辽宁省辽阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

高一考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定形式可知原命题的否定为：，.故选：D.2.已知集合，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合运算法则可得到结果.【详解】∵，，∴，∵，∴，故选：C.3.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由二次根式下大于等于零和分母不为零解不等式组求出即可；【详解】由题意可得，解得且，所以定义域为，故选：B.4.函数的一个零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可判断.【详解】和都是增函数，所以函数为增函数，且，，，，所以函数在区间存在唯一零点，所以函数的一个零点所在区间为.故选：B5.若，，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，，进一步根据不等式的性质即可求解.【详解】因为，，所以，，所以，所以的取值范围为.故选：A.6.已知函数，且，则（）A.3 B. C.17 D.【答案】A【解析】【分析】代入即可求解.【详解】在中取可得，所以，故选：A7.已知函数是减函数，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，结合两段分界处的关系，即可求解.【详解】函数是减函数，则有，解得，则a的取值范围为.故选：B.8.我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（）A.128个 B.127个 C.256个 D.255个【答案】D【解析】【分析】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，先得出集合的子集个数，类比可得不同全子集族、不同子集族个数.【详解】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，一般地，设集合中有个元素，则它有个子集，我们对所有子集按元素个数分类为：，则集合不同的全子集族个数为个，从而集合不同的子集族个数为个，若集合B中有3个元素，从而B的不同子集族有个.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（）A.平行于，且等于 B.平行于，且不等于C.平行于，且不平行于 D.平行于或平行于【答案】BC【解析】【分析】结合梯形定义及其性质，结合充分不必要条件定义逐项判断即可得.【详解】对A：若平行于，且等于，则四边形是平行四边形，故A错误；对B：若平行于，且不等于，则四边形是梯形，若四边形是梯形，则可能有不平行于，但平行于，故平行于，且不等于是四边形是梯形的一个充分不必要条件，故B正确；对C：若平行于，且不平行于，则四边形是梯形，若四边形是梯形，则可能有不平行于，但平行于，故平行于，且不平行于是四边形是梯形的一个充分不必要条件，故C正确；对D：平行于或平行于时，可能平行于且平行于，此时四边形是平行四边形，故D错误.故选：BC.10.已知集合与的关系如图所示，则与可能是（）A.，B.，C.，D.，【答案】ABD【解析】【分析】由集合与的关系图，可知，依此逐项判断即可.【详解】由集合与关系图，知，对于A，由，，则，且，故正确；对于B，因为，,则，且，故正确；对于C，因为，则，当且仅当，即时，等号成立，即，因为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，即，因为，所以集合真包含于集合，不满足，故错误；对于D，因为，，联立，解得或，则，且，故正确.故选：ABD.11.已知函数fx为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（）A.B.C.fx在上单调递减D.fx的值域为【答案】ABD【解析】【分析】对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令，得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域.【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确；对于B，由，，，故B正确；对于C，，，则，所以函数在上不满足单调递减，故C错误；对于D，由，，令，则，且，，，，即，由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知下列表格表示的是函数，则＝________．x-2-102y3210【答案】0【解析】【分析】根据给定的数表，直接计算得解.【详解】依题意，有.故答案：0.13.若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】当时，原不等式显然恒成立，当，一元二次不等式对应的二次函数需要开口向上、与轴没有交点才满足题意，据此列出不等式求解即可.【详解】当时，原不等式恒成立，满足题意；当时，只需，解得;综上所述：，故答案为：.14.已知奇函数的图像是一条连续不断的曲线，在上单调递减，则不等式的解集为________．【答案】或，【解析】【分析】根据奇函数的性质可得，进而根据单调性即可求解.【详解】因为是奇函数，所以，由可得，由于在上单调递减，且的图像是一条连续不断的曲线，故在上单调递减,故，则或，解得或，故解集为或，故答案为：或，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知非空集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）代入求出集合，解一元二次不等式的到集合，再由补集和并集的运算得到结果；（2）把问题转化为是的真子集，再列不等式组求解即可；【小问1详解】当时，.由,得,则或，所以或【小问2详解】有题意得⫋,则得,所以的取值集合为16.已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用表示，根据二次函数的性质求得正确答案.（2）利用基本不等式求得正确答案.【小问1详解】依题意，，，且，所以，所以，二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，取得最大值为，此时.所以的最大值为.【小问2详解】，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.17.辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为fx元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元．（1）分别求函数fx，解析式；（2）已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？【答案】（1），；，.（2）乙购买了2斤大果榛子【解析】【分析】（1）根据题意，写出函数fx（2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案.【小问1详解】根据题意，，，，.【小问2详解】由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元，则乙花费元，若乙按照方案一购买，则，解得或，又，，即乙可以购买2斤大果榛子，若乙按照方案二购买，则，解得，所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子.18.已知函数，的定义域均为．（1）请在所给的图中画出的图像；（2）若不等式的解集为，求a的取值范围；（3）讨论函数的零点个数．【答案】（1）图象见解析（2）（3）当或时，函数的零点个数为0；当时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2.【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，再画出图象即可；（2）利用函数图象可以解决恒成立问题；（3）将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，再结合函数图像，分类讨论，即可解决.【小问1详解】由题意知，所以其函数图象如下所示：【小问2详解】因为不等式的解集为，所以在上恒成立，函数图象的对称轴为：，函数和的图象如下：所以，由图可知：，故的取值范围为：.【小问3详解】因为，所以函数和图象的交点个数即为函数的零点个数，由（2）可知，①当，或时，函数和图象的交点个数为0，此时函数的零点个数为0，此时或，②当，且时，函数和图象的交点个数为2，此时函数的零点个数为2，此时，③当，即时，函数和图象的交点个数为1，此时函数的零点个数为1，综上所述：当或时，函数的零点个数为0；当时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2.19.已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”．（1）判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由；（2）若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围；（3）已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”．【答案】（1）不是，理由见解析；（2）（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）由函数新定义判断即可；（2）由函数新定义结合二次函数的值域判断即可；（3）由函数新定义结合函数的单调性构造函数，得到在上单调递减即可；【小问1详解】由题意可得，当时，，