人教B版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法课件

1.1.1集合及其表示方法【课程标准】1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体情境中，了解空集的含义．教

材

要

点知识点一集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．

关系语言描述记法示例a属于集合Aa是集合A中的元素________若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江∉Aa不属于集合Aa不是集合A中的元素________a，b，c，…A，B，C，…a∈Aa∉A状元随笔对元素和集合之间关系的两点说明1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A

”与“a∉A”这两种结果．2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．集合中元素的特征特征含义确定性集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准互异性给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现无序性集合中的元素无先后顺序之分4.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N；在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或N＋；所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；所有实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示1．列举法：把集合中的元素________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{

}”括起来表示集合的方法叫做________．2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．一一列举列举法状元随笔1．列举法表示集合时的5个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的；(3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素是无序的；(5)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母．知识点四区间及其表示1．区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R的区间表示：实数集R可以用区间表示为____________，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．(－∞，＋∞)3．无穷大的几何表示定义符号数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)状元随笔关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．基

础

自

测1．下列能构成集合的是(

)A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼答案：C解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．2．集合{x∈N*|x－3＜2}的另一种表示法是(

)A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}答案：B解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1，2，3，4.故选B.3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是(

)A．0B．1C．－1D．0或1或－1答案：C解析：由已知条件1∈{a，a＋1，a2}知有三种情况，若a＝1，则a＋1＝2，a2＝1，则a＝a2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1.若a＋1＝1，即a＝0，则a2＝0，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0.若a2＝1，即a＝±1，当a＝－1时，符合题意．综上知a＝－1.

【答案】

C

方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1若a，b，c，d为集合A中的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(

)A．矩形B．平行四边形C．菱形D．梯形答案：D解析：因为集合中的元素具有互异性，所以a，b，c，d互不相等．又矩形、平行四边形、菱形均有相等的边，梯形的四条边可以不相等．所以以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是梯形．故选D.

【答案】

C

(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是(

)A．0B．1C．2D．3a分类处理：①a＝0，a＝1，a＝2；②a＝3，a＝4.还讨论吗？【答案】

C【解析】

∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0，4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1，3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．

N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．答案：D

(2)[2024·河南南阳六校模拟]已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则a的取值范围为___________．－4<a≤－2

题型3集合的表示——列举法例3用列举法表示下列集合：(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合；(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合；

(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合．找准元素，列举法是把集合中所有元素一一列举出来．

方法归纳1．用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)用“{

}”括起来．2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合．

题型4集合的表示——描述法[数学抽象、逻辑推理]例4(1)用描述法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集．①所有三角形组成的集合；②满足不等式5x＋2>3x－4的实数x组成的集合；③平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；④所有正偶数组成的集合．【解析】

(1)①所求集合为{x|x是三角形}．该集合是无限集．②由不等式5x＋2>3x－4，解得x>－3，则所求集合为{x|x>－3}.该集合是无限集．③设点P(x，y)在第四象限，则x>0，y<0，所以平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合为{(x，y)|x>0且y<0}．该集合是无限集．④所有正偶数组成的集合为{x|x＝2n，n∈N*}．该集合是无限集．状元随笔描述法注意元素的共同特征．(2)已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，则(

)A．d∈MB．d∈NC．d∈PD．d∈M且d∈N【答案】B【解析】由题意，设a＝3k，k∈Z，b＝3y＋1，y∈Z，c＝3m－1，m∈Z，则d＝3k－(3y＋1)＋3m－1＝3(k－y＋m)－2.令t＝k－y＋m，则t∈Z，则d＝3t－2＝3t－3＋1＝3(t－1)＋1，t∈Z，则d∈N，故选B.(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是___________．{－1，0，1}【解析】当m＝0时，方程mx2＋2x＋m＝0为2x＝0，解得x＝0，A＝{0}；当m≠0时，若集合A只有一个元素，则一元二次方程mx2＋2x＋m＝0有两个相等实根，所以判别式Δ＝22－4m2＝0，解得m＝±1；综上，当m＝0或m＝±1时，集合A只有一个元素．所以m的值组成的集合是{－1，0，1}．方法归纳描述法表示集合的两个步骤2．用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．3．解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．教材反思列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．

题型5用区间表示集合[数学运算、直观想象]例5用区间表示下列集合．(1){x|x≥3}；(2){x|－1<x≤2}；(3){x|x<5}．【答案】(1)[3，＋∞)

(2)(－1，2]

(3)(－∞，5)方法归纳方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用．跟踪训练5

用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间．(1)－2<x<5；(2)－3<x≤4；答案：(1)(－2，5)答案：(2)(－3，4](3)2≤x<5；(4)x≤4；答案：(3)[2，5)答案：(4)(－∞，4](5)x>－3；(6)x≥－4.答案：(5)(－3，＋∞)答案：(6)[－4，＋∞)

【易错警示】错误原因纠错心得错解忽略了集合中元素的互异性，当a＝1时，在一个集合中出现了两个相同的元素．含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论．能

力

提

升

练1.(多选)[2024·上海新场中学月考]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，则以下结论正确的是(

)A．2021∈[1]B．－3∈[3]C．若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]D．若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”答案：ACD解析：对于A，因为2021＝404×5＋1，所以2021∈[1]，故A正确；对于B，因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故B错误；对于C，若a与b属于同一“类”，则a＝5n1＋k(n1∈Z)，b＝5n2＋k(n2∈Z)，故a－b＝5(n1－n2)∈[0]，故C正确；对于D，若a－b∈[0]，则a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0，1，2，3，4，则a＝5m＋5n＋k＝5(m＋n)＋k，易知m＋n∈Z，所以a与b属于同一“类”，故D正确．故选ACD.

7

答案：C

2．(5分)已知集合A＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，则A中元素的个数为(

)A．2B．3C．4D．无数个答案：C解析：两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素．3．(5分)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a＝(

)A．2

B．2或4C．4

D．0答案：B解析：集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A，6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.4．(6分)(多选)下列集合的表示方法不正确的是(

)A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B.不等式x－1＜4的解集为{x＜5}C．{全体整数}D．实数集可表示为R答案：ABC解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{

}”与“全体”意思重复．二、填空题(每小题5分，共15分)5．(5分)用列举法表示集合{(x，y)|2x＋y－5＝0，x∈N，y∈N}＝________________________．{(0，5)，(1，3)，(2，1)}解析：∵{(x，y)|2x＋y－5＝0，x∈N，y∈N}，当x＝0时，y＝5，当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝1