中考数学二轮复习：一次函数的应用（讲）

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）

专题06一次函数的应用

一锵清皮一考点梳理

1.解决一次函数的实际问题的一般步骤

（1）设出实际问题中的变量；

（2）建立一次函数关系式；

（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；

（4）确定自变量的取值范围；

（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；

（6）做答.

2、.一次函数实际问题的常见题型

（1）一次函数的图象的实际问题分析

（2）一次函数的表格类问题

（3）一次函数的分段函数类应用题

（4）一次函数的最优化及方案设计型问题

二明题理——题型解析

（-）一次函数图象的实际问题分析

例1甲、乙两车间同时开始加工一批服装.从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在

中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工

任务为止.设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）.甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函

数图象如图所示.

（1）甲车间每小时加工服装件数为件；这批服装的总件数为件.

（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与尤之间的函数关系式；

（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间.

【答案】（1）80；1140；（2）y=60x-120（4<x<9）；（3）8.

【分析】（1）根据工作效率=工作总量+工作时间，即可求出甲车间每小时加工服装件数，再根据这批服装

的总件数=甲车间加工的件数+乙车间加工的件数，即可求出这批服装的总件数；

（2）根据工作效率=工作总量+工作时间，即可求出乙车间每小时加工服装件数，根据工作时间=工作总量+

工作效率结合工作结束时间，即可求出乙车间修好设备时间，再根据加工的服装总件数=120+工作效率x工

作时间，即可求出乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；

（3）根据加工的服装总件数=工作效率x工作时间，求出甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式，将

甲、乙两关系式相加令其等于1000,求出x值，此题得解.

【解析】（1）甲车间每小时加工服装件数为720+9=80（件），这批服装的总件数为720+420=1140（件）.

故答案为：80；1140.

（2）乙车间每小时加工服装件数为120-2=60（件），乙车间修好设备的时间为9-（420-120）-60=4（时），

乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=120+60（x-4）=60%-120（4<x<9）.

（3）甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=80x,当80x+60x-120=1000时，x=8.

答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时.

点睛：本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）

根据数量关系，找出乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量.y与x之间的函数关系式；（3）根据数量关系，

找出甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式.

考点：一次函数的应用；分段函数.

（二）一次函数的方案设计问题

例2在学习贯牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建

设、社会建设各个方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规

划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A、B两种型号客车作为交通工具.下表是租车

公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：

型号载客量租金单价

A30人/辆380元/辆

B20人/辆280元/辆

注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数.

（1）设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与尤的函数解析式（也称关系式），请直接写出x

的取值范围；

（2）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

【答案】（1）y==100x+17360（21<x<62,且尤为正整数）；（2）共有25种租车方案，A型号客车21辆，B

型号客车41辆时，最省钱.

【分析】（1）根据租车总费用=A、8两种车的费用之和，列出函数关系式即可；

（2）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题；

【解析】（1）由题意：y=380x+280（62-x）=100x+17360.

V30x+20（62-x）>1441,.*.x>20.1）.,.21<x<62,且x为正整数.

（2）由题意100x+17360W21940,.,.烂45.8,；.21W烂45,.,.共有25种租车方案，x=21时，y有最小值=175700

元.

故共有25种租车方案，A型号客车21辆，8型号客车41辆时，最省钱.

点睛：本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数

的性质解决最值问题.

考点：一次函数的应用；一元一次不等式的应用；最值问题.

（三）一次函数与方程（组）、不等式的综合应用

例3为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办.在此

期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：

篮球排球

进价（元/个）8050

售价（元/个）10570

（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？

（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式

（不要求写出尤的取值范围）；

（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商

店所有进货方案，并求出最大利润是多少？

【答案】（1）购进篮球40个，排球20个；（2）y=5x+1200；（3）共有四种方案，方案1：购进篮球40个，

排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球

43个,排球17个.最大利润为1415元.

【分析】（1）设购进篮球机个，排球”个，根据购进篮球和排球共60个且共需4200元，即可得出关于小

n的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60-x）个，根据总利润=单个利润x购进数量,

即可得出y与％之间的函数关系式；

（3）设购进篮球x个，则购进排球（60-尤）个，根据进货成本在4300元的限额内且全部销售完后所获利

润不低于1400元，即可得出关于尤的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，取其整数即可得出

各购进方案，再结合（2）的结论利用一次函数的性质即可解决最值问题.

【解析】（1）设购进篮球小个，排球，7个，根据题意得.：，解得：\

80m+50n=4200[〃=20

答：购进篮球40个，排球20个.

（2）设商店所获利润为y元，购进篮球无个，则购进排球（60-尤）个，根据题意得：产（105-80）尤+（70

-50）（60-x）=5x+1200,与尤之间的函数关系式为：y=5x+1200.

⑶设购进篮球x个，则购进排球@3个，鹏外篇（5x4+-12500（6>。1-4力00a3。。,解得：3

.130

3

取整数，，户40,41,42,43,共有四种方案，方案1:购进贽球40个，排球20个j方案2:购进篮

球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个.

•.•在产5X+1200中，i=5>0,：.y随x的增大而增大，，当E3时，可获得最大利润，最大利润为5X

43+1200=1415元.

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是:

（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出y与龙之间的函数关系式；（3）根据

一次函数的性质解决最值问题.

考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；方案型；最值问题.

（四）一次函数与几何综合问题

_339

例4.如图，直角坐标系尤Oy中，A（0,5）,直线X=-5与x轴交于点D直线y=-―x----与x轴及直线

88

x=—5分别交于点C,E.点、B,E关于x轴对称，连接A3.

(2)设面积的和S=SASE+SABDO，求S的值；

(3)在求(2)中S时，嘉琪有个想法：“将ACDE沿x轴翻折到ACDB的位置，而ACDB与四边形A8OO

拼接后可看成△AOC,这样求S便转化为直接求AAOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现

50如丰S，请通过计算解释他的想法错在哪里•

【答案】(1)C(13,0),E(5,3),y=1.x+5；(2)32；(3)见解析.

【分析】(1)利用坐标轴上点的特点确定出点C的坐标，再利用直线的交点坐标的确定方法求出点E坐标，

进而得到点8坐标，最后用待定系数法求出直线48解析式；

(2)直接利用直角三角形的面积计算方法和直角梯形的面积的计算即可得出结论；

(3)先求出直线与x轴的交点坐标，判断出点C不在直线AB上，即可.

【解析】(1)在直线y=—三3X—3二9中，令y=0,贝I有0=—3三x—3二9，；.x=-13,；.C(-13,0),令k-

8888

339

5,代入y=——x——,解得y=-3,(-5,-3),：点8,E关于x轴对称，...B(-5,3),VA(0,

88

27

5),...设直线AB的解析式为尸质+5,-5左+5=3,.,.直线AB的解析式为y=(x+5；

(2)由(1)知，E(-5,-3),：.DE=3,VC(-13,0),/.CD=-5-(-13)=8,：.S^CDE=~CDX

2

DE=12,由题意知，OA=5,OD=5,BD=3,：.SHa®ABDO=—(8_D+OA)xO£)=20,r.S=SACZ>£H_SWAKABDO=12+20=32；

2

(3)由(2)知，S=32,在AAOC中，OA=5,0c=13,S^oc=-OAxOC=—=32.5,：.S^S^AOC>理由：

22

7725

由(1)知，直线AB的解析式为y=gx+5,令y=0,贝U0=6尤+5，，x=-万力-13,.,.点C不在直线48

上，即：点A,B,C不在同一条直线上，...SAAodS.

点睛：此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，对称的性质，待定系数法，三角形，直角

梯形的面积的计算，解(1)的关键是确定出点C,E的坐标，解(2)的关键是特殊几何图形的面积的计算,

解（3）的关键是确定出直线AB与x轴的交点坐标，是一道常规题.

考点：一次函数综合题.

三锵方法——方法点睛

1.判断实际问题函数图象的方法：一找起点，二找特殊点，三判断函数图象的变化趋势.

分析函数图象的交点和转折点，说明函数在此点将发生变化，根据函数图象的变化趋势来判断函数的增减

性.

2.一次函数实际问题解析式的求法：在一次函数求函,数解析式的过程中，通常把交点坐标代入其中一个函数

解析式，求得一个字母的值，在利用待定系数法求出另一个函数的解析式.

