2024-2025学年湘教版初中数学八年级（上）教案 第3章 实数

第3章实数

3.1平方根

第1课时平方根与算术平方根

教学目标教学反思

i.了解平方根和算术平方根的概念；明确平方根和算术平方根之间的联系和区

别；会用根号表示一个数的平方根和算术平方根.

2.通过学习了解平方和开平方是互逆运算，会进行简单的开平方运算.

教学重难点

重点：平方根和算术平方根的概念和性质.

难点：平方根与算术平方根的区别与联系.

教学过程

导入新课

【问题】某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8平方米，刚好用去正方形的

地垫30块.你能算出每块地垫的边长是多少吗？

（学生探讨，回答问题）

【解】每块正方形地垫的面积是

10.8^30=0.36（平方米），

即边长x边长=0.36.

由于0.6?=0.36,

因此面积为0.36平方米的正方形地垫的边长是0.6米.

由此引入平方根的概念.

探究新知

1.平方根：如果有一个数厂，使得，=。，那么我们把厂叫作。的一个平方根,

也叫作二次方根.

例如，由于22=4,所以2是4的一个平方根.

【问题】4的平方根还有其他数吗？

（学生回答问题，引导发现一个正数的平方根有2个，且它们互为相反数）

由于（-2）2=4,所以-2也是4的一个平方根.

老师给学生举例，除了2和-2,4没有其他的平方根.

结论：如果r是正数。的一个平方根，那么。的平方根有且只有两个：r与-r.

2.算术平方根：正数。的正平方根，叫作。的算术平方根，记作读作“根

号〃

3.平方根的表示方法

一个正数a的正平方根，用表示，。叫作被开方数，正数。的负的平方

根用表示，所以正数。的平方根合起来记作土血,读作“正、负根号

4.平方根的性质

【问题】(1)16的平方根是什么？教学反思

(2)。的平方根是什么？

(3)-9有没有平方根？

(请学生自己也编3道题目，同桌交换解答，你发现了什么？)

通过“交流”让学生自己发现结论，教师再加以总结.

【归纳】(1)一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

(2)零只有一个平方根0；

(3)负数没有平方根.

【问题】平方根与算术平方根有哪些联系与区别？

【归纳】联系：1.平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种;

2.只有非负数才有平方根和算术平方根；

3.0的平方根是0,算术平方根也是0.

区别：1.一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根；

2.平方根表示为士前，而算术平方根表示为

5.开平方：求一个非负数的平方根的运算叫作开平方.

通过进行平方和开平方运算，引导学生认识到开平方是平方的逆运算.

例1分别求出下列各数的平方根：

25

(1)36,(2)—,(3)1.21

9

解：(1)由于6?=36,

因此36的平方根是6与-6.

即土=+6.

25

(2)由于

~9

因此竺的平方根是9与—9.

933

(3)由于1.12=1.21,

因此1.21的平方根是1.1与T.L

即±d=±l.l.

例2分别求出下列各数的算术平方根.

100,—,0.49

25

4

解：10,—,0.7

5

课堂练习

1.后的算术平方根是()

A.+3B.3C.士百D.垂＞

教学反思

2.（-11）2的平方根是（）

A.121B.llC.+llD.没有平方根

3.判断下列说法是否正确：

（1）+1的平方根是1.

（2）1的平方根是1.

（3）-25的平方根是±5.

（4）^/324=±18.

（5）9是（-9）2的算术平方根.

4.已知某数有两个平方根分别是a+3与2a-15,求这个数.

参考答案

l.D2.C3.（1）错（2）错（3）错（4）错（5）对4.49

课堂小结

1.平方根：如果一个数的平方等于。，那么这个数叫作a的平方根.

（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

（2）零只有一个平方根0；

（3）负数没有平方根.

2.算术平方根：正数。的正平方根，叫作a的算术平方根，记作读作“根

号°”。的算术平方根是0.

3.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方.

布置作业

课本第110页习题第1,2题.

板书设计

3.1平方根

第1课时平方根与算术平方根

1.平方根：如果一个数的平方等于。，那么这个数叫作。的平方根.

（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

（2）零只有一个平方根0；

（3）负数没有平方根.

2.算术平方根：正数a的正平方根，叫作a的算术平方根，记作读作

“根号屋.0的算术平方根是0.

3.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方.

第3章实数

3.1平方根

第2课时无理数

教学目标教学反思

1.认识无理数.

2.会用计算器计算一个正数的平方根.

教学重难点

重点：无理数的概念.

难点：通过学习平方根，认识数学与生活的密切联系.

教学过程

导入新课

如图1所示，将一个长为4cm,宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形,

最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？

图1

探究新知

（找学生回答上面的问题）

正方形的面积为8cm2,由于22=4,32=9,而4<8<9,因此它的边长不是整数.

