2022-2024北京重点校初二（下）期中数学汇编：二次函数章节综合

第1页/共1页2022-2024北京重点校初二（下）期中数学汇编二次函数章节综合一、单选题1．（2024北京十一学校初二下期中）抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．2．（2024北京十一学校初二下期中）如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（

）A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系3．（2024北京十一学校初二下期中）二次函数（，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：x0123y121则一元二次方程（，a，b，c是常数）的两个根，的取值范围是（

）A．， B．，C．， D．，4．（2023北京海淀初二下期中）如图①，在正方形中，点E是的中点，点P是对角线上一动点，设，，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为，则正方形的边长为（）A． B． C．4 D．5二、填空题5．（2024北京十一学校初二下期中）用长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面积是．（透光面积指的是整个矩形面积）6．（2024北京十一学校初二下期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中，①；②；③若点在此抛物线上且，则或．④若点在此抛物线上，则；所有正确结论的序号是．7．（2022北京海淀初二下期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的最小值是，此时原方程的解是．三、解答题8．（2024北京清华附中初二下期中）如图所示，在直角坐标系中，矩形的边AD在轴上，点在原点，，若矩形以每秒个单位长度沿轴正方向做匀速运动同时点从点出发以每秒个单位长度沿的路线做匀速运动当点运动到点时停止运动，矩形也随之停止运动．(1)求点从点运动到点所需的时间；(2)设点运动时间为秒）．①当时，求出点的坐标；②若的面积为，试求出与之间的函数关系式（并写出相应的自变量的取值范围）．9．（2024北京十一学校初二下期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．10．（2024北京十一学校初二下期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求该抛物线的表达式，并用描点法画出函数图象；(2)将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．11．（2023北京海淀初二下期中）如图1，在等腰直角三角形中，，，点P在三角形的边上沿A→C→B的路径运动，过点P作于点D，设，的面积为（当点P与点B或点A重合时，y的值为0），在点P运动的过程中，y随x的变化而变化．小东根据学习函数的经验对y与x的变化规律进行了探究，下面是小东的探究过程，请你补充完整并利用所得结论解决问题．

(1)根据点P的运动路径可知，自变量x的取值范围是；(2)通过取点，画图，测量，得到了x与y的几组值，如表：0123…40mn…0请写出表中m，n的值：，；(3)在平面直角坐标系中，描出以表中各对值为坐标的点，连线，画出该函数图象；(4)结合画出的函数图象，请你描述函数y随x的增大如何变化；(5)当时，的面积为．

参考答案1．D【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是，故选：．2．B【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案．【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为，∴，∴，∵，∴，∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选B．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．3．D【分析】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围．【详解】解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：当时，对应的值在与之间或与之间，∴，时，y的值最接近0，∴，的取值范围是：，．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．4．C【分析】如图，点D是点B关于直线的对称点，连接交于点P，则此时y取得最小值，即，即可求解．【详解】解：如图，点D是点B关于直线的对称点，连接交于点P，根据点的对称性，，则为最小，故，设正方形的边长为a，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：（负值已舍去），故选：C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形，正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．5．【分析】设窗的宽为，高为，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可．本题考查了二次函数的应用，熟记二次函数的顶点坐标公式是解题的关键．【详解】解：设窗框的宽为m，高为，，，有最大值，即：当时，则做成宽为、长为时，才能使做成的窗框的透光面积最大，最大透光面积是，故答案为：2．6．②③④【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴判断①，开口方向判断②，对称性，增减性判断③和④．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴对称轴为，∴；故①错误；∵抛物线的开口向下，∴；故②正确；∵，当时，，∴图象过，∵对称轴为直线，∴关于对称轴的对称点为：，∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，∵点在此抛物线上且，∴或；故③正确；∵点在此抛物线上，∴点关于对称轴的对称点为：，由图象可知：当时，；故④正确；故答案为：②③④．7．/【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根得到∆=0，即，整理得到，根据二次函数的最大值求出c的最小值，整理得到方程再利用直接开平方法求解．【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴∆=0，即，∴，∴当m=-1时，c有最小值，最小值为，此时的方程为，解得故答案为：，．【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况求参数，二次函数的最值，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键．8．(1)16秒(2)①；②【分析】根据路程，速度，时间的关系，构建方程求解；当时，点从点运动到上，此时点到点的时间秒，，，再过点作于点，则，，得出，所以得出点的坐标；可分三种情况“，，”进行讨论解题即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，行程问题等知识，解题关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．【详解】（1）由题意，点从点运动到点所需的时间为秒；（2）当时，点从点运动到上，此时点到点的时间秒，，，过点作于点，则，，，点的坐标为；分三种情况：当时，点在上运动，此时，，；当时，点在上运动，此时，；当时，点在上运动，此时，，，；综上所述，与之间的函数关系式是：．9．(1)，对称轴为直线；(2)【分析】本题考查二次函数的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，进而利用公式求得对称轴解析式；（2）求得C的坐标以及二次函数的最大值，求得与对称轴的交点即可确定t的范围．【详解】（1）把点，代入函数解析式，得：，解得：，∴；∴对称轴为直线；（2）∵，∴，∵，∴抛物线的顶点坐标为1,4，∵直线与图象有公共点，∴的最大值为，当直线经过点时，设直线的解析式为：，把，代入，得：，解得：，∴，当时，∴．10．(1)，图见解析(2)1【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移：（1）待定系数法求出函数解析式，列表描点，连线画出函数图象即可；（2）抛物线与x轴只有一个公共点时，此时公共点为顶点坐标，即新的抛物线的顶点的纵坐标为0，进行求解即可．【详解】（1）解：把2,1，代入，得：，∴，∴；列表如下：123457117描点，连线画出函数图象如图：（2）∵抛物线的顶点坐标为，且平移后的抛物线与轴只有一个公共点，∴只需向上平移1个单位，顶点变为，此时满足题意．故答案为：111．(1)(2)，(3)见详解(4)见详解(5)或3【分析】（1）由点D在线段（点D可以和点A、点B重合）上运动可得x的取值范围；（2）根据题意分情况讨论，当时，求出的面积与x的关系式，代入2即可求出m的值，当时，画图求出的面积与x的关系式，代入3即可求出n的值；（3）根据表格所给数据，描点，连线画图即可；（4）结合画出的函数图象，描述y随x的变化是如何变化的；（5）结合（2）中求出的函数关系式，当时分别求出x的值即可．【详解】（1）解：点P在三角形的边上沿A→C→B的路径运动，当点P与点A重合时，y的值为0，此时，当点P与点B重合时，y的值为0，此时，所以x的取值范围是，故答案为：；（2）当点P在边上时，即时，∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，当时，，当点P边上时，即时，

∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，当时，，故答案为：2，；（3）把