20.5 测量与计算 同步练习

第二十章解直角三角形二解直角三角形20.5测量与计算基础过关全练知识点1解直角三角形的应用——仰角、俯角问题1.(2023北京顺义期末)如图，为测量楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为α，则楼房BC的高为()A.50tanα米 B.50tanα米 C.50sinα米 D.2.(2022湖北随州中考)如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD=a，则建筑物AB的高度为()A.atanα−tanβ B.atanβ3.摄乐桥，寓意“摄录快乐之桥梁”，是太原市城北地区沟通城市东西区域的重要桥梁，曾荣获“中国钢结构金奖”.大桥跨幅大，采用全漂浮体系，主塔横桥为“A”字形，无横梁，整体呈扭曲面，立体效果较明显.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量摄乐桥主塔顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.测量结果如表：课题测量摄乐桥主塔顶端到桥面的距离测量工具测角仪、皮尺等测量示意图说明：A点为主塔顶端，DE，FG为路灯，且DE=FG，在B点处测得路灯顶点D与主塔顶端A在同一条直线上，且仰角为∠ABE，测点B到路灯DE的距离为BE的长，在C点处测得路灯顶点F与主塔顶端A在同一条直线上，且仰角为∠ACG，已知两个路灯之间的距离为179m，点B，E，G，C在同一条直线上测量数据∠ABE的度数∠ACG的度数BE的长度52.5°37.6°4.6m……(1)根据上表测量结果，请你帮助该小组计算出主塔顶端到桥面的距离；(结果保留一位小数，参考数据：sin37.6°≈0.61，cos37.6°≈0.79，tan37.6°≈0.77，sin52.5°≈0.79，cos52.5°≈0.61，tan52.5°≈1.30)(2)请你根据所学的知识，再设计一种方案，画出示意图，并写出需要测量的量.知识点2解直角三角形的应用——坡角、坡度问题4.(2022湖北十堰中考)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC的长为m，则大树AB的高为()A.m(cosα-sinα) B.m(sinα-cosα) C.m(cosα-tanα) D.msinα5.(2022北京石景山期末)北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素.如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB.已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为m.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

6.(2022湖南郴州中考)下图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m，背水坡BC的坡度为i1=1∶1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1∶3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.(参考数据：2≈1.41，3≈1.73.结果精确到0.1m)知识点3解直角三角形的应用——方向角问题7.(2022四川巴中中考)如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为

海里.参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈348.(2022湖南岳阳中考)喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛.如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=200米，则点P到赛道AB的距离约为米.(结果保留整数，参考数据：3≈1.732)

9.如图，在某次军事演习时，中国空警机A在北偏东22°方向上发现有不明敌机在钓鱼岛P附近徘徊，并快速报告给东海司令部.此时正在空警机A的正西方向200km处巡逻的中国歼击机B接到任务，迅速赶往北偏东60°方向上的钓鱼岛P处，已知歼击机B的速度是2.2马赫(1马赫大约等于1200km/h).请根据以上信息，求歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间.(结果精确到1s.参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73)能力提升全练10.(2022黑龙江牡丹江中考改编)如图，小明去爬山，在山脚B处看山顶A的仰角为30°，沿着坡比为5∶12的山坡上走1300米到达E点，此时小明看山顶A的仰角为60°，则山高AC为()A.(600-2505)米 B.(6003-250)米 C.(350+3503)米 D.5003米11.(2022湖北黄石中考)某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：如图，已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为m.(参考数据：3≈1.732，结果按四舍五入法保留一位小数)

12.(2022贵州黔西南州中考)如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶.测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向.A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的距离约是nmile.(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，保留整数结果)

13.(2023北京门头沟期末)定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观.为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动.如图，他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的俯角α为45°，定都阁底端B的俯角β为60°，此时无人机到地面的垂直距离PC为463米，求定都阁的高AB.(结果保留根号)14.(2023河南新乡辉县期末)如图，在中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方500米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求潜艇C的下潜深度.(结果保留整数，sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7)素养探究全练15.(2022湖南常德中考)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图1)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图2是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米.(结果保留整数，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)

