湘豫联考2024届高三年级下册第四次模拟考试数学试题（解析版）

湘豫名校联考2024届高三下学期第四次模拟考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.在复数范围内方程f—2x+2=°的两个根分别为4,则上+2七|=（）

A.1B.亚C.77D.反

［答案XD

k解析X根据题意可得（尤—1）2=—l=i2,

：.x-l=±i，即x=l±i,

当玉=l-i,々=l+i时，xi+2%2=3+i,

77

,-.|%1+2%2|=71+3=710，

x

当王=l+i,%2=1—i时，i+2X2=3-i,

22

；+2X2|=A/1+3=y/10，

综上，|%+2w|=

故选：D.

2.已知集合4=卜6郎2%—14)(x—5)K0},B={xeZ|2x>100},则Ac(集B)=

()

A,{4,5,6,7}B.{4,5,6}C.{5,6,7}D,{5,6}

(答案》D

K解析工因为A={xeN|(2x—14)(x—5)K0}={无eN|5Kx<7}={5,6,7},

B={XGZ|2X>100}={XGZ|X>7},所以(&5)={xeZ|x<7),

所以A「&5)={5,6}.

故选：D.

xy2

3.己知椭圆E:j+=1（。＞人〉0）与矩形ABCD的四条边都相切，若Afi=4,

a~

AD=2,则E的离心率为（）

（答案』A

K解析』由椭圆的对称性可知AB=2。=4,AD=2b=2,则〃=2,b=l,

所以c=A/3，

所以E的离心率为e=f=Y3,

a2

故选：A.

I，则sin]2"T

4.已知sin0+—）

51

B.D.

999

（答案』C

k解析Usin卜8—g）=sin2（+

=-cos2=sin2^0+-1=2x-1=,

故选：C.

5.在某次游戏中，甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.己知甲、乙中靶

的概率分别为0.5,0.4,且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概

率为（）

[答案工B

k解析1设事件A=“甲中靶"，3=“乙中靶"，C="弓箭靶被射中”,

则尸（A）=0.5,P（B）=0.4,所以P（晶）=0.5x0.6=0.3,

P（AB）=0.5x0.4=0.2,P（AB）=0.5x0.4=0.2.

所以P（C）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=0.3+0.2+0.2=0.7.

所以p（9|c）=[^=g|=T-故选：B-

6.如图，A,3和C,。分别是函数/（》）=25皿0%+小（。＞0）图象的两个最低点和

两个最高点，若四边形A5CD的面积为8兀，且/（可在区间—,a上是单调函数，则

实数a的最大值是（）

137r7兀-5兀

A—B.——C.—D-T

6126

K答案』c

K解析》由题意，得四边形ABCD为平行四边形,且|AB|=2T=2x」，

CD

且AB与C£>之间的距离为4,贝U4x2x”=8兀，

解得CD=2,

CO

]JJiJ/(x)=2sin12x+W),

7TJLJL

令----F2kli<2xH—V—\-2klikeZ,

262f

兀兀

角毕得----Hkit«尤《—\-kit,左wZ,

36

2兀7兀

所以当左=1时，—<x<^,

36

2兀77T

即函数/（X）在上单调递增,

3712兀7兀3兀3兀7兀

又力,所以~r^a之

T，-6"4~7'~6

则——,即々的最大值为—,

466

故选：C.

7.已知函数/（X）=log3（32x+1）一无，则满足了（2x—l）>/（x）的x的取值范围为

-oo,iL

A.(1,+8)B.(L+8)

3

D.(-oo,-|ju(l,+oo)

C.

K答案』B

2X

K解析】由题意得，/（%）的定义域为R,/（%）=log3（3'+1）-%=log3（3+）,

因为/（r）=log3（3-"+3*）=/（x）,

所以/（x）为偶函数，

当xNO时,令〃（力=3*+3-，，则M（x）=（3，—3T）ln3,

因为＞=3,和y=—3-x在［0,+8）上单调递增，所以〃'（无）2"'⑼=0,

所以M（尤）在［0,+8）上单调递增，

所以/（x）在［0,+8）上单调递增.

