2024-2025学年北京某中学高三（上）诊断数学试卷（10月份）（含答案）

2024・2025学年北京交大附中高三(上)诊断数学试卷(10月份)

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U={%|-2<%<2},集合Z={%|-1<%<2],则QZ=()

A.(-2,-1)B.[-2,-1]C.(-2,-1)U{2}D.[-2,-1)U{2}

2.已知命题p：就+2%o+。40是假命题，则实数Q的取值范围是()

A.(-8,1]B.[1,+oo)C.(-00,1)D.(1,+oo)

3.在中，(a+c)QsinA-sinC)=b(sinA-sinB),则=()

A.?B.?C.券D.普

6336

4.设Q=203,b=sin28°,c=ln2,贝1j()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

5.把函数y=s讥x的图象向左平移5个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的右纵坐标不变，

则所得函数图象的解析式为()

A.y=sin(§+§)B.y=sm(§+§)C.y—sin(3x+§)D.y-sin(3x+§)

6.函数/(%)=cos(x+a)+sin(x+b),则()

JT

A.若a+6=0,则/'(x)为奇函数B.若a+b=2，则/'(久)为偶函数

TT

C.若b-a=5，则/'(X)为偶函数D.若a-6=7T,则/'(久)为奇函数

7.已知函数/'(久)=log2x-x+1,则不等式/'(久)<0的解集是()

A.(1,2)B,(-00,1)U(2,+oo)

C.(0,2)D.(0,1)U(2,+8)

8.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生

物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚

下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t(单位：

分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+初一击。GR)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要

的时间t(单位：分钟)的最小整数值为()

(参考数据》2~0,693,ln3-1,098)

A.5B.7C.9D.10

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9.若y=/（久）为定义在D上的函数，且D关于原点对称，则“存在为6D,使得［/（—右）］2力［/（血）］2”是

“函数y=/（吗为非奇非偶函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D,既不充分也不必要条件

10.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sn+Sn+i=n2,则下列四个结论中正确的个数是（）

@a7i+2-an=2；

②若的=0,贝^50=1225；

③若的=1,则$50=1224；

④若数列｛a„｝是单调递增数列，则的的取值范围是（-公）.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数/'（X）=力+伍乂的定义域是.

12.在平面直角坐标系久Oy中，角a以。x为始边，终边经过点P（l,-2）,贝!J

tan2a=./\

13.已知函数/（%）=2s讥（3%+9）的部分图象如图所示.7\\

①函数外幻的最小正周期为；7OT\T

②将函数f。）的图象向右平移t（t>0）个单位长度，得到函数9（K）的图象.-I”

若函数g（x）为奇函数，则t的最小值是.

14.已知/（无）=X+?-2,其中a>0.若"％G（0,+oo）,/（x）>0,贝!Ja的取值范围是；若

SxG［1,2］,f（x）>2,贝b的取值范围是.

15.已知函数/'（久）=\a+sin（x+^）|,给出下列四个结论：

①任意a£R,函数/（久）的最大值与最小值的差为2；

②存在aGR,使得对任意xeR,f（x）+/（TT-X）=2a；

③当a=0时，存在re（0,7）,xoeR,使得对任意nez,都有人为）=/（K0+nr）；

④当a大。时，对任意非零实数x,/（%+^）

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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16.(本小题13分)

cos2x

已知函数/(%)=2sinx+

sinx+cosx

①求f(0)的值;

(n)求函数/(无)在［0为上的单调递增区间.

17.(本小题14分)

已知sn为数列｛aj的前71项和*满足％=2%1-1,nCN*为列｛bn｝是等差数列,且比,=一的,b2+b4

=-10.

(I)求数列｛即｝和｛%｝的通项公式；

(n)求数列｛斯+向｝的前ri项和土；

(III)设Cn=a1•CI3...a2n_1，且。„=4096,求n.

18.(本小题14分)

在△ABC中，bsinA-acos-=0.

(I)求NB；

(II)若6=3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使△4BC存在且唯一确

定,求a及△4BC的面积.

条件①：sinA+sinC—2sinB；

条件②：c=避；

条件③：ac—10.

注：如果选择的条件不符合要求，第(H)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答

计分.

19.(本小题14分)

已知函数/(久)=x3+x2+ax-l.

①当。=一1时，求函数/(x)的单调区间；

(II)求证：直线y=ax-下是曲线y=/(x)的切线；

(IH)写出a的一个值，使得函数/(%)有三个不同零点(只需直接写出数值)

20.(本小题15分)

已知函数/'(久)=mxlnx—x2+l(mER).

①当爪=1时，求曲线y=f(久)在点(1)(1))处的切线方程；

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(II)若/O)wo在区间[1,+8)上恒成立，求ni的取值范围；

(in)试比较"4与"的大小，并说明理由.

21.(本小题15分)

数列｛册｝有10。项，ai=a，对任意九E[2,100],存在斯=七+0，iW[l,n-l],若纵与前几项中某一项相

等，则称的具有性质P.

(1)若。1=1,d=2,求。4可能的值；

(2)数列｛时｝中不存在具有性质尸的项，求证：｛册｝是等差数列；

(3)若｛册｝中恰有三项具有性质P,这三项和为C,使用a,d,C表示@1+。2+…+。100.

