2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理组合数的综合应用习题课教师用书教案新人教A版选择性必修第三册VIP

PAGE组合数的综合应用(习题课)新版课程标准学业水平要求理解组合数的概念,能利用组合数公式解决简洁的实际问题.1.进一步理解组合的定义,娴熟驾驭组合数公式的应用.(数学建模)2.能解决含有限制条件的组合问题,驾驭常见的类型及解决策略.(逻辑推理)3.能解决简洁的排列、组合的综合问题.(逻辑推理)关键实力·素养形成类型一简洁的组合问题【典例】1.特岗老师是中心实施的一项对中西部地区农村义务教化的特别政策.某教化行政部门为本地两所农村小学聘请了6名特岗老师,其中体育老师2名,数学老师4名.按每所学校1名体育老师,2名数学老师进行安排,则不同的安排方案有()A.24 B.14 C.12 D.82.男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出竞赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名.(2)至少有1名女运动员.(3)既要有队长,又要有女运动员.【思维·引】1.依据题意,假设两个学校为甲、乙,先为甲学校支配1名体育老师,2名数学老师,再将剩下的1名体育老师,2名数学老师支配给乙学校,由分步乘法计数原理计算可得答案.2.(1)依据组合数公式将问题分步进行.(2)分四类求解,也可以用间接法.(3)分两类:男队长、女队长,当是男队长时再选女队员,最终选男队员,当是女队长时,其余队员可以随意选.【解析】1.选C.依据题意,假设两个学校为甲、乙,先为甲学校支配1名体育老师,2名数学老师,有QUOTE=12种选法,再将剩下的1名体育老师,2名数学老师支配给乙学校,有1种选法,则有12种不同的安排方案.2.(1)第一步:选3名男运动员,有QUOTE种选法;其次步:选2名女运动员,有QUOTE种选法,故共有QUOTE·QUOTE=120(种)选法.(2)方法一(干脆法):“至少有1名女运动员”包括以下几种状况,1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理知共有QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=246(种)选法.方法二(间接法):不考虑条件,从10人中任选5人,有QUOTE种选法,其中全是男运动员的选法有QUOTE种,故“至少有1名女运动员”的选法有QUOTE-QUOTE=246(种).(3)当有女队长时,其他人选法随意,共有QUOTE种选法;不选女队长时,必选男队长,共有QUOTE种选法,其中不含女运动员的选法有QUOTE种,故不选女队长时共有QUOTE-QUOTE种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有QUOTE+QUOTE-QUOTE=191(种).【内化·悟】在选择解题方法时,何时采纳干脆法,何时采纳间接法?提示:正面考虑状况较多时通常采纳间接法,在某些特定问题上,也可充分考虑“正难则反”的思维方式.【类题·通】解简洁的组合应用题的策略(1)解简洁的组合应用题时,首先要推断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区分在于排列问题与取出元素之间的依次有关,而组合问题与取出元素的依次无关.(2)要留意两个基本原理的运用,即分类与分步的敏捷运用.提示:在分类和分步时,肯定留意有无重复或遗漏.【习练·破】1.(2024·新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆支配1名,乙场馆支配2名,丙场馆支配3名,则不同的支配方法共有()A.120种 B.90种 C.60种 D.30种【解析】选C.甲场馆支配1名有QUOTE种方法,乙场馆支配2名有QUOTE种方法,丙场馆支配3名有QUOTE种方法,所以由分步乘法计数原理得不同的支配方法共有QUOTE=60种.2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参与市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)随意选5人.(2)甲、乙、丙三人必需参与.(3)甲、乙、丙三人不能参与.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参与.(5)甲、乙、丙三人至少1人参与.(6)甲、乙、丙三人至多2人参与.【解析】(1)有QUOTE=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必需参与,只需从另外的9人中选2人,共有QUOTE=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参与,只需从另外的9人中选5人,共有QUOTE=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参与,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有QUOTE=3种选法,再从另外的9人中选4人,有QUOTE种选法,共有QUOTE=378种选法.(5)方法一(干脆法):可分为三类:第一类:甲、乙、丙中有1人参与,共有QUOTE=378种;其次类:甲、乙、丙中有2人参与,共有QUOTE=252种;第三类:甲、乙、丙中有3人参与,共有QUOTE=36种;共有QUOTE+QUOTE+QUOTE=666种不同的选法.方法二(间接法):12人中随意选5人,共有QUOTE种,甲、乙、丙三人都不能参与的有QUOTE种,所以,共有QUOTE-QUOTE=666种不同的选法.(6)方法一(干脆法):甲、乙、丙三人至多2人参与,可分为三类:第一类:甲、乙、丙都不参与,共有QUOTE种;其次类:甲、乙、丙中有1人参与,共有QUOTE种;第三类:甲、乙、丙中有2人参与,共有QUOTE种.共有QUOTE+QUOTE+QUOTE=756种不同的选法.方法二(间接法):12人中随意选5人,共有QUOTE种,甲、乙、丙三人全参与的有QUOTE种,所以,共有QUOTE-QUOTE=756种不同的选法.