广东省惠州市2024−2025学年高三第二次调研考试（期中） 数学试题含答案

广东省惠州市2024−2025学年高三第二次调研考试（期中）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则（

）A．3 B．2 C． D．13．已知等差数列前9项的和为27，，则（

）A．100 B．99 C．98 D．974．在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．5．已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（

）A． B． C． D．8．在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（

）A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生二、多选题（本大题共3小题）9．某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：.则关于这组数据的结论正确的是（

）A．极差是4B．众数小于平均数C．方差是2D．数据的第80百分位数为4.510．函数的部分图象如图所示，现将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（

）A．B．C．函数是奇函数D．11．如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（

）A．点和均在上B．点的纵坐标的最大值为C．的最大值与最小值之和为3D．三、填空题（本大题共3小题）12．在的二项展开式中，各项的系数和为.13．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为14．若关于的方程有实根，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最小值．16．如图，四棱锥中，底面，.(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.17．已知双曲线及直线.(1)若与有两个不同的交点，求实数的取值范围；(2)若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值.18．记的内角的对边分别为，已知且均为整数.(1)求的值；(2)设的中点为，求的余弦值.19．若数列满足，则称数列an为项数列，由所有项0数列组成集合.(1)若an是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；(2)从集合中任意取出两个数列，记.①求随机变量的分布列，并证明：；②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且.若，比较与的大小.

参考答案1．【答案】B【详解】因为合，，所以.故选：B.2．【答案】C【详解】因为，所以，所以.故选：C.3．【答案】C【详解】试题分析：由已知，所以故选C.【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4．【答案】C【详解】连接，在正方体中，平面，棱的中点为，则平面，而平面，故，则即为直线与平面所成角，设正方体棱长为2，则，则，故，故选：C5．【答案】A【详解】由，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A6．【答案】A【详解】若函数在上单调递增，则，解得，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.7．【答案】D【详解】设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示．易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得，因为与圆弧相切于点，所以，在中，，又，所以，由对称性知，，则，所以，故选：D.8．【答案】C【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人；文科女生有人，文科男生有人；根据题意可知：，根据同向不等式可加的性质有：，即，所以理科女生多于文科男生，故C正确，其他选项没有足够证据论证.故选：C.9．【答案】AD【详解】数据从小到大排列为：.A项，该组数据的极差为，故A正确；B项，众数为3，平均数为，所以众数与平均数相等，故B错误；C项，方差为，故C错误；D项，由，是整数，则这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数，即，故D正确.故选：AD.10．【答案】ABD【详解】由图象可知：，则；又，故，又，所以，所以A项正确；，由五点作图法可知：，解得：，所以B项正确；因此可得，则，设，则，所以函数是偶函数，故C项错误；由，所以D项正确；故选：ABD.11．【答案】ABD【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D.【详解】令，得出，则时，，得或，时，得，所以和均在L上，故A正确；因为曲线关于y轴对称，当时，，所以，，即时，最大，最大值为，故B正确；，因为曲线关于y轴对称，当时，设，所以，因为可取任意角，所以取最小值，取最大值，即和为，故C错误；等价为点在椭圆内，即满足，即，整理得，即恒成立，故D正确.故选ABD.12．【答案】【详解】令，则二项式展开式各项的系数和为.故答案为：13．【答案】【详解】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可.体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.14．【答案】【详解】设方程的实根为，则，所以，即.设点，则点在直线上.设点O0,0到直线的距离为，则，设，则，所以，当，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以，则，又，由几何意义可知，所以.检验：当时，，由，解得，此时；由，解得，此时.所以最小值为.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程；（2）分析函数的单调性，可得函数的最小值.【详解】（1）因为，所以切点坐标为：，又，，即为所求切线的斜率，所以切线方程为：，化简得：；（2），（）由；由，所以在上单调递减，在上单调递增，故函数在区间上的极小值为，也是最小值.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：已知底面，且底面，所以.由，可得又平面，所以平面.（2）取的中点.由，可得，又因为，所以三角形是正三角形，故.在中，，所以.可建立如图所示的空间直角坐标系，求得，由（1）可知，是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，设平面与平面的夹角为，所以.所以平面与平面夹角的余弦值为.17．【答案】(1)(2)或【详解】（1）直线与双曲线有两个不同的交点，则方程组有两组不同的实数根，整理得.，解得且，双曲线与直线有两个不同的交点时，的取值范围是.（2）解法一：设交点，由（1）知双曲线与直线联立的方程为.由韦达定理得：，则又到直线的距离，所以的面积，解得或，又因为且，所以或.所以当或时，的面积为.解法二：设交点，直线与轴交于点，由（1）知双曲线与直线联立的方程为.由韦达定理得：，当在双曲线的一支上且时，；当在双曲线的两支上且时，综上，.由已知得，故，即所以，解得或，又因为且，所以或.所以当或时，的面积为.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，则.由，则，故，所以，因为为整数，所以，由，可得.因为，所以，则，所以.由，则，解得或（舍去），故，又为正整数，所以，所以，综上，.（2）由（1）可知，，则，在中，由正弦定理，可得，又的中点为，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以.19．【答案】(1)0(2)①分布列见解析，证明见解析；②【详