22.2 圆的切线 同步练习

第二十二章圆(下)一直线和圆22.2圆的切线基础过关全练知识点1切线的判定1.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判定CE是切线的是()A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°2.定义：与圆相切的直线同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角.弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数.利用新定义解决下列问题：如图，AB是☉O的直径，DE切☉O于点C，若∠ACE=25°，∠D=50°，试说明BD是☉O的切线.3.(2023北京朝阳对外经济贸易大学附中期末)下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程.已知：如图1，☉O及☉O上一点P.求作：直线PN，使得PN与☉O相切.作法：如图2，①作射线OP；②在☉O外取一点Q(点Q不在射线OP上)，以Q为圆心，QP长为半径作圆，☉Q与射线OP交于另一点M；③连接MQ并延长交☉Q于点N；④作直线PN.所以直线PN即为所求作直线.根据小石设计的尺规作图的过程，完成下列问题.(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明.证明：∵MN是☉Q的直径，∴∠MPN=°()(填推理的依据).

∴OP⊥PN.又∵OP是☉O的半径，∴PN是☉O的切线()(填推理的依据).

知识点2切线的性质4.(2022广西河池中考)如图，AB是☉O的直径，PA与☉O相切于点A，∠ABC=25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是()A.25° B.35° C.40° D.50°5.(2023北京二十七中月考)如图，PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，点C为☉O上一点，若∠ACB=80°，则∠P的度数为()A.70° B.20° C.50° D.40°6.(2023北京东城月考)抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图，AC，BD分别与☉O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P=120°，☉O的半径为6cm，则CD的长为()A.πcm B.2πcm C.3πcm D.4πcm7.(2021北京中考)如图，PA，PB是☉O的切线，A，B是切点.若∠P=50°，则∠AOB=.

8.(2022山东济南中考)已知：如图，AB为☉O的直径，CD与☉O相切于点C，交AB的延长线于点D，连接AC，BC，∠D=30°，CE平分∠ACB交☉O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F.(1)求证：CA=CD；(2)若AB=12，求线段BF的长.知识点3切线长定理9.(2023北京海淀八一学校月考)如图，直线AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG=cm.10.(2023北京朝阳陈经纶中学分校月考)如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线CD分别相交于D、C，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=cm.

知识点4三角形的内切圆11.(2022山东潍坊中考改编)如图，△ABC的内切圆(圆心为点O)与各边分别相切于点D，E，F，连接EF，DE，DF.以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于12GH的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP.下列说法正确的是(①射线BP一定过点O；②点O是△DEF三条中线的交点；③若△ABC是等边三角形，则DE=12BC④点O不是△DEF三条边的垂直平分线的交点.A.①③ B.①④ C.②③ D.③④12.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为(3，6)，(-3，3)，(7，-2)，则△ABC内心的坐标为.

能力提升全练13.(2022重庆中考A卷)如图，AB是☉O的切线，B为切点，连接AO交☉O于点C，延长AO交☉O于点D，连接BD.若∠A=∠D，且AC=3，则AB的长度是()A.3 B.4 C.33 D.4214.(2023北京二十七中调研)如图，☉O上有三点A，B，C，半径OC=2，∠ABC=30°，☉O的切线PA交OC的延长线于点P，则线段PA的长为.

15.(2022湖南株洲中考)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切).”如图所示.问题：此图中，正方形一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，☉O的半径为2丈，则BN的长度为丈.

16.(2022四川宜宾中考)我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为.

17.(2022北京中考)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.(1)求证：∠BOD=2∠A；(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为☉O的切线.18.(2020北京中考)如图，AB为☉O的直径，C为BA延长线上一点，CD是☉O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.(1)求证：∠ADC=∠AOF；(2)若sinC=13，BD=8，求EF的长19.(2022天津中考)已知AB为☉O的直径，AB=6，C为☉O上的一点，连接CA，CB.(1)如图1，若C为AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长；(2)如图2，若AC=2，OD为☉O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作☉O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长. 素养探究全练20.已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中☉O的半径为aba+b的是

