福建省厦门市2024−2025学年高二上学期10月月考 数学试卷含答案

福建省厦门市2024−2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．22．若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（

）A． B． C． D．3．“”是“直线与直线互相垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，在同一平面直角坐标系中表示直线与，正确的是（

）A． B．C． D．5．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（

）A． B． C． D．6．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或7．如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．8．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．（多选题）下列说法中，正确的有（

）A．已知直线：，始终过定点B．直线在轴上的截距是C．直线的倾斜角为30°D．过点并且倾斜角为90°的直线方程10．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．若，则向量，的夹角是锐角B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面11．在长方体中，，以为原点，以分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（

）A．B．平面的一个法向量为C．异面直线与所成角的余弦值为D．平面与平面夹角的余弦值为三、填空题（本大题共3小题）12．若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b=；若l1l2，则b=.13．已知，直线过原点且平行于，则A到的距离为.14．如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线经过直线与直线的交点.(1)求点P坐标；(2)若直线垂直于，求直线的方程；(3)若直线与经过两点，的直线平行，求直线的方程.16．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为，的中点，设，，.(1)用，，分别表示向量，；(2)求异面直线与所成角的余弦值.17．已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点.(1)当时，求直线的方程；(2)当的面积为时，求直线的方程.18．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点．(1)求证：直线与平面平行；(2)求直线与平面的距离；(3)求直线与平面所成角的正弦值.19．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.(1)证明：平面；(2)建立适当的空间直角坐标系，求面PAB法向量和平面ACE的法向量；(3)是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】C【分析】直接利用数量积的坐标运算即可求得.【详解】因为，所以.故选：C2．【答案】D【分析】根据斜率的定义以及斜率公式可得出关于实数的等式，解之即可.【详解】由斜率的定义可得，即，解得.故选：D.3．【答案】C【解析】利用两直线垂直时它们的一般方程的系数间的关系可求的值.【详解】若直线与直线互相垂直，则，解得.所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，选C.4．【答案】D【分析】结合一次函数参数的几何意义判断即可【详解】过坐标原点，直线的倾斜角为45°，A，B选项中图象不合题意；对于选项C，过坐标原点，且，则直线在y轴上的截距应该大于零，选项中图象不合题意；对于选项D，过坐标原点，且，则直线在y轴上的截距应该小于零，选项中图象符合题意．故选：D5．【答案】A【详解】因为，向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标是.故选：A6．【答案】D【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上，所以，解得，所以直线方程为，故所求直线方程为或.故D项正确.故选D.7．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果.【详解】如图所示，以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则.所以，因为，所以.故选C.

8．【答案】B【分析】首先求出直线,的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率，因为直线过点，且与线段相交，所以结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．故选B．9．【答案】ABD【分析】代入验证可判定A;根据纵截距的定义可判定B；根据直线的斜率与倾斜角的关系可以判定C；根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式，进而可以判定D.【详解】∵,可知A正确；由直线的斜截式方程可知，B正确；由方程可得直线的斜率为，可知倾斜角为60°，故C错误；根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式，再根据经过点(5,4),∴直线的方程为，故D正确.故选：ABD.10．【答案】BC【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；根据异面直线的平行线即可判断D.【详解】对于A：若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故A错误；对于B：根据空间向量共面定理知，空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确.对于C：因为，且，所以四点共面,故C正确.对于D：分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.故选BC.11．【答案】BD【详解】由题意可得选项A：，，即不成立；选项B：设平面的一个法向量为,由，则所以，取，得.选项C：，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.选项D：由上可得平面的一个法向量为，又平面的法向量为，则，所以两个平面夹角的余弦值为，则D正确.故选：BD12．【答案】2【详解】当l1⊥l2时，，得b=2.当l1l2时，k1=k2，，得.故答案为：2，.13．【答案】/【详解】由题，又直线的方向向量可取，则，则A到的距离为距离为：.故答案为：14．【答案】3【分析】建立空间直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算得关于的函数，再求解函数最值即可.【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，，则，因为，所以当时，取最大值，最大值为3.故答案为：3.【思路导引】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，得到各点坐标，假设，利用向量数量积的坐标运算可得，根据二次函数的性质即可得解.15．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）联立，解得，故；（2）直线垂直于，故设直线方程为，将代入得，，解得，故直线方程为；（3），故直线的斜率为，直线的方程为，化为一般式方程为.16．【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为分别为，的中点，设，，，所以，；（2）由题意可得，，则，由（1）知，，所以，，，所以，所以异面直线AM与所成角的余弦值为.17．【答案】(1)；(2)或【详解】（1）设直线的方程为，且由，得，由直线过点，得，解得，所以直线的方程为.（2）设直线的方程为，且直线不经过原点，由题意知，，，解得或，所以直线的方程为或.18．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）由图可得：，，，，，，，，，，则，，，设平面的法向量为，则有，令，可得，即可取，有，故，又平面，故直线与平面平行；（2）由直线与平面平行，故直线与平面的距离与点到平面的距离相同，设到平面的距离为，有，则，即直线与平面的距离为；（3），设直线与平面所成角，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.19．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3)存在，【详解】（1）因为四边形是菱形，所以.因为平面，