旧四实题——随堂小练

1.晓琳和爸爸到太子河公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，晓琳继续前

行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家.晓琳和爸爸在整个运动过程中离家的路程yi（米），y2（米）与

运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论：①两人同行过程中的速度为200米/分；②m的值

是15,n的值是3000；③晓琳开始返回时与爸爸相距1800米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900

米.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】

①两人同行过程中的速度就是20分钟前进4000千米的速度;②爸爸有事返回的时间，比晓琳原路返回的时

间20分钟少5分钟，n的值用速度乘以时间即可;③晓琳开始返回时与爸爸的距离是他们的速度和乘以时间

5分钟;④两人相距900米是yiy2=900.

【详解】

：①4000+20=200米/分两人同行过程中的速度为200米/分，①正确

②m=205=15,n=200x15=3000,②正确

③晓琳开始返回时，爸爸和晓琳各走5分钟，爸爸返回的速度为100所以他们的距离为：300x5=1500(米),

③不正确

④设爸爸返回的解析式为y2=kx+b,把(15,3000)(45,0)代入得

15/c+=3000

(45k+b=0.，

100

解得Rb=4500

Ay2=100x+4500

・••当0WxW20时，yi=200x

y1y2=900.\200x(WOx+4500)=900

:.x=18

(20a+b=4000

当20sxs45时，yi=ax+b,将(20,4000)(45,0)代入得，45a+b=0］，

(k=-160

•**|b=7200

yi=160x+7200

yiy2=900,

(160x+7200)(WOx+4500)=900,

x=30.•.④正确

故选：C.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，明确横纵坐标的实际意义是解题得关键.

2.小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图

描述了小明在散步过程汇总离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系，根据图象，下列

信息错误的是()

A.小明看报用时8分钟B.公共阅报栏距小明家200米

C.小明离家最远的距离为400米D.小明从出发到回家共用时16分钟

【答案】A.

【解析】A.从4分钟到8分钟时间增加而离家的距离没变，所以这段时间在看报，小明看报用时8-4=4

分钟，本项错误；

B.4分钟时散步到了报栏，据此知公共闻报栏距小明家200米，本项正确；

C.据图形知，12分钟时离家最远，小明离家最远的距离为400米，本项正确；

D.据图知小明从出发到回家共用时16分钟，本项正确.

故选A.

3.小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚

从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车

时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离

s（单位：米）与他所用的时间单位：分钟）之间的函数关系如图所示.已知小刚从家出发7分钟时与家

的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟.下列说法：

①公交车的速度为400米/分钟；

②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；

③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；

④小刚上课迟到了1分钟.

其中正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B.

【分析】根据公交车第7至12分钟行驶的路程可得其速度；由公交车速度及其行驶的路程可知其行驶这段

距离的时间，根据公交车到达的时间即可知其出发时间，即可判断；根据从上公交车到他到达学校共用10

分钟及公交车的行驶时间可知小刚跑步所用时间，再由跑步的路程即可得其速度；根据小刚下车时发现还

有4分钟上课即可判断④.

【解析】•••小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，即小刚从家出发7分钟时距离学校3500-

1200=2300加,，公交车的速度为："=400米/分钟,故①正确;

12-7

由①知公交车速度为400米/分钟，公交车行驶的时间为310°-300=7分钟,...小刚从家出发乘上公交

400

车是在第12-7=5分钟时，故②正确;

•.•从上公交车到他到达学校公用10分钟，，小刚下公交车后跑向学校的速度是———=100米/分钟，

10-（12-5）

故③正确；

:小刚从下车至到达学校所用时间为5+10-12=3分钟，而小刚下车时发现还有4分钟上课，.•.小刚下车较

上课提前1分钟，故④错误；

故选B.

考点：一次函数的应用；数形结合.

