2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件课时跟踪训练含解析新人教A版选修2-1

PAGE第一章常用逻辑用语[A组学业达标]1．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：因为(－1,3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．答案：C2．设a∈R，则a>1是eq\f(1,a)<1的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>1⇒eq\f(1,a)<1，而当eq\f(1,a)<1，例如a＝－1，也有eq\f(1,a)＝－1<1，但是不能推出a>1.答案：A3．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3解析：A项：若a>b＋1，则必有a>b，反之，当a＝2，b＝1时，满意a>b，但不能推出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满意a>b－1，不能推出a>b；C项：当a＝－2，b＝1时，满意a2>b2，但a>b不成立；D项：a>b是a3>b3的充分必要条件．综上所述答案选A.答案：A4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由a＋b＝0知a与b互为相反向量，从而a∥b，充分性成立；由a∥b得a＝λb(λ∈R)，当λ≠－1时，a＋b≠0，∴必要性不成立．答案：A5．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2⇔|ab|＝ab⇔ab≥0，而由ab≥0不能推出ab>0，由ab>0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0，由ab>0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故选B.答案：B6．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”解析：φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.答案：(－∞，1)8．假如命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分9．推断下列各题中，p是q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线相互平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解析：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线相互平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线相互平分，∴p是q的必要不充分条件．(4)若圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))，∴c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝r成立，说明圆x2＋y2＝r2(r>0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要条件．10．已知p：eq\f(1,2)≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．解析：q是p的必要不充分条件，则qp，p⇒q.∵p：eq\f(1,2)≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥1,a<\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>1,a≤\f(1,2)))，即0≤a≤eq\f(1,2).∴满意条件的a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).[B组实力提升]11．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，故a≤b⇔2RsinA≤2RsinB⇔sinA≤sinB.答案：A12．设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：设f(x)＝x|x|，由f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，知f(x)为奇函数．又当x≥0时，f(x)在R上单调递增，所以a>b⇔f(a)>f(b)，即a>b⇔a|a|>b|b|.故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．答案：C13．关于x的不等式ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R的充要条件是________．解析：因为ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，所以①a＝0，则1>0恒成立；②a≠0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))⇒0<a<1，由①②得0≤a<1.即ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R⇔0≤a<1.答案：[0,1)14．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”解析：若S4＋S6>2S5，则S4＋S4＋a5＋a6>S4＋a5＋S4＋a5，∴a6>a5，∴d>0，必要性成立；若d>0，则a6>a5，∴S4＋S6>2S5，充分性成立．故“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．答案：充要15．已知函数f(x)＝eq\r(3－x＋22－x)的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.(1)求A；(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解析：(1)要使f(x)有意义，则3－(x＋2)(2－x)≥0，化简整理得(x＋1)(x－1)≥0，解得x≤－1或x≥1，∴A＝{x|x≤－1或x≥1}．(2)要使g(x)有意义，则(x－a－1)(2a－x即(x－a－1)(x－2a)<0，又∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝{x|2a<x<a＋1}．∵p是q的必要不充分条件，∴BA，∴2a≥1或a＋1≤－1，解得eq\f(1,2)≤a<1或a≤－2.∴a的取值范围为(－∞，－2]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).16．求证：关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4.证明：①必要性：若ax2－ax＋1>0对于一切实数x都成立，由二次函数性质有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－