专项21-用公式法求解一元二次方程-重难点题型

用公式法求解一元二次方程-重难点题型【知识点1公式法解一元二次方程】当b2−4ac≥0时，方程ax2【题型1用公式法解一元二次方程】【例1】（淮北月考）用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．【变式1-1】（朝阳区期中）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．【变式1-2】（江干区期末）解下列一元二次方程：34【变式1-3】（达川区期末）解方程：3x2﹣43x+2＝0（用公式法解）．【题型2求根公式的应用】【例2】（和平区期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b+bA．m B．﹣m C．2m D．﹣2m【变式2-1】（福州模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1=−b+b2+42A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．ca【变式2-2】（宜兴市校级月考）已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根中较小的根，（1）求a2﹣4a+2013的值；（2）化简求值：a2【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题：在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若各项的系数之和为零，即a+b+c＝0，则有一根为1，另一根为ca证明：设方程的两根为x1，x2，由a+b+c＝0，知b＝﹣（a+c），∵x=∴x1＝1，x2=c（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：2b【知识点2一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=①当∆=②当∆=③当∆=b2【题型3应用根的判别式判断方程根的情况】【例3】（河南模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0【变式3-1】（滨城区一模）关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【变式3-2】（凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【变式3-3】（鹿城区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断【题型4已知方程根的情况求字母系数的值或范围】【例4】（菏泽）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1 B．k≥14且k≠1 C．k＞【变式4-1】（广安）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤14且a≠﹣2 B．a≤14 C．a＜14且【变式4-2】（台江区校级月考）若关于x的方程x2−mx+n＝0有两个相等的实根，则mn=【变式4-3】（海门市模拟）关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝．【题型5根的判别式的综合应用】【例5】（海淀区二模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．【变式5-1】（萧山区期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．【变式5-2】（广东模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【变式5-3】（安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【题型6根的判别式中新定义问题】【例6】（郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【变式6-1】（瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=a2−b(a≤b)b2−a(a＞b)，关于x的方程（2x+1）★（2A．t＜154 B．t＞154 C．t＜−【变式6-2】（瑶海区期中）对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△32得值；（2）如果关于x的方程x△（a△x）=−14有两个相等的实数根，求实数【变式6-3】（丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC

用公式法求解一元二次方程-重难点题型（解析版）【知识点1公式法解一元二次方程】当b2−4ac≥0时，方程ax2【题型1用公式法解一元二次方程】【例1】（淮北月考）用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．【分析】利用公式法求解即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，则x=−b±即x1=5+292，x【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式1-1】（朝阳区期中）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．【分析】根据一元二次方程的公式法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，∴x=−b±∴x1=1+136，x【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【变式1-2】（江干区期末）解下列一元二次方程：34【分析】整理后利用公式法求解可得．【解答】解：整理，得：3x2﹣8x﹣2＝0，∵a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2，∴△＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0，则x=8±2226=4±223，即x【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式1-3】（达川区期末）解方程：3x2﹣43x+2＝0（用公式法解）．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：3x2﹣43x+2＝0，∵a＝3，b＝﹣43，c＝2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣43）2﹣4×3×2＝24，∴x=4则x1=23+63【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式x=−b±【题型2求根公式的应用】【例2】（和平区期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b+bA．m B．﹣m C．2m D．﹣2m【分析】根据公式得出−b−b2【解答】解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m，∴−b−b2解得：b+b2−16故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．【变式2-1】（福州模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1=−b+b2+42A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．ca【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案．【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1=−b+b2−4ac2a∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1=−b+b2+42∴x1+x2＝﹣b=−ba，x1•x2∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．【变式2-2】（宜兴市校级月考）已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根中较小的根，（1）求a2﹣4a+2013的值；（2）化简求值：a2【分析】（1）将a代入方程确定出a2﹣4a的值，代入原式计算即可得到结果；（2）根据a的范围化简原式即可得到结果．【解答】解：（1）将x＝a代入方程得：a2﹣4a＝﹣2，则原式＝﹣2+2013＝2011；（2）方程解得：a=4−222∴a﹣1＜0，则原式=−a−1a−1−（a﹣1）＝﹣1﹣a+1＝﹣【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题：在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若各项的系数之和为零，即a+b+c＝0，则有一根为1，另一根为ca证明：设方程的两根为x1，x2，由a+b+c＝0，知b＝﹣（a+c），∵x=∴x1＝1，x2=c（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：2b【分析】（1）由a﹣b+c＝0，可得出b＝a+c，结合给定材料可猜测方程的两根中有一根为﹣1，另一根为−c（2）将方程系数相加即可得知“ac﹣bc+bc﹣ab+ab﹣ac＝0”，满足给定材料的条件，由此得出方程的两根分别为1和ab−acac−bc，由题意可知ab−ac【解答】解：（1）有一根为﹣1，另一根为−c证明：设方程的两根为x1，x2，由a﹣b+c＝0，知b＝a+c，∵x=−b±∴x1＝﹣1，x2=−c（2）证明：∵ac﹣bc+bc﹣ab+ab﹣ac＝0，∴方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）的两根分别为1和ab−acac−bc∵方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，∴ab−acac−bc=1，即ab﹣ac＝ac﹣∴ab+bc＝2ac．∵abc≠0，∴1a【点评】本题考查了根与系数的关系以及求根公式，解题的关键：（1）利用求根公式表示出x；（2）将方程系数相加得出方程的两个分别为1和ab−acac−bc【知识点2一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=①当∆=②当∆=③当∆=【题型3应用根的判别式判断方程根的情况】【例3】（河南模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0【分析】利用根的判别式△＝b2﹣4ac逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出结论．