由/（2尸1）＞/（力，得川2%—1|）＞/（国），所以|2xT|＞国，

两边平方并整理，得3必—4%+1＞0,解得xe［—8,；］u（l,+s）.

故选：B.

8.中国古代建筑中重要的构件之一一柱（俗称“柱子”）多数为木造，属于大木作范围，

其中，瓜棱柱是古建筑木柱的一种做法，即木柱非整根原木，而是多块用樟卯拼合而

成.宁波保国寺大殿的瓜棱柱，一部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周围，

根据需要再用若干根一定厚度的木料包镶而成的柱子，图1为“包镶式瓜棱柱”，图2为此

瓜棱柱的横截面图，中间大圆木的直径为2R，外部八根小圆木的直径均为2r，所有圆木

的高度均为〃，且粗细均匀，则中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为（）

图1图2

A.‘4+2&-1B.4+2应-2“+20

C.3D.5+20-2—+20

K答案UD

［解析X八根小圆木截面圆的圆心构成一个正八边形，边长为2厂，

77

相邻两根小圆木圆心与大圆木圆心构成一个底边长为2厂，腰长为H+厂，顶角为二的等腰

4

三角形，

根据余弦定理，得“=2（R+小阳+心孝,解得

所以中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为:

^3=冬=（"+2应—1）2=5+2应-2”+2g.

Kr-hr

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知〃为实数，随机变量X~N（1Q2）,且尸（X<〃7）=P（XN7Z）,贝|

（）

A.mn<lB.2加+2">4

c.nr+rv<2D.-+->2

mn

K答案1AB

K解析X因为随机变量且P（X<m）=P（XN7z）,

由正态曲线的对称性，可得机+〃=2,因为相

所以相〃<［生产］=［|］=1,故A正确；

2m+2">212m2=23+"=4，故B正确；

2（m2+n2）>（m+n）2=4,即加2+“2>2，故c错误；

112

由于当m=一1,"=3时，满足利+〃=2,但是—F—=—<2,故D错误.

mn3

故选：AB.

10.已知四棱锥P—ABCD的底面A8CO是边长为4的正方形，PAL^ABCD,且

PA=4,E,F,G分别为尸8,PD,8c的中点，点。是线段抬上靠近点P的四等分

点，贝I（）

A.EG//平面产。

B.直线EG与AB所成的角为30。

C.EQ//FG

D.经过E,F,G的平面截四棱锥尸-A5CD所得到的截面图形的面积为5卡

K答案］ACD

K解析』因为EG是APBC的中位线，所以EG〃PC,

又EG<Z平面PCDPCu平面PC。，所以EG//平面PC。，A正确.

如图，取出的中点M,连接ME,BM,则9W=AM=2,MF11AD且MF=2.

因为5G//AD且BG=2,所以MF7/BG且=

所以四边形为平行四边形，所依BMI/FG,

所以/M8A或其补角即为直线FG与AB所成的角.

由E4,平面ABC。，ABu面ABCD,得

「、，八fAM21

因为tanNMBA=-----=—=—

AB42

所以尸G与A8所成角的正切值为工，B错误.

2

由题意，得。是的中点，

所以EQ//BM,又MBI/BG,所以EQ//FG,C正确.

显然E,G,F,。四点共面，取。的中点”，连接FH,GH,

可得四边形EG//F为平行四边形，所以E,G,H,尸四点共面，

所以E,G,H,F,。五点共面，即五边形EG麻。即为所求的截面.

设ACnGH=T,则QT//PC,且QT=>PC=>义4相=36，

44

EG=-PC=2A/3,GH=-BD=2yf2.

22

由题意及线面垂直的性质有F4L5D，AC1BD,上4口4。=4且都在面丛。，所

以8Z）_L平面PAC.

而PCu面PAC,所以BDLPC,又BDIIGH,EG//PC,

所以EGJ_GH,

所以S五边形EGHFQ=EGxGH+gEFx（QT—EG）

=26*2行+gx20（3G—28）=5#,D正确.

故选：ACD.

BGC

11.已知抛物线c：y2=2pMp>0）,点A（l,2）为c上一点，直线/与工交于-C两点

（异于A点），与x轴交于M点，直线AC与A3的倾斜角互补，则（)

A.线段BC中点的纵坐标为—2

B.直线/的倾斜角为一

4

C.当|“8卜||©=忸。|时，加点为7的焦点

D.当直线/在y轴上截距小于3时，AABC的面积的最大值为98

9

（答案UABD

K解析》

将4（1,2）代入：/=2内，可得。=2,所以7的方程为y2=4x,焦点为（1,0）,

k=2一.=2一弘=4

设网玉玉wl,。（々,％），兀2，则AB1-x,1y；2+%,

1------

4

4

同理做c=

2+%

因为直线AC与AB的倾斜角互补，所以左.+七c=0，

416+4(%+%)

即=0，解得％+为=T，且为%/4,

2+乂4+2(%+%)+%%

所以BC中点的纵坐标为—2,A正确.

k_弘一%一Hi一4

因为£_片—必+当.

44

所以/的倾斜角为了，B正确.

4

设贝I/的方程为1=一丁+加，

,fy2=4%,,

由《，得+4y-4/n=0.

x=-y+m

根据/=16（l+m）＞0,解得加＞一1,所以%+%=-4,%%=-4机，

则|BC|=A/2I%-%I=夜x\J16+16m=4血x-Jl+m,

|知8卜阳。|=夜闻•夜昆|=2|弘%|=8，斗，所以4夜x"Z荷=8帆，

解得加=-；或m=1,即M点不一定为7的焦点，C错误.

当/在y轴上的截距小于3时，即一1<〃2<3.

|3-m\

因为点A至I"的距离为

A/2

所以VABC的面积为

S=—xJx4&J1+一=2x|3-m

、1

2V2

设函数〃（根）=（1+根）（根—3）2,-l<m<3,则=（3m—3）,

令”（加）=0,得机=；或加=3（舍去）.

当加£[—1,；）时，〃（间>0，人（m）在上单调递增；

当加时，/zr（m）<0,/z（m）在（gn]上单调递减，

所以根=；时，刈m）取得最大值署，所以s的最大值为岑i,D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知向量商=（6"），^=（0,-1）,若方在方上的投影向量为—B，则X的值为

K答案51

k解析】由题得不在B上的投影向量为

呼I叫/"一力r\）用b=i同a-b丽b同a-=b呵b/=r'

所以万石=—卜『,又@4=6><0+/1乂（-1）=_/1,_怀=_1,

所以—丸=—1,解得4=1.

13.设S,是各项均为正数的等比数列｛%｝的前〃项和，若畜=10,则也

k答案H13

K解析不设数列｛4｝的公比为q,由题意，显然q>0,q>0且qwl,

.(7)

则&=—J—q=l+q2"=10,解得q"=3,

Sin/(1一»")

i—q

"1”)

所以基—口^=1+/+/=1+3+9=13.

S.a\(1-Qn)

「q

2—1”[0,1)

)的图象在区间〃〃〃内的最

14.已知函数/（九）=<^-l,xe[l,2[2—2,2](eN*)

2/(x-2),xe[2,+oo)

高点对应的坐标为（怎,％），则集合｛^|yk=xm+l,l^m<1000,左wN*,mwN*｝中元素

的个数为.

k答案》10

K解析工作出函数y=/O）在区间［0,2）上的图象，

如图，根据函数的单调性，此时/（4）__=/（1）=1.

又当x22时，/(%)=2/(%-2),所以当xN2时，/(x)=1/(x+2),

部分函数图象如图，由图象可得占=1,々=3,%=5，…，X"=2n-1,

7=1kl

J11>%=2，y3=4,...,yn=2",即2—2m>

即加=21仁[1,1000],

解得2K表K1L即左=2,3,4,10,11,

故集合｛4%=5,+l,l<%<1000,左eN*,"eN*｝中的元素个数为^—2+l=10.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

,B

15.已知△A5C的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,且2asinbcosA=c-b.