【加练·固】将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)有多少种放法?(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?【解析】(1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(种)放法.(2)这是全排列问题,共有QUOTE=24(种)放法.(3)先取四个球中的两个“捆”在一起,有QUOTE种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子,有QUOTE种投放方法,所以共有QUOTE=144(种)放法.(4)一个球的编号与盒子编号相同的放法有QUOTE种,当一个球与一个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种,故共有QUOTE×2=8(种)放法.类型二与几何有关的组合应用题【典例】1.空间中有10个点,其中有5个点在同一个平面内,其余点无三点共线,四点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为()A.205 B.110 C.204 D.2002.平面上有9个点,其中4个点在同一条直线上(4个点之间的距离各不相等),此外任何三点不共线.(1)过每两点连线,可得几条直线?(2)以一点为端点,作过另一点的射线,这样的射线可作出几条?(3)分别以其中两点为起点和终点,最多可作出几个向量?【思维·引】1.从共面的五个点中取0个、1个、2个、3个分四类进行,再结合组合数公式求解.也可以用间接法.2.(1)从9个点任取2个点,除去共线的状况即可.(2)依据射线的定义,结合题目中点是共线还是不共线进行探讨.(3)向量有方向,所以干脆取出点即可.【解析】1.选A.方法一:可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类,则得到全部的取法总数为QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=205.方法二:从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的状况,得到全部构成四面体的个数为QUOTE-QUOTE=205.2.(1)任取两点共有QUOTE种取法,共线四点任取两点有QUOTE种取法,所以共有直线QUOTE-QUOTE+1=31条.(2)不共线的五点可连得QUOTE条射线,共线的四点中,外侧两点各可发出1条射线,内部两点各可发出2条射线,而在不共线的五点中取一点,共线的四点中取一点而形成的射线有QUOTE条,故共有QUOTE+2×1+2×2+QUOTE=66条射线.(3)随意两点之间,可有方向相反的2个向量各不相等,则可有QUOTE=72个向量.【内化·悟】常见的与几何有关的组合问题有哪些?提示:异面直线的条数问题、四面体个数问题、三角形的个数问题、射线的条数问题等.【类题·通】解几何有关的组合应用题的解题策略(1)图形多少的问题通常是组合问题,要留意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用干脆法,也可采纳间接法.(2)在处理几何问题中的组合问题时,应将几何问题抽象成组合问题来解决.【习练·破】如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?其中含C1点的有多少个?(2)以图中的12个点(包括A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形?【解析】(1)方法一:可作出三角形QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=116(个).方法二:可作三角形QUOTE-QUOTE=116(个).其中以C1为顶点的三角形有QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE=36(个).(2)可作出四边形QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=360(个).【加练·固】以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A.70个 B.64个 C.58个 D.52个【解析】选C.正方体的8个顶点中任取4个共有QUOTE=70个,不能组成四面体的4个顶点有6个,已有6个面,对角面有6个,所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有70-12=58个.类型三组合应用中的分组安排问题角度1不同元素分组安排问题【典例】有6本不同的书,按下列安排方式安排,则共有多少种不同的安排方式?(1)分成三组,每组分别有1本,2本,3本.(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本.(3)分成三组,每组都是2本.(4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.【思维·引】(1)先从6本书中取出一本作为一组,再从剩余的5本中任取2本作为一组,则其余3本为一组.(2)在(1)分组的基础上进行排列即可.(3)先从6本书中取出2本作为一组,再从剩余的4本中任取2本作为一组,则其余2本为一组,其中有重复须除以QUOTE.(4)在(3)中分组的基础上排列即可.【解析】(1)分三步:先选一本有QUOTE种选法,再从余下的5本中选两本有QUOTE种选法,最终余下的三本全选有QUOTE种选法.由分步乘法计数原理知,安排方式共有QUOTE·QUOTE·QUOTE=60(种).(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人,在(1)问的基础上,还应考虑再安排问题.因此,安排方式共有QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE=360(种).