浙江省金华市金华第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题含答案

第=page11页，共=sectionpages11页浙江省金华第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|(x−1)(x−2)≤0}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=(

)A.{−1,0,3} B.{−1,0,1} C.{1,2} D.{2,3}2.已知复数z=i(1−7i)，则z=(

)A.−7+i B.−7−i C.7+i D.7−i3.函数f(x)=cosπ4+xA.π4 B.π2 C.π 4.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果(单位：分)近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为(

)附：若随机变量Z服从正态分布Nμ,σ2A.82 B.78 C.74 D.705.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，FA⊥FB，且|FA|=2|FB|，则l的斜率是A.±1 B.±2 C.±6.某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，A点、B点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成43∘∼48∘的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A、B两点在水平方向的距离约为A.13m B.19m C.23m D.29m7.设A,B,C三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB⋅AC的最小值为(

)A.−94 B.−2 C.−38.已知数列an满足an+1<an+1<2an+2，a1=1，SnA.48 B.50 C.52 D.54二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知A(−1,0)，B(3,2)，C(2,−1)，△ABC的外接圆为⊙M，则(

)A.点M的坐标为1,−1 B.⊙M的面积是5π

C.点4,3在⊙M外 D.直线y=2x−3与⊙M相切10.连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X，掷出点数之和为Y，则(

)A.事件“X为奇数”发生的概率18

B.事件“Y<17”发生的概率为5354

C.事件“X=2”和事件“Y=4”相等

D.事件“X=4”和事件“11.设a>1，n为大于1的正整数，函数的定义域为R，fx−fy=ayA.f0=0 B.fx是奇函数

C.fx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.对于各数位均不为0的三位数abc，若两位数ab和bc均为完全平方数，则称abc具有“S性质”，则具有“S性质”的三位数的个数为

．13.过双曲线x23−y2=1的一个焦点作倾斜角为14.已知四面体ABCD各顶点都在半径为3的球面上，平面ABC⊥平面BCD，直线AD与BC所成的角为90∘，则该四面体体积的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知fx=x+asinx，曲线y=fx(1)求a的值；(2)求不等式fx+1+f16.(本小题12分)如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，AA1⊥平面ABC，设平面AB1(1)证明：EF⊥平面BCC(2)若直线EF和平面ABC所成角的余弦值为6317.(本小题12分)在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a,b,c成公比为q的等比数列．(1)求q的取值范围；(2)求tanA218.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+y2(1)求C的方程：(2)设过点4,0的一条直线与C交于P,Q两点，且与线段AF交于点S．(i)若AS=FS，求(ii)若△APS的面积与▵FQS的面积相等，求点Q的坐标．19.(本小题12分)设n≥5为正整数，0<a1<a2<⋯<an为正实数列．我们称满足(1)若n=5，且{an}(2)给定正实数r，证明：中位数为4(即(i,j,k)中j=4)的r−比值组至多有3个；(3)记r−比值组的个数为fn(r)，证明：fn参考答案1.C

2.D

3.C

4.B

5.D

6.D

7.B

8.D

9.BC

10.ABC

11.AD

12.4

13.314.5415.解：(1)由已知fx=x+asin又函数y=f(x)在点Pπ,π处的切线斜率为2即f′π解得a=−1；(2)由(1)得fx=x−sin则f′x即fx在R又f−x即函数fx由fx+1+f3−2x即x+1>2x−3，解得x<4，即不等式的解集为−∞,4．

16.解：(1)由题意知b=aq,c=aq根据三角形三边关系知：q>0解得q∈【小问2详解】由(1)及正弦定理、余弦定理知：tan=1+由对勾函数的性质知：f在5−12所以fq=q+即tanA2tan由三棱台ABC−A1B1C因为B1C1⊂平面AB所以B1因为EF⊥l，所以EF⊥BC，又EF⊥BB1,BC∩BB1所以EF⊥平面BCC【小问2详解】取BC中点M，连接AM，以A为原点，AM为y轴，AA1为过点A做x轴垂直于yOz平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为ℎ，则B设平面BCC1B则CB⋅n令z=3，可得平面BCC易得平面ABC的一个法向量m=设EF与平面ABC夹角为θ，m⋅所以cos由cosθ=6由(1)知EF//n，所以解得ℎ=6，所以三棱台的体积

17.解：(1)由题意知b=aq,c=aq根据三角形三边关系知：q>0解得q∈5−12,(2)由(1)及正弦定理、余弦定理知：tan=1+由对勾函数的性质知：fq在5−12所以fq=q+即tanA2tan

18.解：(1)根据题意有4a且由椭圆的几何性质可知a2所以a2所以C的方程为x2(2)(i)如下图所示：若AS=FS可得，S为AF的中点，可得即PQ的斜率为kPQ=22设Px1,所以x1+因此可得PQ=(ii)显然PQ的斜率存在，设PQ的方程为y=kx−4，代入C2k2+1则可得x1以下证明：直线SF平分∠PFQ，易知AF⊥x轴，故只需满足直线FP与FQ的斜率之和为0．设FP,FQ的斜率分别为k1k1=2k×x代入x1有k1+k2=0，故直线AF因为△APS的面积等于▵FQS的面积，故SASP=SFSQ，即故∠AFQ=∠AFP=∠FAQ⇒AQ=FQ易知线段AF的垂直平分线为y=22，与C故Q的坐标为7,

19.解：(1)因为{an}若n=5,r=1，则1≤i<j<k≤5，aj所以当i=1且j−i=1时，j=2，k−j=1即k=3，此时1−比值组为1,2,3；当i=1且j−i=2时，j=3，k−j=2即k=5，此时1−比值组为1,3,5；当i=1且j−i=3时，j=4，k−j=3即k=7，不符合；当i=2且j−i=1时，j=3，k−j=1即k=4，此时1−比值组为2,3,4；当i=2且j−i=2时，j=4，k−j=2即k=6，不符合；当i=3且j−i=1时，j=4，k−j=1即k=5，此时1−比值组为3,4,5；当i=3且j−i=2时，j=5，不符合；当i=4且j−i=1时，j=5，不符合；综上，若n=5且{an}为等差数列的所有的1−(2)因为0<a1<所以当i,j固定时，则至多有一个k使得aj因为j=4，所以i=2或3或4共三种取法，所以中位数为4(即(i,j,k)中j=4)的r−比值组至多有3个．(3)对给定的j1<j<n，满足1≤i<j<k≤n，且aj−因为0<a1<a2<⋯<a因为i<j，所以i值有j−1种取法，故g