2

(1)证明：a+b=2c；

(2)若B=3,△ABC的面积为求

(1)证明：由已知，得a(l—cos5)-》cosA=c-〃，

由正弦定理，得sinA(l-cos5)-sin5cosA=sin。一sin5,

即sinA+sinB—(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

即sinA+sinB—sin(A+B)=sinC.

由A+5+C=7C,得sin(A+5)=sinC,

所以sinA+sin6=2sinC.由正弦定理，得Q+Z?=2C.

(2)解：因为SAA”==所以ac二16①.

由余弦定理，b2-a2+c2-2accosB，BPb2=a2+c2-ac-

由(1),得人=2c-a,所以a?+402-4ac=q2+。2一a。，

化简，得。=。，代入①，得c=a=4,所以6=4.

16.如图，在三棱锥P—ABC中，平面K4CL平面P3C,APAC和VABC均为等腰直

角三角形，且PA=PC=、/5，PB=4^.

U)证明：平面ABC,平面PAC；

(2)设乔=彳丽，0<2<1,若平面与平面夹角的余弦值为巫，求实数

15

4的值.

(1)证明：由题意，得PCLE4,所以AC=JPA2+pc2=J(亚『+(应y=2.

因为平面？ACJ_平面P3C,且平面PACA平面PBC=PC,Q4u平面PAC，

所以QAJ_平面P6C,

因为P5u平面P6C,BCu平面P3C,所以PALBC.

所以AB?=PA2+依2=8，即A8=2后.

又因为VABC为等腰直角三角形，AC=2＜AB,

所以AC=5C=2,AC±BC.

因为Q4u平面PAC,ACu平面丛C,PAAAC=A,所以5C,平面PAC,

又因为5Cu平面ABC,所以平面ABC，平面。AC.

(2)解：取AC的中点。，A8的中点E,连接尸O,0E,

则OE/ABC,AC1PO,所以ACLOE.

由(1)知平面ABC_L平面。AC,

因为平面A8CD平面B4C=AC,POu平面PAC,所以尸平面ABC.

因为OEu平面ABC,所以POLOE,

如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，

则P(O,O,1),4(—1,0,0),5(1,2,0),C(l,0,0).

所以Q=(l,0,l)，BP=(-1,-2,1),AC=(2,0,0).

由丽=ABP=(-2,-22,2),得/(1—42—2/1,⑷，

所以/=(2-42-2/1㈤.

设平面B45的法向量为沅=(Xi，X，zJ,

m-AP=0石+马二0

则一即＜

m-BP=0一石—2y+Z]=0

令X]=1,则平面E4B的一个法向量为沅=(1,T,T).

设平面ACF的法向量为«=(x2,y2,z2),

n-AF=0(2—X)x?+(2—24)%+入Z]—0

则〈—,，即＜

n-AC=02X2=0

令%=X,则平面ACF的一个法向量为n=(0,2,22-2).

设平面PAB与平面ACF的夹角为。，

八I।|沅词|2-32|V15

则cos0=cosm,n\=匕匚［=——,==――,

网|〃|A/3X7522-82+415

14

整理，得10X2—13/1+4=0,解得4=5或

14

所以4的值为一或一.

25

17.连续抛掷一枚质地均匀的骰子”(nwN*)次，第左(左〈〃次wN*)次抛掷落地时朝上的

点数记为ak,akG{1,2,3,4,5,6).

(1)若”=4,记出现为为奇数的次数为X,求随机变量X的分布列和期望;

(2)若巩=5,求事件“qV4+1(，=1,2,3,4)”的概率.

解：(1)由题易得，抛掷一枚骰子1次，出现如为奇数的概率为;,

出现％不是奇数的概率也为;，X的可能取值为0』,2,3,4.

因为p(x=o)=c；1P（X=l）=C>|x

2J162（04-

P(X=2)=C：x]；=|？，（X=3）=C；x4

P(X=4)=C：x[]

所以X的分布列为

X01234

1j_311

P

1648416

所以石（乂）=0><l+1乂,+2X3+3><工+4*^-=2.