【解答】解：A、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；B、方程变形为x2﹣2x+1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根；C、方程变形为x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有两个不相等的实数根；D、∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2+1＝0没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．【变式3-1】（滨城区一模）关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【分析】根据根的判别式△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4＞0即可作出判断．【解答】解：∵△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝k2﹣4k+4+16﹣4k＝k2﹣8k+20＝k2﹣8k+16+4＝（k﹣4）2+4＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．【变式3-2】（凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【分析】先利用一次函数的性质得k＜0，b＜0，再计算判别式的值得到△＝b2﹣4（k﹣1），于是可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：根据图象可得k＜0，b＜0，所以b2＞0，﹣4k＞0，因为△＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，所以△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．【变式3-3】（鹿城区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断．【解答】解：△＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2＝4（c+a+b）（c﹣a﹣b）．∵a，b，c分别是三角形的三边，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0，∴△＜0，∴方程没有实数根．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．【题型4已知方程根的情况求字母系数的值或范围】【例4】（菏泽）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1 B．k≥14且k≠1 C．k＞【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k≥1当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥1故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．【变式4-1】（广安）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤14且a≠﹣2 B．a≤14 C．a＜14且【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴△≥0且a+2≠0，∴（﹣3）2﹣4（a+2）×1≥0且a+2≠0，解得：a≤14且故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式4-2】（台江区校级月考）若关于x的方程x2−mx+n＝0有两个相等的实根，则mn=【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△＝0即可得到关于m、n的方程，进而即可求得mn【解答】解：∵关于x的方x2−mx+n∴△＝（−m）2﹣4∴m＝4n，∴mn故答案为：4．【点评】本题考查的是根的判别式，根据题意得出关于m、n的方程是解答此题的关键．【变式4-3】（海门市模拟）关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝．【分析】根据题意得到△＝b2﹣4c＝0，求得c=b24，把原方程可表示为x2+bx+b24=0，根据x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，得到m2+bm+b24=（m+2）2+b（m+2）+b24，解得b【解答】解：∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4c＝0，∴c=b∴原方程可表示为：x2+bx+b∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，∴m2+bm+b24=（m+2）2+b（∴b＝﹣2m﹣2，∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x+(2m+2当x＝m时，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）m+(2m+2)24=m2﹣2m2﹣2m+故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，代数式的求值，正确的理解题意是解题的关键．【题型5根的判别式的综合应用】【例5】（海淀区二模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．【分析】（1）计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m﹣4）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论．（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根据题意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）解：∵△＝（m﹣4）2≥0，∴x=−b±∴x1＝m﹣2，x2＝2．∵此方程有一个根小于1．∴m﹣2＜1．∴m＜3．【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．【变式5-1】（萧山区期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．【解答】（1）证明：当k≠0时，∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，∴△＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∴△＝（2k﹣3）2≥0，当k＝0时，3x﹣3＝0，解得x＝1．∴无论k取何值，方程都有实根；（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，解得k=3故k的值34（3）解：kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x=−b±∴此方程的两个根分别为x1＝1，x2＝3−3∵方程的两个实根均为正整数，∴k＝﹣3，k＝﹣1，k＝3．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．【变式5-2】（广东模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【分析】（1）把x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值；然后根据根与系数的关系来求方程的另一根；（2）根据根的判别式的符号进行论证；（3）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．【解答】解：（1）把x＝1代入x2﹣（k+2）x+2k＝0，得1﹣k﹣2+2k＝0，解得k＝1．设方程的另一根为t，则t＝2k＝2．即k的值为1，方程的另一根为2；（2）∵△＝（k﹣2）2≥0，∴对于任意实数k，原方程一定有实数根；（3）由x2﹣（k+2）x+2k＝0得：（x﹣2）（x﹣k）＝0此方程的两根为x1＝k，x2＝2若x1≠x2，则x1＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12．若x1＝x2＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形，所以，这个等腰三角形的周长为12．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．【变式5-3】（安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式△＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．【解答】（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）∵△ABC为等腰三角形，∴b＝c或b、c中有一个为5．①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2﹣8x+16＝0，解得：b＝c＝4，∵b+c＝4+4＝8＞5，∴4、4、5能构成三角形．该三角形的周长为4+4+5＝13．②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，解得：m＝6，∴原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．∵4、5、5能组成三角形，∴该三角形的周长为4+5+5＝14．综上所述，该三角形的周长是13或14．【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）题需要分类讨论，以防漏解．【题型6根的判别式中新定义问题】【例6】（郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0，∵△＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式6-1】（瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=a2−b(a≤b)b2−a(a＞b)，关于x的方程（2x+1）★（2A．t＜154 B．t＞154 C．t＜−【分析】分两种情况：①当2x+1≤2x﹣3成立时；②当2x+1＞2x﹣3成立时；进行讨论即可求解．【解答】解：①当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾；所以a≤b时不成立；②当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3，所以a＞b时成立；则（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，化简得：4x2﹣14x