角平分线的性质教案

第十一章角平分线的性质一学习目标1.知识与技能：了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；掌握角平分线的性质和判定；综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。2.过程与方法：通过观察，归纳作图，总结出角平分线的性质，提高学生的动手操作能力和实践能力3.情感，态度和价值观：提高学生对数学学习的兴趣，体验数学作图的乐趣。二重点、难点重点：角平分线的性质和判定。难点：角平分线的性质和判定的综合应用。三教学工具圆规，直尺，三角板四教学方法探究归纳法，实践法六教学过程1.知识梳理1）角平分线的定义2）角平分线的尺规作法3）角平分线的性质4）角平分线的判定2.新授知识点一作角平分线例1：如图，已知点为直线上一点，过作直线，使于。思路分析：由于AB是直线，要求作，实际上就是要作平角的平分线。根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。解答过程：作法：1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；2、分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧，使两弧交于点M；3、作直线CM。所以，直线CM即为所求。解题后的思考：此题要求“大于的长为半径”的理由是：半径如果小于，则两弧无法相交；而半径如果等于，则两弧交点位于C点处，无法作出直线CM。在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。小结：本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。知识点二角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线性质的符号语言：在的平分线上于，于例2：如图，是的角平分线，，，垂足分别是。连接，交于点。说出与之间有什么关系？证明你的结论。思路分析：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。解答过程：，且证明：平分，，垂足分别是在和中（HL）在△DGE和△DGF中（SAS），，且。解题后的思考：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。例3：如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。求证：。思路分析：由已知条件，可以利用角平分线的性质得到DE＝DF。而要证明CE＝CF，只要证明以它们为边的两个三角形全等即可。将两者结合起来分析就不难找到思路。解答过程：CD是的平分线，于，于，在和中（HL）解题后的思考：利用角平分线的性质可以证明线段相等，而线段相等可能又是证明其他结论所需要的条件。小结：运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。知识点三角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线判定的符号语言：于，于且在的平分线上（或写成是的平分线）例4：如图，，于，于，和交于点。求证：平分。思路分析：要证平分，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。解答过程：于，于在和中（AAS）又于，于平分。解题后的思考：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件或，，那么得出平分这一结论是错误的。例5：如图，是上两点，是上两点，且，，试问点是否在的平分线上？思路分析：一方面，要判断点是否在的平分线上，只要判断点P到角的两边距离是否相等即可；另一方面，由已知条件中三角形面积和底边相等可以推导出高相等。这样已知和结论就联系起来了。解答过程：证明：过点P作于D，于E，，而又又于D，于E在的平分线上。解题后的思考：利用面积证明相关结论是一种常见方法。面积法有着其他方法所不具有的优势，比如它不要求考虑线段的位置关系。小结：角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的。判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等”。若已知“垂直”则设法证明“相等”，若已知“相等”则设法证明“垂直”。知识点四角平分线的综合应用例6：如图，在中，，平分，于，在上，。求证：。思路分析：由已知条件很容易得到DC＝DE；要证明CF＝EB，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。解答过程：平分，，在与中（HL）。解题后的思考：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。例7：如图，已知在中，，。求证：平分。思路分析：有两种方法证明平分：一是直接利用定义证明；二是利用角平分线的判定，证明点D到角的两边距离相等。仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。解答过程：过点D作于E，于F故，在与中（AAS）又于E，于F平分。解题后的思考：当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线。小结：用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。提分技巧本节课我们主要学习了角平分线的性质和判定，它们都可以通过三角形全等得出证明；这样，我们又得到了证明线段相等或角相等的一种方法。在解题中若能用它们直接得出线段或角相等时，就不需要再通过证明三角形全等来间接证明，这样可以减少这一条件麻烦。在利用角平分线的性质时，可由“角平分线”和“距离”这两个条件得出