2025届高考数学统考一轮复习第四章4.5.1两角和与差的正弦余弦和正切学案文含解析新人教版

PAGE第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切eq\x(考点一)三角函数公式的基本应用[自主练透型]1．[2024·山西吕梁阶段检测]sin7°cos37°－sin83°cos307°＝()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)2．[2024·湖南益阳、湘潭质量统测]已知sinα＝eq\f(1,3)(角α为其次象限角)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A.eq\f(4－\r(2),6)B.eq\f(\r(2)－2,6)C.eq\f(4＋\r(2),6)D.eq\f(\r(2)－4,6)3．[2024·全国卷Ⅲ]已知2tanθ－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tanθ＝()A．－2B．－1C．1D．2悟·技法三角函数公式的应用策略(1)运用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号改变规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)运用公式求值，应留意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.考点二三角函数公式的活用[互动讲练型][例1](1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)(2)[2024·陕西汉中模拟]化简：eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．－eq\f(\r(3),3)悟·技法三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应精确找出所给式子与公式的异同，创建条件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，留意公式的正用、逆用和变形运用(如本例(1)).[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知sin2α＝eq\f(1,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3)D.eq\f(2,3)2．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(11π,6)))＝________.3．(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝________.考点三角的变换[互动讲练型][例2](1)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝－2，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－3D．3(2)[2024·百校联盟联考]已知α、β都是锐角，cos(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(α－β)＝eq\f(3,5)，则sinα＝()A.eq\f(9\r(130),130)B.eq\f(7\r(130),130)C.eq\f(7\r(65),65)D.eq\f(4\r(65),65)悟·技法利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的角变换技巧：α＝2·eq\f(α,2)；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝eq\f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]；β＝eq\f(1,2)[(α＋β)－(α－β)]；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)).(4)特别角的拆分：eq\f(7π,12)＝eq\f(π,3)＋eq\f(π,4)，eq\f(5π,12)＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,6)，eq\f(π,12)＝eq\f(π,3)－eq\f(π,4).[变式练]——(着眼于举一反三)4．已知α，β均为锐角，cosα＝eq\f(4,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，则tanβ＝________.5．若cos(75°－α)＝eq\f(1,3)，则cos(30°＋2α)＝________.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切课堂考点突破考点一1．解析：sin7°cos37°－sin83°cos307°＝sin7°cos37°－cos7°sin37°＝sin(7°－37°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2)，故选A.答案：A2．解析：因为角α为其次象限角，且sinα＝eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\f(2\r(2),3).所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(2),3)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)－4,6).故选D.答案：D3．解析：2tanθ－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2tanθ－eq\f(tanθ＋1,1－tanθ)＝7，整理可得tan2θ－4tanθ＋4＝0，∴tanθ＝2，故选D.答案：D考点二例1解析：(1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝eq\f(3π,4)，则C＝eq\f(π,4)，cosC＝eq\f(\r(2),2).(2)eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝eq\f(sin10°cos10°,cos10°－\r(3)sin10°)＝eq\f(2sin10°cos10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)))＝eq\f(sin20°,4sin30°－10°)＝eq\f(1,4)，故选A.答案：(1)B(2)A变式练1．解析：cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2))),2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：D2．解析：由cos(α＋eq\f(π,6))－sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα－sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(3,2)sinα＝eq\r(3)(eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(4\r(3),5)，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(4,5).sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(11π,6)))＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(11π,6)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(4,5).答案：－eq\f(4,5)3．解析：(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°tan25°＝2.答案：2考点三例2解析：(1)∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝－2，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＋\f(π,4)))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))·tan\f(π,4))＝eq\f(－2＋1,1－－2×1)＝－eq\f(1,3)，故选A.(2)∵α、β都是锐角，∴0<α＋β<π，－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又∵cos(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(α－β)＝eq\f(3,5)，∴sin(α＋β)＝eq\f(12,13)，cos(α－β)＝eq\f(4,5)，则cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\f(5,13)×eq\f(4,5)－eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＝－eq\f(16,65).∵cos2α＝1－2sin2α＝－eq\f(16,65)，∴sin2α＝eq\f(81,130)，∵sinα>0，∴sinα＝eq\f(9\r(130),130)，故选A.答案：(1)A(2)A变式练4．解析：由于α为锐角，且cosα＝eq\f(4,5)，故sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq