2025年高考数学总复习：概率、统计与其他知识的交汇问题

第九节概率、统计与其他知识的交汇问题

考试要求：1.会求概率、统计与不等式的综合问题.

2.会求概率、统计与函数的综合问题.

3.会求概率、统计与数列的综合问题.

核心考点提升“四能”

考点一概率、统计与不等式的综合问题

【例1】(2024•长沙模拟)甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负

者得。分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方

赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为a,乙获胜的概率为£,两人平局的概率为y(a

+£+>=1,a>0,£>0,y20),且每局比赛结果相互独立.

(1)若。=；,或二，丫二，求甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；

(2)当y=0时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大

值.

解：(1)记事件A为“每局比赛甲获胜”，

记事件8为“每局比赛乙获胜”，

记事件C为“每局比赛甲、乙两人平局”，

则P(A)=a=pP(B)=0=；,尸(C)=7=，.

记“进行4局比赛后甲运动员赢得比赛”为事件Z),

则事件。包括事件A2A4,BAAA,ACCA,CACA,CCAA这5种情况，

所以P(D)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P(CACA)+P(CCA4)

=2P(B)P(A)P(A)P(A)+3P(C)尸(C>P(A)P⑷

=2XiX©3+3X0X@=^

(2)若y=0,此时每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，则a+£=l,

此时X的所有可能取值为2,4,5,

可得P(X=2)=P(A4)+P(BB)=a2+y?2,

P(X=4)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ABBB)+P(BABB)=Q邢+2哂=2a队"+y?2),

P(X=5)=P(ABAB)+P(ABBA)+P(BABA)+P(BAAB)=(r/32+ct2^2+a?■优+(r/32=4«2^2,

则X的分布列为

X245

砂)

P2(4+.24屋加

则E(X)=2*+夕2)+4*2侬(a?+步)+5X4a2,2=4o?■世-卜4磔+2.

因为a+P=122而,

所以侬w(,当且仅当a=D=；时等号成立，则磔e(o,；),

此时E(X)=4a2/+4磔+2=(2磔+1)2+1W(2X：+1『+1=9，

故E(X)的最大值为半

>反思感悟

概率、统计与不等式有关的综合问题的解法

(1)根据概率的性质、均值、方差公式等得出关于概率p的表达式或不等式.

(2)通过不等式知识解不等式或利用基本不等式求最值.

多维训练.

某工厂A,8两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得

知，A,8生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2P—l(0.5WpWl).

(1)从A,8生产线上各抽检一件产品，若至少有一件合格品的概率不低于99.5%,求p的最

小值po;

(2)假设不合格的产品均可通过返工修复变为合格品，以(1)中确定的po作为p的值.己知4

B生产线的不合格品返工修复后，每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上

各随机抽检1000件产品，以返工修复后挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽

回的损失较多？

解：(1)至少有一件合格品的概率为1—(1—p)[l—(2p—=2(1—pF.令1—2(1—

p)220.995,解得0.955pWL05.又0.5WpWl,所以0.95WpWl,故p的最小值po=O.95.

(2)由(1)可知，A,2生产线上产品为合格品的概率分别为0.95和0.9,

所以A,B生产线上产品不是合格品的概率分别为0.05和0」.

故从A生产线上抽检的1000件产品中，不合格产品大约有1000X0.05=50(件)，返工修复

后，可挽回损失50X5=250(元)，

从8生产线上抽检的1000件产品中，不合格产品大约有1000X0.1=100(件),返工修复后，

可挽回损失100X3=300(元)，

因为250<300,所以8生产线挽回的损失较多.

考点二概率、统计与函数的综合问题

【例2】(2024.济宁模拟)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织

本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试

成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.

频率/组距

0.030

0.024

0.020

0.004

O35455565758595初试成绩/分

⑴根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值.

(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布其中〃为样本平均数的估计值，。仁14.

初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数.

⑶复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖，答对两道题获得二等奖，答对一道题获得

三等奖，全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为〃，

第三道题答对的概率为4若他获得一等奖的概率为］设他获得二等奖的概率为P,求尸的

O

最小值.

附：若随机变量X服从正态分布N(〃，o2),则crWXW〃+cr)七0.6827,PQL

+2。)心0.9545,尸(/，一3c<XW〃+3(7)~0.9973.

解：(1)样本平均数的估计值为10(40X0.010+50X0.020+60X0.030+70X0.024+80X0.012

+90X0.004)=62.所以样本平均数的估计值为62.

(2)因为学生的初试成绩X近似服从正态分布Na,/),其中〃=62,(7^14.

所以〃+2o■弋62+2X14=90.

所以尸(X>90)=尸(X2〃+2(7)W(l—0.9545)=0.02275.

所以估计能参加复试的人数为0.02275X8000=182.

(3)由该学生获得一等奖的概率为:，可得a2b="

oo

则P=<22(1~b)+a(l—a)b+(l—a)ab=a2+2ab—^=a+；-:.

84a8

2

令尸=/(。)=/+也一(，0<a<l,则/(a)=2a8a3—1(2a1)(4a+2a+1)

4/4a2

当OVaV(时,广(a)V0;当时，/,(a)>0.

所以/(a)在区间(0,上是单调递减，在区间G，1)上是单调递增.

所以/⑷mm=/&=：+K=*

所以尸的最小值为之

8

〉反思感悟

概率、统计与函数有关的综合问题的解法

在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是

将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，解题时通常先结合概率、方差、

均值的公式列出函数表达式，再利用函数的性质(单调性、最值等)求解.

多维训练B

在2024年春节期间，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活

动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系.

(I)现对某时间段10。名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下

数据：

单位：名

用户年龄段选择甲直播间购物选择乙直播间购物合计

19―24岁4050

25〜34岁30

合计

是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？

(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙

两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率

为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8,求小李第二

天去乙直播间购物的概率.

(3)元旦期间，甲直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为p(0<p<

1),每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取5人，记5人中恰有2人下单成功

的概率为/g)，求/⑺)的最大值点po.

解：⑴列联表如下：

单位：名

用户年龄段选择甲直播间购物选择乙直播间购物合计

19〜24岁401050

25〜34岁203050

合计6040100

)

由表中数据可得/=100X(40X30-20X10=50>w§28,

“50x50x60x403

故有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关.

(2)由题设，事件小李第二天去乙直播间包括第一天去甲直播间，第二天去乙直播间和第一

天去乙直播间，第二天去乙直播间两种情况，

所以小李第二天去乙直播间购物的概率尸=0.5X(1-0.7)+0.5X(1-0.8)=0.25.

(3)由题可设5人中下单成功的人数为X,则X〜(5,p),

所以/(?)=C力2(1—p)3=1002(]一必3,令g。=p2(1一夕)3=p2―303+3P4—05,

所以g'(p)=p(2—9p-\-12p2—5/J3),

令人(0)=2—9〃+12/2—5/,

所以〃3=-9+24p-15p2=—i5(p-J+§

所以"⑦)在(0,§上单调递增，在6，1)上单调递减，

又〃。=砥1)=0,

故在(0,J上，h'(p)<0,〃⑦)单调递减；在G，1)上，h'(p)>0,〃0)单调递增;

由M1)=O,/z(l)=O,得在(0,9上，h(p)>0,即g9)>0,

在(|,1)上，h⑼<0,即g'(p)V0,所以g。在(0,§上单调递增，

在(I，1)上单调递减，即f(p)在(0,§上单调递增，在G，1)上单调递减，

所以/S)max—f(§,即po=巳

考点三概率、统计与数列的综合问题

【例3】(2024•大连模拟)国学小组有编号为1,2,3,…，〃的〃名同学，现在有两道选择

题，每人答对第一题的概率为：，答对第二题的概率为;，每名同学的答题过程都是相互独立

的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答

第一题；②若第i(i=l,2,3,〃一1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i

+1号同学继续比赛；③若第i(i=l,2,3,…，a—1)号同学答对第一题，则再答第二题,

若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第

i+1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第”轮，则不

管第”号同学答题正确与否，比赛结束.

⑴令随机变量X.表示〃名同学在第X"轮比赛结束，当w=3时，求随机变量X3的分布列.

(2)若把比赛规则③改为：若第i(i=l,2,3,…，力-1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛

失败，第i+1号同学重新从第一题开始作答.令随机变量匕表示"名同学在第匕轮比赛结

束.

①求随机变量匕("GN*,〃》2)的分布列；

②证明：E(匕)单调递增，且小于3.

(1)解：根据题意可知X3的所有可能取值为1,2,3,

211

又尸(X3=l)三X；=g,

c\211,1215n/"1157

尸(X3=2)=-X-X-+-X-X-=—,P(X3=3)=1————=—,

、,32233218、,31818

所以X3的分布列为

X3123

157

p

31818

（2）①解：根据题意知匕=1,2,n,

每位同学两题都答对的概率为P=：x；=；,

所以答题失败的概率均为1—=

所以Y产kQWkWn—l,时，P(Y"=k)=©4

当Yn=n时，P（y„=/i）=

所以匕的分布列为

Yn123・・・n~1n

121(1)xl

p—X-・・・(l)F

333第

②证明：由①知E(匕)=>(1>'%dN*,心2),

«=1

£（y“+D—E（y"）="G）ix；+（〃+D（1）"—〃（1）”'=Q＞o,故戊匕）单调递增；

由上得E（匕）三，

故£（匕）=£（㈤+四⑸一三匕）］+囹%）一£（匕）］+…+因匕）一E（匕-1）］,

所以戊匕）三+（J+（1+…+ET="叫2X（旷＜3,

I3

故耳匕）＜£（匕）＜£（均）＜线为）（匕）＜3.

〉反思感悟

概率、统计与数列有关的综合问题的解法

一是认真审题，判断随机变量的所有可能取值，并注意相互独立事件的概率与互斥事件的概

率的区别，求出随机变量取各个值时的概率，从而列出随机变量的分布列；二是将概率的参

数表达式与数列的递推式相结合，可得数列的通项公式，此种解法新颖独特.

多维训练

（2024•威海模拟）全民健身是全体人民增强体魄、健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民

健身的情况，某调研小组随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：

每周健身次数1次2次3次4次5次6次及6次以上

男4653428

女7587617

⑴如果认为每周健身4次及以上为“喜欢健身”，请列出2X2歹!联表，并根据小概率值a

=0.05的独立性检验，判断喜欢健身与性别是否有关联.

（2）假设杭州市民小红第一次去健身房A健身的概率为看去健身房8健身的概率为《，从第

二次起，若前一次去健身房A,则此次不去A的概率为士若前一次去健身房8,则此次仍

不去A的概率为;.记第n次去健身房A健身的概率为P„,则第10次去哪一个健身房健身的

概率更大？

7_

附：,n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+J)*

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

解：⑴依题意，2X2列联表如下:

单位：人

性别喜欢健身不喜欢健身合计

男351550

女302050

合计6535100

零假设为Ho：喜欢健身与性别无关.根据列联表中的数据，经计算得到/=

理警等祟•仁1.O99<3.841=WO5,根据小概率值a=0.05的独立性检验，没有充分证据

DUXDVXOJXJV

推断Ho不成立，因此也可以认为Ho成立，即认为喜欢健身与性别无关.

(2)依题意，尸1=看9，当W22时，P.=P,L1X；-2+(1—P“T)X：n=(1Pi+｝?

则P"_*=3(尸1号),

所以数列｛p“一s｝是首项为p一1=5-公比为5的等比数列,

匕二61n861

所以Pn——=——X------,P-.---X--------,

111112n-1n111112"-1

所以尸1。=?一泳卷.乂一卷户.

所以第10次去A健身房健身的概率更大.

课时质量评价（六十九）

1.（2024・烟台模拟）某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏.游戏规则如下：

每个小组由两名队员组成，每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，投进的次数之

和不少于3次的称为“神投小组”.已知队员甲与队员乙组成一个小组，甲、乙两名队员投

进篮球的概率分别为“，P2.

（1）若P=l求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率.

（2）已知0i+p2=g,贝!I：

①夕，）2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？

并求出此时的最大概率；

②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均

要进行多少轮游戏？

解：(1)每小组投进的次数之和不少于3次的称为"神投小组"，

则可能的情况有：①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，

乙投中两次.

12

因为Pi=5,2=?

所以他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为

⑵①由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率

尸=C；X01义(1—R)xp：+p：XC；XP2X(1—P2)+pjXp：

=2Plp2m+。2)—2Plp2(pi+。2)—3P忧,

因为pi+°2=*所以尸=/

又OWpiWl,OW.Wl,贝

令〃z=piP2=_p；+*=—W+卷则me,，1］，

4"P—f(»0=~m—3m=~3(jn—,

所以—3加2在［；,上单调递增，则Pmax=f⑥=装，

3

此时PI=P2=M

②他们小组在〃轮游戏中获得“神投小组”称号的次数。满足。〜3(〃，怒)，

所以np=291,则〃=票=625,

625

所以平均要进行625轮游戏.

2.某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品a分为两

类不同剂型四和a2.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂四和合格的概率分别

为打耳，第二次检测时两类试剂期和恁合格的概率分别为押沁知两次检测过程相互独立，

两次检测均合格，试剂品a才算合格.

(1)设经过两次检测后两类试剂ai和a2合格的种类数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医

护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品a进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束,

并确定该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(O<p<l)且相

互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为了⑦)，若当p=po时,

f(p)最大,求po的值.

解：⑴试剂内合格的概率为;XW，

试剂Q2合格的概率为\x|=|.

由题意知X的所有可能取值为0,1,2.

则P(x=o)=(1一|)x(1-1)=P(X=1)=(1一|)x|+1x(1-1)=£,P(X=2)Wx|=

p则X的分布列为

X012

6136

P

252525

数学期望E(X)=0XA+1X£+2X,=1.

(2)检测3人确定“感染高危户”的概率为(1一020，

检测4人确定“感染高危户”的概率为(1—ppp,

则/(?)=(1—P)2p+(1—P)3P=(1—?)2P(2—。).

令x=l-p,因为OVpVl,所以OVxVl,

原函数可化为g(x)=f(l—f)(O<x〈l).

因为X2(l-x2)J*+(："I=

当且仅当/=].—%2,即x=日时，等号成立.

此时p=l—9，所以po=l—

3.(2024・济南模拟)某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，

分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生

参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如图

所示的频率分布直方图.

(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机

地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望.

(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N5,片)，

其中〃可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代

替)，且(?=362,已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参

加复赛？

(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定

答题数量”，每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格，规定答第上题时“花”

掉的分数为0.2网左=1,2,…，»)；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完

w题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8,

且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量〃应为多

少？

附：若Z〜N@,<r),则<rWZ《〃+(7)-0.6827,尸5—2(7WZW〃+2(7)勺0.9545,P(ju~

3ZZW〃+3c)Q0.9973；V362^19.

解：⑴预赛成绩在［60,80)范围内的样本量为0.0125X20X100=25,

预赛成绩在［80,100)范围内的样本量为0.0075X20X100=15,

设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,

C25c1"2525C27

又P(X=0)=W=A，P(X=1)=3=||,p(x=2)=詈=3

"oMoDN'-•40

则X的分布列为

X012

5257

P__

135252

故E(X)=0xV+lx^+2x(=：・

(2)//=x=(10X0.005+30X0.01+50X0.015+70X0.0125+90X0.0075)X20=53,

『=362,则17Pl9,所以Z〜N(53,362),

故尸(Z291)=尸(ZN4+2Q=#1一加一2cVZV〃+2c)产0.02275,

故全市参加预赛的学生中，成绩不低于91分的有120000X0.02275=273(人)，

因为273V300,故小明有资格参加复赛.

(3)设学生甲答对的题目数为3复赛成绩为匕则］〜2(",0.8),故E©=0.8w,

r=100-0.2(l+2+3H-----F〃)+2(f,

故E(y)=100—0.2(1+2+3H-----M+2E©=—，2+弓+100=一《("一p+笔

因为“GN*,所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩.

4.现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种，能够满足

老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求.某老年公寓负责人为了能给老年人提供

更加良好的服务，现对所入住的120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况

如下表所示.

入住房间的类型单人间双人间三人间

人数366024

(1)若按入住房间的类型采用分层随机抽样的方法从这120名老年人中随机抽取1