V,1648416

(2)记事件A为事件“弓＜q+1«=1,2,3,4)”，则事件A包含以下5种情况:

①抛掷5次出现的点数相同，有6种可能；

②抛掷5次出现的点数有2个数字，有4xC；=60种可能;

③抛掷5次出现的点数有3个数字,有6xC：=120种可能;

④抛掷5次出现的点数有4个数字,有4xC：=60种可能;

⑤抛掷5次出现的点数有5个数字,有Ct=6种可能,

6+60+120+60+67

所以尸（A）=

65216

7

即事件4+1(i=1,2,3,4)”的概率为力.

216

V2

18.己知。为坐标原点，双曲线。：二=1（。＞0］〉0）的左、右焦点分别为6,

a"下

F2,过C上一点P作C的两条渐近线的平行线，分别交y轴于N两点,且

=1,AF,PF2内切圆的圆心到y轴的距离为上.

（1）求C的标准方程；

（2）（i）设点Q（x0,%）为C上一点，试判断直线中—y%=l与C的位置关系，并说

明理由；

（ii）设过点K的直线与C交于A,8两点（异于C的两顶点），C在点A,8处的切线

交于点E,线段AB的中点为。，证明：。，D,E三点共线.

解：⑴

如图所示，

22

设尸（X?,力），则—=1,

ab

b

不妨设直线PAY方程为=—（x-%），

A

则直线PN的方程y—力=——（x-xP）.

a

令x=0,得Af

则QMHQV卜=b2=1.

设8的内切圆（圆心为分别与尸耳，PF2,切于点R,S,T,

则2a=|附|-忸同=|附+|即卜陷-陷日股|-|S同=||第-附

所以T为C的顶点，所以/T,九轴，/的横坐标为土。，所以a=G，

2

%?+6XQX—9—9y：=0,

结合看一3y；=3,得/_2%o%+%；=0,所以A=4%；—4x；=0.

所以直线号—)%=1与C相切.

(ii)由题易得直线A8的斜率不为0,

设直线的方程为矛=少+2,代入土—；/=1,

3-

/、[产一3/0

得(广—3)y2+4?+i=o,其中，

'7[A=16?-4(Z2-3)=12r+12>0

、-4t1

设8(%2，、2)，则X+y^2~~~~-,

t—Jt—5

x1+x2=t(yl+y2)+4=--^-,

It

t1—3

由（i）,C在点A,8处的切线方程分别为（—=（—%y=L

两个联外彳叮-3（%-%）3（%-一）3（%-y）一3

两式联立，行工——77_777\一—，

七（。1+2）%-（例+2）%2（%-X）2

M-2)#-々)二,即小"],

3(%-%)3(%-%)21J

所以k（）E=§=kfjD，

故。，D,E三点共线.

19.在平面直角坐标系。孙中，定义：如果曲线C］和C?上分别存在点"，N关于x轴

对称，则称点M和点N为G和C2的一对“关联点”.

（1）若G：/+盯+/=6上任意一点P的“关联点”为点。，求点0所在的曲线方程和

|。升+|。。|的最小值；

⑵若。1：（f+力2=4孙2"“>0）上任意一点5的“关联点”为点丁，求⑹刀的最

大值；

（3）若G:y=21nx—2融和Q:y=1—（a+在区间（0,+8）上有且仅有两对“关联

点”，求实数”的取值范围.

解：（1）设点。（无,丁），则点。的“关联点”为尸（无,一y）,

代入/+冲+/=6,得了?+%（_y）+（_y）2=6,即/-孙+丁=6,

所以点Q所在的曲线方程为必-孙+V=6;

根据对称性，|。。|=,则\OP\+=2|00|=2&2+/,

由彳2—肛+y2=6,

2222

又xyN-X7,得.+/_6=盯2」7,即必+>2之4,

当且仅当无=—y且x2—孙+/=6,

即x=，丫=-0或%=—J^，y=&时取等号.

故当X=A/^,y=-①或x=-亚，y=行时，(|°H+1°。|).=4；

(2)设S(羽y),则根据对称性，得|ST|=2|y|,

x2+j2=m2(m>0),x=mcos0,y=msin^—<0<—\,

代入优+V)=4xy2,得力=4cos6sin2。，

所以y=msin61=4co