2024-2025学年高考数学一轮复习专题2.2基本不等式及其应用知识点讲解含解析

专题2.2基本不等式及其应用【考纲解读与核心素养】1.驾驭基本不等式(a，b＞0)及其应用.2．培育学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【学问清单】1．重要不等式当a、b是随意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．2．基本不等式当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．3．基本不等式与最值已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．4.常用推论（1）（）（2）（，）；（3）【典例剖析】高频考点一：利用基本不等式证明不等式例1.已知、、都是正数，求证：【答案】见解析【解析】∵、、都是正数∴（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）∴（当且仅当时，取等号）即.【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种状况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满意运用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】1.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.【答案】见解析【解析】∵，，，∴.同理，.∴＝，当且仅当，即时取“＝”．∴，当且仅当时等号成立．2.求证:【答案】见解析【解析】证明:由基本不等式和得=当且仅当即时取等号.高频考点二：利用基本不等式求最值例2.（2024年高考天津卷文）设，则的最小值为__________.【答案】【解析】.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.又因为所以的最小值为.例3．（浙江省金丽衢十二校2025届高三第一次联考）若实数、满意，且，则的最小值是__________，的最大值为__________．【答案】2【解析】实数、满意，且，则，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值是2，，当且仅当，即时取等号故的最大值为，故答案为：2，．【规律方法】利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：运用均值不等式所涉及的项必需为正数，假如有负数则考虑变形或运用其它方法（2）定：运用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要留意以下两点：①若求最值的过程中多次运用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必需能够同时成立（彼此不冲突）②若涉及的变量有初始范围要求，则运用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.留意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【变式探究】1.（陕西省2024年高三第三次教学质量检测）若正数满意，则的最小值为（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.2.设当________时，取到最小值．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，故当时，取得最小值是，故答案是.【总结提升】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的敏捷变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应留意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，留意利用系数的改变以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应留意检验利用基本不等式的前提．高频考点三：基本不等式的实际应用例4.（2024·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是.【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.【规律方法】1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.利用基本不等式求解实际应用题留意点：(1)此类型的题目往往较长，解题时需仔细阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能运用基本不等式求解，此时可依据变量的范围用对应函数的单调性求解．【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！【变式探究】如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开拓一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地面积最大值为4，故选C．高频考点四：基本不等式的综合运用例5.（2024·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数（）．（1）若不等式的解集为，求的取值范围；（2）当时，解不等式；（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.；（3）.【解析】（1）①当即时，，不合题意；②当即时，，即，∴，∴（2）即即①当即时，解集为②当即时，∵，∴解集为③当即时，∵，所以，所以∴解集为（3）不等式的解集为，，即对随意的，不等式恒成立，即恒成立，因为恒成立，所以恒成立，设则，，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以当时，，所以例6．设函数（Ⅰ）若不等式对随意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ）因为函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递减，所以，∴.（Ⅱ）依据题意，由（Ⅰ）可得，即，所以.所以.∵，则当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.【总结提升】基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式推断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：视察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．【变式探究】1．(2024·北京海淀模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，2eq\r(2)－1)C．(－1,2eq\r(2)－1) D．(－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1)【答案】B【解析】由f(x)＞0得32x－(k＋1)3x＋2＞0，解得k＋1＜3x＋eq\f(2,3x).而3x＋eq\f(2,3x)≥2eq\r(2)(当且仅当3x＝eq\f(2,3x)，即x＝log3eq\