(3)先分三组,有QUOTE种分法,但是这里面出现了重复,不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一组取了A,B,其次组取了C,D,第三组取了E,F,则该种方法记为(AB,CD,EF),但QUOTE种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共QUOTE种状况,而这QUOTE种状况只能作为一种分法,故安排方式有QUOTE=15(种).(4)在(3)的基础上再安排即可,共有安排方式QUOTE·QUOTE=90(种).【素养·探】在解不同元素分组安排问题的过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过题中条件的分析选择合适的排列组合公式,再结合计数原理进行计算.将本例中这6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人,每人至少一本,则结果如何?【解析】这6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人,每人至少一本,则有(3,1,1,1)和(2,2,1,1)两种.当为(3,1,1,1)时,有QUOTE种分组方法,所以有QUOTE=480种分法;当为(2,2,1,1)时,有QUOTE种分法,所以有QUOTE=1080种分法.角度2相同元素安排问题【典例】1.假如北京高校给中山市某三所重点中学7个自主招生的举荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为()A.30B.21C.10D.152.6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求下列方法的种数.①每个盒子都不空;②恰有一个空盒子;③恰有两个空盒子.【思维·引】1.由于名额之间没有差别,只需将10个名额分成三部分即可.2.①6个小球是相同的,所以只要将6个小球分隔成4组即可.②先选出一个空盒,再将6个小球分隔成3组.③在6个小球的7个空隙中放入5个隔板,在其中各有两个隔板放到同一个间隙中.【解析】1.选D.用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板,有QUOTE=15(种)安排方法.2.①先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧放置一块隔板,然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,有QUOTE=10(种).②恰有一个空盒子,插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,如|0|000|00|,有QUOTE种插法,然后将剩下的一块隔板与前面随意一块并放形成空盒,如|0|000||00|,有QUOTE种插法,故共有QUOTE·QUOTE=40(种).③恰有两个空盒子,插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板,有QUOTE种插法,如|00|0000|,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.其一:这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子,如||00||0000|,有QUOTE种插法.其二:将两块板与前面三块板之一并放,如|00|||0000|,有QUOTE种插法.故共有QUOTE·(QUOTE+QUOTE)=30(种).【类题·通】1.分组、安排问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种.①完全匀称分组,每组的元素个数均相等;②部分匀称分组,应留意不要重复,若有n组匀称,最终必需除以n!;③完全非匀称分组,这种分组不考虑重复现象.(2)安排问题属于“排列”问题.安排问题可以按要求逐个安排,也可以分组后再安排.2.相同元素安排问题的建模思想(1)隔板法:假如将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法特地解决相同元素的安排问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的元素(n≥m),有QUOTE种方法.可描述为n-1个空中插入m-1块板.【习练·破】1.有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小挚友,每个小挚友至少分得4个苹果,问有多少种不同的安排方案?()A.680 B.816 C.1360 D.1456【解析】选A.先给每个小挚友分三个苹果,剩余18个苹果利用“隔板法”,18个苹果有17个空,插入三个“板”,共有QUOTE=680种方法,故有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小挚友,每个小挚友至少分得4个苹果,有680种不同的安排方案.2.(2024·南充高二检测)我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情,现把5名专家安排到A,B,C三个集中医疗点,每个医疗点至少要安排1人,其中甲专家不去A医疗点,则不同安排种数为()A.116 B.100 C.124 D.90【解析】选B.依据题意,分2步进行分析:①将5名医学专家分为3组,若分为2、2、1的三组,有QUOTE=15种分组方法,若分为3、1、1的三组,有QUOTE=10种分组方法,则有15+10=25种分组方法;②将分好的三组分派到三个医疗点,甲专家所在组不去A医疗点,有2种状况,再将剩下的2组分派到其余2个医疗点,有2种状况,则3个组的分派方法有2×2=4种状况,则有25×4=100种安排方法.课堂检测·素养达标1.甲、乙、丙三位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有()A.36种 B.48种 C.96种 D.192种【解析】选C.甲选2门有QUOTE种选法,乙选3门有QUOTE种选法,丙选3门有QUOTE种选法.所以共有QUOTE·