβ=tanαtanβ-1⇒QUOTE=-1,即tan(α+β)=-1,所以α+β=kπ-QUOTE,k∈Z.答案:kπ-QUOTE,k∈Z6.已知α是其次象限角,其终边上的一点为PQUOTE,且cosα=QUOTE.(1)求x的值.(2)求tanQUOTE的值.【解析】(1)由PQUOTE得cosα=QUOTE,由cosα=QUOTE得QUOTE=QUOTE,解得x=0或x=12或x=-12.α是其次象限角,则x<0,所以x=-12.(2)由(1)得cosα=-QUOTE,sinα=QUOTE,所以tanα=QUOTE=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设α,β是一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中不正确的是 ()A.tanβtanα<1 B.sinα+sinβ<QUOTEC.cosα+cosβ>1 D.QUOTEtan(α+β)<tanQUOTE【思路导引】取两个特别锐角,且其和小于QUOTE,代入每一选项,逐一验证其正确性.【解析】选D.取特例,令β=α=QUOTE可得,QUOTEtan(α+β)=QUOTE,tanQUOTE=QUOTE,所以QUOTEtan(α+β)>tanQUOTE,所以D不正确.2.若tanα=lg(10a),tanβ=lgQUOTE且α+β=QUOTE,则实数a的值为 ()A.1 B.QUOTEC.1或QUOTE D.1或10【解析】选C.tanα+tanβ=lg(10a)+lgQUOTE=lg10=1.因为α+β=QUOTE,所以tanQUOTE=tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=1,所以tanαtanβ=0,所以tanα=lg(10a)=0或tanβ=lgQUOTE=0,即a=QUOTE或1.3.设A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是 ()A.等边三角形 B.等腰直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【解析】选D.由题意知,tanA+tanB=QUOTE,tanAtanB=QUOTE.所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE<0.所以QUOTE<C<π.所以△ABC为钝角三角形.4.θ为锐角,sinQUOTE=QUOTE,则tanθ+QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为θ为锐角,且sinQUOTE=QUOTE,所以θ-QUOTE∈QUOTE,所以cosQUOTE=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得tanθ=QUOTE,所以tanθ+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.【误区警示】由sinQUOTE正确求解cosQUOTE是本题求解的关键.5.(2024·泸州高一检测)在△ABC中,若tanAtanB>1,那么△ABC是 ()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.直角三角形或钝角三角形【解析】选B.在△ABC中,A,B,C为三个内角,由tanAtanB>1,可知A,B都是锐角,故tanA,tanB都是正数,所以tan(A+B)=QUOTE<0,故A+B为钝角,由三角形内角和为180°,可知C为锐角,故△ABC为锐角三角形.【光速解题】由条件可令A=B=QUOTE,则C=QUOTE,此时为锐角三角形,选项只有B符合.二、填空题(每小题5分,共15分)6.tan23°+tan37°+QUOTEtan23°tan37°=.

【解题指南】视察式子可以看出23°+37°=60°,故可借助tan(23°+37°)=tan60°或其变形求解.【解析】因为tan60°=QUOTE=QUOTE,所以tan23°+tan37°=QUOTE-QUOTEtan23°tan37°,所以tan23°+tan37°+QUOTEtan23°tan37°=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】tanQUOTE+tanQUOTE+QUOTEtanQUOTEtanQUOTE=.

【解析】tanQUOTE+tanQUOTE+QUOTEtanQUOTEtanQUOTE=tanQUOTE+QUOTEtanQUOTEtanQUOTE=QUOTE+QUOTEtanQUOTEtanQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.若QUOTE=3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)=.

【解析】因为QUOTE=QUOTE=3,所以tanα=2.又tan(α-β)=2,所以tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=-tan[(α-β)+α]=-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.已知α∈QUOTE,且tanQUOTE=3,则log5(sinα+2cosα)+log5(3sinα+cosα)=.

【解析】利用两角和的正切公式得tanQUOTE=QUOTE=3,解得tanα=QUOTE,所以log5(sinα+2cosα)+log5(3sinα+cosα)=log5QUOTE=log5QUOTE=log5QUOTE=log55=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为QUOTE,QUOTE.(1)求tan(α+β)的值.(2)求α+2β的值.【解析】由条件得cosα=QUOTE,cosβ=QUOTE.因为α,β为锐角,所以sinα=QUOTE=QUOTE,sinβ=QUOTE=QUOTE.因此tanα=7,tanβ=QUOTE.(1)tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=-3.(2)因为tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=QUOTE=QUOTE=-1.又因为α,β为锐角,所以0<α+2β<QUOTE,所以α+2β=QUOTE.10.已知tanQUOTE=QUOTE,tanQUOTE=2QUOTE,(1)求tanQUOTE的值.(2)求tan(α+β)的值.【解析】(1)tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.(2)tan(α+β)=tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE-3.1.在△ABC中,∠C=120°,tanA+tanB=QUOTE.求tanA·tanB.【解析】因为A+B+C=180°,∠C=120°,所以tan(A+B)=tan60°=QUOTE.又tan(A+B)=QUOTE,所以QUOTE