第二十二章圆(下)一直线和圆22.2圆的切线答案全解全析基础过关全练1.C如图，连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵DE⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠OBC+∠DFB=90°，∵∠EFC=∠BFD，∴∠OBC+∠EFC=90°，∵∠ECF=∠EFC，∴∠OCB+∠ECF=90°，即∠OCE=90°，∵OC是☉O的半径，∴CE是☉O的切线.故选C.2.证明如图，连接BC，∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ACE=25°，∴∠DCB=180°-90°-25°=65°，∵∠D=50°，∴∠DBC=180°-65°-50°=65°，由弦切角性质，得∠ABC=∠ACE=25°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=25°+65°=90°，∵OB是☉O的半径，∴BD是☉O的切线.3.解析(1)补全图形如图：(2)∵MN是☉Q的直径，∴∠MPN=90°(直径所对的圆周角是直角).∴OP⊥PN.又∵OP是☉O的半径，∴PN是☉O的切线(经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线).4.C∵∠ABC=25°，∴∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是☉O的切线，∴PA⊥AB，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°-∠AOP=90°-50°=40°，故选C.5.B如图，连接OA，OB，∵∠ACB=80°，∴∠AOB=2∠ACB=160°，∵PA，PB是☉O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠P=360°-90°-90°-160°=20°，故选B.6.B如图，连接OC，OD，∵AC，BD分别与☉O相切于点C，D，∴∠OCP=∠ODP=90°，∴∠COD=360°-∠OCP-∠ODP-∠CPD=360°-90°-90°-120°=60°，∴CD的长=60π×6180=2π(cm).故选B7.答案130°解析∵PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P=360°，∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°.8.解析(1)证明：如图，连接OC，∵CD与☉O相切于点C，∴∠OCD=90°，∵∠D=30°，∴∠COD=90°-∠D=60°，∴∠A=12∠COD=30°，∴∠A=∠D，∴CA=(2)∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，AB=12，∴BC=12AB=6∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=12∠ACB=45°∵BF⊥CE，∴∠BFC=90°，∴BF=BC·sin45°=6×22=32∴线段BF的长为32.9.答案10解析∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵直线AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，BE=BF，CG=∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠BCD)=90°∴∠BOC=90°，在Rt△BOC中，BC=OB2+O∴BE+CG=BC=10cm.10.答案5解析设DC与☉O的切点为E(图略)，∵PA、PB是☉O的切线，且切点分别为A、B，∴PA=PB.同理，DE=DA，CE=CB.则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+CB+PC=PA+PB=10(cm)，∴PA=PB=5cm.11.A∵圆O是△ABC的内切圆，∴点O是△ABC三个内角平分线的交点，由尺规作图可知，射线BP是∠ABC的平分线，∴射线BP一定过点O，故①正确；点O是△DEF的外心，∴点O是△DEF三边垂直平分线的交点，故②④错误；∵△ABC是等边三角形，∴D、E分别为AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC，故③正确.故选A12.答案(2，3)解析画出平面直角坐标系如图，作△ABC三个内角的平分线，交于点I，点I即为△ABC的内心.所以△ABC内心I的坐标为(2，3).能力提升全练13.C如图，连接OB，∵AB是☉O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，∴AB2=OA2-OB2，∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∵∠A=∠D，∴∠A=∠D=∠OBD，AB=BD，∴△OBD∽△BAD，∴OD∶BD=BD∶AD，∴BD2=OD·AD，即OA2-OB2=OD·AD，设OD=x，则OB=x，OA=x+3，AD=2x+3，∴(x+3)2-x2=x(2x+3)，解得x=3(负值舍去)，∴OA=6，OB=3，∴AB2=OA2-OB2=27，∴AB=33，故选C.14.答案23解析如图，连接OA，∵PA与☉O相切于点A，∴PA⊥OA，∴∠OAP=90°，∵∠ABC=30°，∴∠AOP=2∠ABC=2×30°=60°，∴∠P=90°-∠AOP=90°-60°=30°，∵OA=OC=2，∴OP=2OA=2×2=4，∴PA=OP2−OA∴线段PA的长为23.15.答案(8-22)解析如图，设正方形的一边与☉O相切的切点为C，连接OC，则OC⊥AC，∵四边形是正方形，AB是对角线，∴∠OAC=45°，∴OA=2OC=22(丈)，∴BN=AB-OA-ON=10-22-2=(8-22)丈.16.答案289解析如图，设内切圆的圆心为O，直角△ABC的内切圆与AC、BC相切于E、D，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，易知OE=OD=3=AC+∴AC+BC-AB=6，∴AC+BC=AB+6，∴(AC+BC)2=(AB+6)2，∴BC2+AC2+2BC·AC=AB2+12AB+36，∵BC2+AC2=AB2，∴2BC·AC=12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴(BC-AC)2=49，∴BC2+AC2-2BC·AC=49，即AB2-2BC·AC=49②，把①代入②得AB2-12AB-85=0，∴(AB-17)(AB+5)=0，∴AB=17(负值舍去)，∴大正方形的面积为172=289.17.证明(1)如图，连接AD，∵AB是☉O的直径，AB⊥CD，∴BC=BD，∴∠CAB=∠BAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=2∠CAB.(2)如图，连接OC，AD，∵F为AC的中点，∴DF⊥AC，易知AD=CD，∠ADF=∠CDF，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠CAB=∠DAB，∴∠CDF=∠CAB，∵OC=OD，∴∠CDF=∠OCD，∴∠OCD=∠CAB，∵BC=BC，∴∠CAB=∠CDE，∴∠CDE=∠OCD，∵∠E=90°，∴∠CDE+∠DCE=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，即OC⊥CE，∵OC为☉O的半径，∴直线CE为☉O的切线.18.解析(1)证明：如图，连接OD，∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF=∠B，∵CD是☉O的切线，D为切点，∴∠CDO=90°，∴∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°，∴∠ADC=∠BDO，∵OD=OB，∴∠BDO=∠B，∴∠AOF=∠ADC.(2)∵OF∥BD，AO=OB，∴AE=DE，∴OE=12BD=12∵sinC=ODOC=1∴设OD=x，OC=3x(x>0)，∴OB=x，∴CB=4x，∵OF∥BD，∴△COF∽△CBD，∴OCBC=OFBD，∴3x4x=OF∴EF=OF-OE=6-4=2.19.解析(1)∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°.∵C为AB的中点，∴AC=BC，∴AC=BC，∠ABC=∠CAB.在Rt△ABC中，∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=45°.根据勾股定理，有AC2+BC2=AB2，∵AB=6，∴2AC2=36，∴AC=32(舍负).(2)∵FD是☉O的切线，∴OD⊥FD，即∠ODF=90°.∵OD⊥CB，垂足为E，∴∠CED=90°，CE=12∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠FCE=90°，∴∠FC