4.已知直线>=-x+2与直线y=2x+6相交于点A,与x轴分别交于8,C两点，若点。（a,卜+1）落在AABC

内部（不含边界），则a的取值范围是（）

A.-3<a<2B.-2<a<3C.-§<a<0D.-2<a<2

【答案】B

【解析】

已知直线y=-x+2与直线y=2x+6相交于点A,与x轴分别交于B,C两点,

根据一次函数图象的性质，可以得到如图所示示意图，

:点D（a,卜+1）落在AABC内部（不含边界），

[a+1V2a+6

列不等式组.l<_a+2

（小+1>o

解得：-2<a<|,

故选B.

5.如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间单位；天）的

函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间单位：天）的函数关系，已知日销售利润=

日销售量x一件产品的销售利润，下列结论错误的是（）

【答案】C.

【解析】

试题分析：A.根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；

B.设当凶S20,一件产品的销售利润z（单位：元）与时间f（单位：天）的函额关系为三权+匕，把（0,

彷

=25=2=

25）,（20,5）代入得：L/解得：h*，,七+25,当广10时，产-10+25=15,故正确；

204+6=5[_0=25

C.当g标24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间M单位；天）的函额关系为广冽一小把（0,100）,

,f25

（24,200）代入得：、“，解得：〈6=一f+100,当12时，产150团-12+25=13,

[n=100

.•.第12天的日销售利润为;150x13=1950（7L）,第30天的日销售利润为；150x5=750（7L）,75蝌950,

故C错误；

D.第30天的日销售利润为；150x5=750（元），故正确.

故选C.

考点：1.一次函数的应用；2.综合题.

6.明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼.明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）

明明从A地出发，同时亮亮从B地出发|图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人一之间的距离y（米）

与行走时间x（分）的函数关系的图象，则（）

A.明明的速度是80米I分B.第二次相遇时距离B地800米

C.出发25分时两人第一次相遇D.出发35分时两人相距2000米

【答案】B

【解析】

解：•.•第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了3x2800米，且二者速度不变,

c=60+3=20，

二出发20分时两人第一次相遇，C选项错误；

亮亮的速度为米・分I，

两人的速度和为2800梅20=14（1米・分|,

明明的速度为|4（）-8（）=60c米|分|,A选项错误;

第二次相遇时距离B地距离为60X60-2800=B00（米I，B选项正确；

出发35分钟时两人间的距离为bola35=210（■米I，D选项错误.

故选：B.

一3〜

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=与一次函数y=-％+7的图象交于点A.

（1）求点A的坐标；

,3_

（2）设x轴上有一点尸（a,0）,过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交和丁=一%+7

7

的图象于点2、C,连接。C.若BC=—求AOBC的面积.

5

【答案】(1)A(4,3)；(2)28.

【解析】

试题分析：(D联立两一次函数的解析式求出x、j的值即可得出a点坐标；

(2)过点H作X轴的垂线，垂足为D,在义心。心中根据勾股定理求出CU的长，故可得出5c的长，根

据尸Q,0)可用a表示出5、C的坐标，故可得出，的值，由三角形的面积公式即可得出结论.

，

[Iv=3xx=44

试题解析：3)•••由题意得，r4',解得：｛,,：.A(4,3力

(2)过点H作1轴的垂线，垂足为D,在2公。三＞中，由勾股定理得，OA=y/ODZ+.lD2=V42+3：-5,

773377

：.BC--tt-l=-x5-7.VP(a,0),7.5(a,-a),O(a,-^7),.-.3C=-a-(-o+7)--a-7,.\-a-7-7,

554444

解得o=8,...S-BL13C"=!K7X8=28.

考点：1.两条直线相交或平行问题；2.勾股定理.

8.某工厂要加工甲、乙、丙三种型号机械配件共120个，安排20个工人刚好一天加工完成，每人只加工一

种配件，设加工甲种配件的人数为x,加工乙种配件的人数为y,根据下表提供的信息，解答下列问题：

配件种类甲乙丙

每人每天加工配件的数量(个)865

每个配件获利(元)15148

(1)求y与x之间的关系.

(2)若这些机械配件共获利1420元，请求出加工甲、乙、丙三种型号配件的人数分别是多少人?

【答案】丫=2。-3乂；*2]加工甲、乙、丙三种型号配件的人数分别是5人、5人、10人.

【解析】

【分析】

(0根据题意和表格中的数据可以写出y与x的函数关系式；

根据【1|中的结果和表格中的数据可以分别求得加工甲、乙、丙三种型号配件的人数分别是多少人.