第二十章解直角三角形二解直角三角形20.5测量与计算答案全解全析基础过关全练1.A由题意知∠C=90°，在Rt△ABC中，tanα=BCAC，∴BC=ACtanα=50tanα米.故选A.2.D设AB=x，在Rt△ABD中，tanβ=ABBD=xBD，∴BD=∴BC=CD+BD=a+xtanβ，在Rt△ABC中，tanα=ABBC解得x=atanαtan3.解析(1)过点A作AH⊥BC于H，如图，∵tanB=DEBE=AHBH=tan52.5°≈1.∴DE≈1.30BE=1.30×4.6=5.98(m)，BH≈AH1.30∵FG=DE，tanC=FGCG=AHCH=tan37.6°≈0.∴CG≈FG0.77≈5.980.77≈7.77(m)，CH≈∴BC=BE+EG+CG=4.6+179+7.77=191.37(m)，∵BH+CH=BC，∴AH1.30+AH0.77≈191.解得AH≈92.5(m).答：主塔顶端到桥面的距离约为92.5m.(2)如图，在B点处测得路灯顶点D与主塔顶端A在同一条直线上的仰角∠ABE，再在E点处测得主塔顶端A的仰角∠AEH，再测出BE的长度即可，理由如下：过A作AH⊥BE于H，由锐角三角函数的定义可知，BH=AHtanB，EH=∵BE=BH-EH，∴BE=AHtanB-即可求出AH的长度.4.A如图，过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，则∠BCD=α，∠BDC=90°，在Rt△BCD中，BC=m，∠BCD=α，则BD=BC·sin∠BCD=msinα，CD=BC·cos∠BCD=mcosα，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，则AD=CD=mcosα，∴AB=AD-BD=mcosα-msinα=m(cosα-sinα)，故选A.5.答案18解析在Rt△ABH中，∠ABH≈37°，AB=30m，∵sin∠ABH=AHAB，∴AH=AB·sin∠ABH≈30×0.60=18(m)6.解析∵i1=1∶1，CD⊥BD，∴tan∠CBD=CDBD=1，∴CD=BD∵i2=1∶3，CD⊥AD，∴tan∠CAD=CDAD=1∴AD=3CD，∵CD=20m，∴BD=20m，AD=203m，∴AB=AD-BD=203-20≈14.6m.即背水坡新起点A与原起点B之间的距离约是14.6m.7.答案50解析如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，∠DPC=67°，PA=30海里，∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，∴∠B=180°-90°-53°=37°，在Rt△PAB中，sin37°=APPB=30PB≈∴PB≈50海里，∴此时与灯塔P的距离约为50海里.8.答案87解析如图，过点P作PH⊥AB于点H，则∠APH=30°，∠BPH=60°.设AH=x米，则在Rt△APH中，PH=AHtan30°=x33=3在Rt△PBH中，BH=PH·tan60°=3x·3=3x(米).∵AB=AH+BH，∴x+3x=200，∴x=50，∴PH=3x=503≈50×1.732=86.6≈87(米).9.解析如图，过点P作PC⊥BA交BA的延长线于C，设AC=xkm，则BC=(200+x)km，在Rt△PAC中，tan∠APC=ACPC，∠APC=22°∴PC=ACtan∠APC≈x0.4=2.5在Rt△BCP中，tan∠PBC=PCBC，∠PBC=30°∴2.5x200+x解得x≈60，则PC=2.5x=150km，在Rt△PBC中，∠PBC=30°，∴BP=2PC=300km，∴歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间为3002.2×1200×3600≈409(s)答：歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间约为409s.能力提升全练10.B如图，作EF⊥CB于F，ED⊥AC于D，∵斜坡BE的坡度为5∶12，∴设EF=5x米，BF=12x米，由勾股定理得(5x)2+(12x)2=(1300)2，解得x=100(舍负)，则EF=500米，BF=1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC=EF=500米，DE=CF，在Rt△ADE中，tan∠AED=tan60°=ADDE，则DE=ADtan60°=33AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC=tan30°=ACBC，∴500+AD1200+33AD∴山高AC=AD+DC=6003-750+500=(6003-250)米，故选B.11.答案12.7解析如图，设旗杆底部为点C，旗杆顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E.则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，设DE=xm，在Rt△BDE中，tan60°=DEBE=xBE=解得BE=33xm，∴AE=AB+BE=20+3在Rt△ADE中，tan30°=DEAE=x20+3解得x=103≈17.32，经检验，x=103≈17.32是原方程的解，且符合题意，∴CD=CE-DE=30-17.32≈12.7m.12.答案34解析如图，过点C作CF⊥AB于F，设CF=xnmile.由题意，得∠DAC=50°，∠DAB=80°，∠CBE=40°，AD∥BE，则∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°，∵AD∥BE，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠ABE=180°-∠DAB=180°-80°=100°，∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.在Rt△ACF中，∵∠CAF=30°，∴AF=3CF=3xnmile.在Rt△CFB中，∵∠FBC=60°，∴BF=33CF=33x∵AF+BF=AB，∴3x+33x=80，解得x=203≈3