2024-2025学年新教材高中数学全书要点速记学案新人教A版选择性必修第一册

PAGE全书要点速记第一章空间向量与立体几何要点1共线、共面对量基本定理1．共线向量基本定理对随意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.推论：若存在实数t，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(OB,\s\up7(→))(O为空间随意一点)，则P，A，B三点共线．2．共面对量基本定理假如两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.推论：已知空间随意一点O和不共线的三点A，B，C，则满意向量关系式eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C共面．要点2空间向量数量积的应用(1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系．(2)|a|2＝a2，此结论一般用于求空间中线段的长度．(3)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，此结论一般用于求空间角的问题．(4)|b|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|)，此结论一般用于求空间中的距离问题．要点3空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇒a∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇒a⊥u⇔a·u＝0面面平行α∥β⇒u∥v⇔u＝kv，k∈R线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0线线夹角l，m的夹角为θ，cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)线面夹角l，α的夹角为θ，sinθ＝eq\f(|a·u|,|a||u|)面面夹角α，β的夹角为θ，cosθ＝eq\f(|u·v|,|u||v|)留意：①线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤eq\f(π,2)；②二面角的范围为[0，π]，解题时应详细分析二面角是锐角还是钝角．其次章直线和圆的方程要点1直线的方程已知条件方程适用范围点斜式点P0(x0，y0)和斜率ky－y0＝k(x－x0)斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线斜截式斜率k和直线在y轴上的截距为by＝kx＋b两点式点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线截距式直线在x轴上的截距为a和直线在y轴上的截距为beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)全部直线要点2两条直线的位置关系要点3平面上的距离公式(1)随意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).要点4圆的方程1．圆的标准方程圆心为(a，b)，半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).3．求圆的方程的方法(1)几何性质法：利用圆的随意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可．要点5直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系的判定方法关系相交相切相离几何法d<rd＝rd>r代数法Δ>0Δ＝0Δ<0说明：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，Δ为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式．2．求弦长的方法(1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＝r2.(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，则弦长为eq\r(1＋k2)|x1－x2|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|)).3．圆的切线方程(1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·eq\f(x＋x0,2)＋E·eq\f(y＋y0,2)＋F＝0.4．求切线方程的方法若切线斜率存在，记为k，且不为0.(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切线方程．留意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线．要点6圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含几何法d>R＋rd＝R＋rR－r<d<R＋rd＝R－rd<R－r代数法Δ<0Δ＝0Δ>0Δ＝0Δ<0说明：d为两圆的圆心距，R，r(R>r)分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δ<0或Δ＝0后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法推断两圆的位置关系．第三章圆锥曲线的方程要点1椭圆、双曲线、抛物线的比较椭圆双曲线抛物线标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)几何图形集合表示{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1{M|||MF2|－|MF1||＝2a，0<2a<|F1{M||MF|＝点M到直线l的距离}焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(－c,0)，F2(c,0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))范围－a≤x≤a，－b≤y≤b|x|≥a，y∈Rx≥0，y∈R顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(－a,0)，A2(a,0)O(0,0)中心原点(0,0)原点(0,0)无离心率0<e＝eq\f(c,a)<1e＝eq\f(c,a)>1e＝1通径长eq\f(2b2,a)eq\f(2b2,a)2p焦半径|MF1|＝a＋exM，|MF2|＝a－exM|MF1|＝a＋exM，当点M在右支上时，|MF2|＝－a＋exM；当点M在左支上时，|MF1|＝－a－exM，|MF2|＝a－exM|MF|＝eq\f(p,2)＋xM要点2椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论1．椭圆设F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ.则(1)当且仅当a2≥2b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形，其中，当a2＝2b2时，直角顶点为短轴端点；(2)离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))，e＝eq\f(sinθ,sinα＋sinβ)；(3)|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1＋cosθ)，S△PF1F2＝b2taneq\f(θ,2).2．双曲线设F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ.则(1)离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))，e＝eq\f(sinθ,|sinα－sinβ|)；(2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1－cosθ)，S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).要点3抛物线焦点弦的相关结论已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，PQ为过焦点F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直线的倾斜角为θ.则(1)焦点弦长|PQ|＝x1