【详解】

■由题意可得，化简，得

即y与x的函数关系式为・=2()-3|；

(2)1由题意可得，15x8x+14X6(20-3x)+8x[120-8x-6(20-3x)]=1420,

解得，■—，”=20-3x5=5，2O-x-y=io|,

答：加工甲、乙、丙三种型号配件的人数分别是5人、5人、10人.

9.在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车.，

乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村.设甲、乙两人到C村的距离yi，y2(km)与行驶时间x

(h)之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：

(1)A、C两村间的距离为km,a=；

(2)求出图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

(.3)乙在行驶过程中，何时距甲10km?

【答案】(1)120,2；(2)经过1小时甲与乙相遇且距C村60km

248

(3)当x=—h,或x=—h,或x二—h乙距甲10km

333

t解析】(1)120；2.

(2)设yi=kix+120,代入(2,0)解得yi=-60x+120,

设y2=kx-90,代入(3,0)解得yi=-30x-90,

由-60x^120=-30x-90解得x=l,则yi=y2=60,

.,.P(b60)表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60km.

(3)当y1-y2=10,即-60x-120-(-30x-90)=10解得x=j,

4

当y2-yi=10,即-30x-90-(-60x-120)=10解得x=],

Q

当甲走到c地，而乙距离C地10km时，-30x-90=10,解得x=-,

3

综上所述，当x==h,或*=±11,或x=^h乙距甲10km.

333

10.丽君花卉基地出售两种盆栽花卉：太阳花6元/盆，绣球花10元/盆.若一次购买的绣球花超过20盆时，

超过20盆部分的绣球花价格打8折.

（1）分别写出两种花卉的付款金额y（元）关于购买量无（盆）的函数解析式；

（2）为了美化环境，花园小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆，其中太阳花数量不超过绣球花数量

的一半.两种花卉各买多少盆时，总费用最少，最少费用是多少元？

flOx（x<20）

【答案】（1）太阳花：y=6x,绣球花：y=\；（2）太阳花30盆，绣球花60盆时，总费

'8%+40（%>20）

用最少，最少费用是700元.

【解析】

试题分析：（1）直接求出太阳花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式；绣球花的付款金额

分两种情况讨论：①一次购买的绣球花不超过20盆；②一次购买的绣球花超过20盆：

（2）太阳花额量不超过绣球花数量的一半，可得太阳花数量不超过两种花数量的1，即太阳花数量不超过

3

30盆，所以绣球花的数量不少于60盆；然后设太阳花的数量是x盆，则绣球花的数量是90-x盆，求出购

买两种花的总费用是多少，进而判断出两种花卉各买多少盆时，总费用最少，最少费用是多少元即可.

试题解析：3）太阳花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y=6x；

①一次购买的绣球花不超过20盆时，付款金额M元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：），=10x（xW20〉；

②一次购买的绣球花超过20盆时，付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是:尸10X20+10X0.8X

（x-20）=200+8x-160=8x+40,

（x<

综上，可得绣球花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：尸1。0xs:一20^

（2）根据题意，可得太阳花数量不超过：90x1=30（盆），所以绣球花的数量不少于：90-30=60（盆），

设太阳花的数量是x盆，则绣球花的数量是90-x盆，购买两种花的总费用是〉元，则xW30,则产6xH8

（90-x）+40]=760-2x,因为xW30,所以当x=30时,以玩=760-2X30=700（元），即太阳花30盆，绣

球花60盆时，总费用最少，最少费用是700元.

答：太阳花30盆，绣球在60盆时，点再用最少，晶少费用是700亓.

考点：1.一次函数的应用；2.最值问题；3.综合题；4.分段函数；5.分类讨论.

11.梧州市特产批发市场有龟苓膏粉批发，其中A品牌的批发价是每包20元，8品牌的批发价是每包25

元，小王需购买42两种品牌的龟苓膏共1000包.

（1）若小王按需购买A、B两种品牌龟苓膏粉共用22000元，则各购买多少包？

（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为500元.若小王购买会员卡并用此

卡按需购买1000包龟苓膏粉，共用了y元，设A品牌买了尤包，请求出y与x之间的函数关系式.