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参考答案

l.D

2.D

3.B

4.B

5.C

6.B

l.D

8.B

9.A

10.C

ll.(0,l)U(l,+8)

12-

,3

13

LJ-28

14.{a|a>1]{a\a>3]

15.②

16.解：(1)/(0)=2s出0+.n=l；

八/sinO+cosO

(II)vsinx+cosxW0,

故％H/C7T-^,

即函数的定义域是{%|%kn-^,kGz},

cos2x

/(%)=2sinx+

sinx+cosx

cos2%—si/%

2sinx+

sinx+cosx

=sinx+cosx

=避sin(%+%

A.c1兀7TTC

^2/CTT—7N<x+47<2kn+77Z,

解得：2/c7r-^<x<2kn+7,kEz,

44

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令k=0,得一竽4％

,71

XH/C7T—7，

TTTT

.•■/(X)在区间［0司上的递增区间是(0,》

17.解：(I)当?i=l时,Si=2国—1=的得的=1,

当九》2,neN*时，Sn_i=2即_1-1①，

由已知Sn=2即一1②，

②一①得an=2即-2an_i，

所以即=2册_1，

所以数列｛斯｝为等比数列，且公比为q=2,

n-1n-1

因为的=1,所以an=Gtiq=2(nGN*)；

设数列｛%｝公差为d,

b1=-1,Z?2+力4=(历+d)+(b+3d)—2bl+4d=-10,

由拗工22'=-5得4=-2,

所以勾=历+(n—l)d=-1+(n—1)x(—2)=—2n+l(nGN*)；

n1

(II)设c九=an-\-bn=2~+(-2n+1),

前ri项和〃=(1+2+4+--+2九T)—2x(1+2+3+…+荏)+n

=2n—n2—1.

2n2n(2n-2)

(III)Cn=a1•的….a2n-i=1X4X16X...x2-=2i=2小一九,

由C九=4096,即2*-九=212,

可得足—九=12,解得九=4(—3舍去).

18廨：(I)由正弦定理得sinAsiziB—s讥0,・•.sinB-cos^-=0,

BP2sm-^cos^—cos-^=0,

因为所以acos^wO.

二匚［、］.81B7171

所以SH15=2，2=69B=三.

(II)选条件①：sinA+sinC=2sinB.

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因为b=3,8=§,sinA+sinC=2sinB.

由正弦定理得a+c=2b=6,由余弦定理得9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac

解得ac=9.

ABC=^acsinB=挛・

/4

由｛片二七6,，解得a=3.

选条件②：C=4.

已知8="=34=由正弦定理得sinC=*sinB=p

因为c<b,

所以C=(，Z=与a=yjb2+c2=2番.

所以=额。=与工

选条件③：CLC=10,由余弦定理得9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,即a+c=J药,

所以a(V^—a)=10,gpa2—+10=0,因为(V^)?—4x10=—1<0,

所以不存在a使得△ABC存在.

19.解：(I)函数/(%)的定义域是R,

当a=-1时，/(%)=%3+%2—%—1,

故/'(%)=3%2+2%—1,

令/'(%)=。,解得：x=-1或《，

当%变化时，/'(%),/(%)的变化如下：

11

X(-00,-1)-1(彳+8)

3

f'(X)+0—0+

f(x)递增极大值递减极小值递增

故函数/(%)在(-8,-1),(1勺+8)递增，在(一151);

(II)v('(%)=3%2+2%+a,

令/'(%)=a，解得：X=0或一§,

/(0)=-1,直线y=a%一万不经过(0,-1),

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EL2、_223

而/(一§)=铲一切

故曲线y=/(X)在点(一步(一刍)处的曲线为y—(-弓a—•ll)=

OOD乙/O

化简得：y=a比一H，

故无论a为何值，直线y=以一||都是曲线y=/(x)在点1))处的切线;

(III)取a的值为-2,

这里a的值不唯一，只要取a的值小于-1即可.

20.解:(I)当m=1时,/(x)=xlnx—x2+l,函数定义域为(0,+8),

可得「(久)=Inx+1—2%,

此时((1)=一1,

又(fl)=0，

所以曲线八支)在点(1/(1))处切线的方程为y=-(x-1),

即久+y—1=0；

(ID若/(X)W0在区间［1,+8)上恒成立，

1

此时m仇%—%+(<0在区间［1,+8)上恒成立，

.、1

不妨设g(%)=mlnx-x+-,函数定义域为［L+8),

—T4S，/、m41—X2+mx—1

可得g(久)=以一1一杀=一/一，

当m<0时，mx<0,

所以g'Q)<0,g(x)单调递减,

此时g(x)Wg(l)=0,符合题意；

当加>0时，

不妨设九(久)=—X2+mx-l,

易知在方程一%2+爪％一1=0中，A=m2-4,

若4<0,即0<mW2时，h(x)<0,

所以g'(x)<0,g(x)单调递减,

则。(久)wg(D=0,符合题意，

若/>0,即爪>2时，

777

函数旗久)是开口向下的二次函数，对称轴％=万>1,

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又八⑴=m—2>0,

此时方程一/+mx-l=0的大于1的根为久O=叱等3,

当<%o时，h(x)>0,“(久)>0,g(%)单调递增；

当%>%o时，h(x)<0,g'(x)<0,g(%)单调递减,

所以g(%)>,g(l)=0,不符合题意，

综上，满足条件的实数血的取值范围为(-8,2]；

(III)由(II)知，当m=2时，/(%)40在区间[1,+8)上恒成立,

此时2%<%2-1在区间[1,+8)上恒成立，

当久="时，2"ln"vl,

整理得仇4<72.

21.解：(1)根据题意得数列｛册｝有100项，ai=a,

并且对任意九e