（3）在（2）中，小王共用了20000元，他计划在网店包邮销售这批龟苓膏粉，每包龟苓膏粉小王需支付

邮费8元，若每包销售价格A品牌比8品牌少5元，请你帮他计算，A品牌的龟苓膏粉每包定价不低于多

少元时才不亏本（运算结果取整数）？

【答案】（1）A600包、B400包；（2）y=-4x+20500；（3）24.

【解析】

试题分析：（D设小王需购买/、5两种品牌龟苓青粉分别为x包、y包，根据题意列方程解出即可；

（2）根据题意，可得产50（HQ8X[20/25（1000-x）],据此求出>与x之间的国数关系式即可.

（3）先求出小王购买.4、5两种品牌龟苓膏粉分别为多少包，然后设.4种品牌龟苓青粉的售价为z元，则

B种品牌龟苓青粉的售价为K5元，所以125针875（针5）>20000+8X1000,据此求出A品牌的龟苓膏粉每

包定价不低于多少元时才不亏本即可.

x+y=1000

试题解析：（D设小王需购买/、5两种品牌龟苓膏粉分别为x包、y包，贝"””*解得：

20x+25v=22000

fx=600

sc，二小王购买/、B两种品牌龟苓青粉分别为600包'400包；

y=400

（2）>=500+0.8X[20x+25（1000-x）]=500+0.8X[25000-5x]=500+20000-4x=-4x+20500,二.y与x之间

的函额关系式是：尸-4"20500；

（3）由（2）,可得：20000=-4/20500,解得下125,...小王购买.4、5两种品牌龟苓膏粉分别为125包、

875包，设A种品牌龟苓膏粉的售价为z元，则B种品牌龟苓膏粉的售价为K5元，.F25K875（^5）

>20000+8X1000,解得z三23.625,：.A品帙的角苓音税每句审价不低干24元时才不考本.

考点：1.一次函数的应用；2.综合题.

12.如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（-73,0）的两条直线分别交y轴于8、C两点，且8、C

两点的纵坐标分别是一元二次方程好—2%-3=0的两个根.

（1）求线段BC的长度；

（2）试问：直线AC与直线A2是否垂直？请说明理由；

(3)若点。在直线AC上，MDB=DC,求点。的坐标；

(4)在(3)的条件下，直线BO上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若

存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)4；(2)垂直；(3)D(-2A/3,1)；(4)P(-373,0),(—6，2),(-3,3-73),(3,

3+y/3).

【分析】(1)解出方程后，即可求出8、C两点的坐标，即可求出8c的长度；

(2)由4、B、C三点坐标可知。42=0。0&所以可证明△AOCs/XBOA,利用对应角相等即可求出/

048=90。；

(3)容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点。在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1,

将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；

⑷A、B、尸三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②A乐BP；③AP=BP；

然后分别求出尸的坐标即可.

【解析】(1)VX2-2X-3=0,；.X=3或X=-1,：.B(0,3),C(0,-1),：.BC=4；

(2)VA(.-陋,0),B(0,3),C(0,-1),08=3,OC=1,OA2^OB-OC,：NAOC二

ZB(?A=90°,：.^AOC^/\BOA,：.ZCAO=ZABO,：.ZCAO+ZBAO=ZABO+ZBAO=90°,：.ZBAC=90°,

：.AC±AB；

f——l=b

(3)设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(—y/3，0)和C(0,-1)代入y=kx+b,s「，

0二-限+b

k=—昱6

解得：\3，；•直线AC的解析式为：＞1,•••D8=DC，.•.点。在线段BC的垂直平分线

3

》=—1

上，.•.£)的纵坐标为1,...把y=l代入y=-点的坐标为(一1)；

(4)设直线BD的解析式为：y=mx+n,直线BD与x轴交于点E,把8(0,3)和-2^3,1)代入y=mx+n,

机=9,...直线8。的解析式为：y=gx+3,令y=0代入y=gx+3,

〃二3

「・vL，解得：＜

1=—273m+n

n=3

：.x^-3^3,：.E(-3A/3,0),3A/3,：.tanZBEC^—^—,：.ZBEO^3G°,同理可求得：乙48。=30°,

OE3

：.NABE=30°.

当时，如图1,此时，ZBEA=ZABE=30°,：.EA=AB,与E重合，的坐标为(一3港，0)；

当孙=PB时，如图2,此时，ZPAB=ZPBA=30°,VZABE=ZABO=30°,：.ZPAB=AABO,J.PA//BC,

**•^PAO=90°J;・点尸的横坐标为一令产一代入y=+3,.二y=2,P(—y/3,2)；

3

当P8=A8时，如图3,...由勾股定理可求得：AB=2G，EB=6,若点尸在y轴左侧时，记此时点P为尸i，

Fp

过点尸1作PiELx轴于点尸，."|8=43=23，，EPi=6-2g,；.s加NBEO=—.MP|=3—君，令

ER

>=3-6代入y=+3,・，・x=-3,・••尸1(-3,3-6)；若点P在y轴的右侧时，记此时点尸为尸2,

过点Pi作P2G±X轴于点G,：.P2B=AB=28，,EP,=6+26，；.sinZBEO=空,：.GP2=3+JL令

EP2

y=3+^/^代入y=^^x+3,.*.x=3,••Pi(3,3+^/5).

综上所述，当A、2、尸三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为(-3百，0),(-6,2),(-

•2/.廨到——预测提升

1.为了提高身体素质，有些人选择到专业的健身中心锻炼身体，某健身中心的消费方式如下：

普通消费：35元/次；

白金卡消费：购卡280元/张，凭卡免费消费10次再送2次；

钻石卡消费：购卡560元/张，凭卡每次消费不再收费.

以上消费卡使用年限均为一年，每位顾客只能购买一张卡，且只限本人使用.

（1）李叔叔每年去该健身中心健身6次，他应选择哪种消费方式更合算？

（2）设一年内去该健身中心健身尤次（尤为正整数），所需总费用为y元，请分别写出选择.普通消费和白金

卡消费的y与x的函数关系式；

（3）王阿姨每年去该健身中心健身至少18次，请通过计算帮助王阿姨选择最合算的消费方式.

、[280（%<12）

【答案】（1）选择普通消费方式；（2）y普通=35x,y日金卡=<；（3）当18W烂19时，选择白

[35%-140（%>12）

金卡消费最合算；当％=20时，选择白金卡消费和钻石卡消费费用相同；当於21时，选择钻石卡消费最合

算.

【分析】（1）根据普通消费方式，算出健身6次的费用，再与280、560进行比较，即可得出结论；

（2）根据“普通消费费用=35x次数”即可得出y普通关于尤的函数关系式；再根据“白金卡消费费用=卡费+超

出部分的费用”即可得出y百金卡关于x的函数关系式；

（3）先算出健身18次普通消费和白金卡消费两种形式下的费用，再令白金卡消费费用=钻石卡消费的卡费,

算出二者相等时的健身次数，由此即可得出结论.

【解析】⑴35X6=210（元），2岫<28（X560,...撇叔酒普通消费方式更合算.

Q）根据题意得：

当W12时,>““=28（h当苏时，）“铲280+3512）=15%-140,

[35x-140（x>12）

（3）0=18时，y«=35X35X18-140=490.

令y”产560,即35x-140=560,解得：A20.

当1841时，选捺白金卡消费最含篡；当1=20时，选搔白金卡消费和钻石卡消费费用相同；当令21

时，选择钻石卡消费最合算.

考点：一次函数的应用；分段函数；方案型.

2.公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，，已知每辆甲种货车一次最

多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元

（1）设租用甲种货车无辆（尤为非负整数），试填写表格.

表一：

租用甲种货车的数量/辆37X

租用的甲种货车最多运送机器的数量/台135

租用的乙种货车最多运送机器的数量/台150

表二:

租用甲种货车的数量/辆37X

租用甲种货车的费用/元2800

租用乙种货车的费用/元280

（2）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由.

【答案】（1）表一：315,45x,30,-30x+240；表二：1200,400x,1400,-280x+2240；（2）甲种货车6

辆，乙种货车2辆.

【分析】（1）根据计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用

为400元，每辆乙种货车一次最