L无理数

观察下列结果：

2.8』7.84,2.92=8.41；

2.822=7.95242.832=8.0089

2.8282=7.9975842.8292=8.003241

2.82842=7.999846562.82852=8.00041225

从上述数据，你能猜出面积为8的正方形的边长是多少吗？

回答：面积为8的正方形，它的边长应该比2.828大，比2.829小，……

由此猜想，面积为8cm2的正方形，它的边长是一个小数点后面的位数可以不

断增加的小数，是一个无限不循环的小数.

我们知道，有理数包括整数和分数，整数和分数可统一写成分数的形式（整

n

数可以看作分母为1的分数）.也就是说，有理数总可写成一W是整数，且

m教学反思

加邦）的形式.例如，

219

2=1=2.0；-=0.5；-五=-0SL

任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数.

反过来，任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，因此有理数是

有限小数或无限循环小数.

结论：面积为8的正方形，它的边长不是有理数.

我们把小数位数无限，且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.把无限

不循环小数叫作无理数.

【问题】像这样的无限不循环小数还有哪些？

有=1.73205080…，n=3.14159265…，这些数都是无限不循环小数.

归类：（1）根号型；（2）兀型；（3）类似循环但不循环小数.

无理数与有理数一样，也有正负之分.例如：虎，若，迷是正无理数，-应，

f，-若是负无理数.

2.近似数

根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个无理数.

例如：兀=3.1415926…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三

位，…，得到兀=3.14,7i«3.142,我们称3.14,3.142是无的精确到小数点

后面第二位，第三位的近似值.

3.14,3.142,3.1416,…都是兀的近似值,称它们为近似数.

3.用计算器求算术平方根或近似值

例1用计算器求通的近似值（精确到小数点后面第三位）.

解：按键匕区E

显示：2.828427125

所以通=2.828

【问题】利用计算器求平方根的按键顺序一般是什么？

回答：一般是先按根号键，再按被开方数，如果被开方数含有加法运算，需

要加括号，最后按等号键.不同品牌的计算器，其使用方法可能不同.

课堂练习

1.在计算器上按键且切旧日，下列计算结果正确的是（）

A.4.123B.-4.13C-4D.4.13

2.估计后在()

A.3-4之间B.4-5之间C.5〜6之间D.6〜7之间

3.设w为正整数，且则〃的值为（）

A.5B.6C.7D.8教学反思

4.与炳最接近的整数是（）

A.7B.8C.9D.10

参考答案

l.A2.C3.C4.C

课堂小结

1.小数位数无限，且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.

2.无限不循环小数叫作无理数.

布置作业

课本第111页习题3.1第3,4,5,6题.

板书设计

3.1平方根

第2课时无理数

1.小数位数无限，且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.

2.无限不循环小数叫作无理数.

第3章实数

3.2立方根

教学目标教学反思

1.了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根.

2.能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算，并能区分立方根与平方根

的不同.

3.会用计算器计算一个数的立方根.

教学重难点

重点：立方根的概念和性质.

难点：立方根与平方根的区别与联系.

教学过程

导入新课

【问题】如图1,一个体积为8cnP的正方体，它的棱长是多少？

你是怎么知道的？/-----7

我们设正方体的棱长是尤cm,根据题意，有V=8.r-------[

怎么求出x呢？I

这是已知一个数的立方，求这个数的问题.|1/

由此引入立方根的概念.图1

探究新知

1.立方根的概念

如果一个数b,使得〃=小那么我们把b叫作a的一个立方根，也叫作三次方

数a的立方根用符号“姐”表示，读作“立方根号a”或“三次根号a"，其中a

叫做被开方数，3叫做根指数.

【注意】根指数为3时，不能省略，只有当根指数为2时，才能省略不写.

填一填：根据立方根的意义填空：

因为23=8,所以8的立方根是（）；

因为（）3=0.125,所以0.125的立方是（）；

因为（）3=0,所以0的立方根是（）；

因为（）3=-8,所以一8的立方根是（）.

2.开立方

求一个数的立方根的运算叫作开立方.

开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算

来求.

例1分别求下列各数的立方根：

O

1,—,0,-0.064

解：由于#=1,因此亚=1；

教学反思

由于。3=0,因此五=0;

由于(-0.4)3=-0.064,因此干一0.064=-0.4.

3.立方根的性质

【问题1](1)一个正数的立方根有几个？

(2)0的立方根是多少？

(3)负数有没有立方根？

(请学生自己也编几道题目，同桌交换解答，你发现了什么？)

通过“交流”让学生自己发现结论，教师再加以总结.

【归纳】已知正数的立方是正数，负数的立方是负数，。的立方是0,那么正

数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.

【问题2】填空，并回答从这些问题中，你能得到什么结论？

舛=-2,-*=-2,^=27=-3,-师=~3.

【结论】一般地，亚7=-低.

即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.

【问题3】平方根和立方根的区别和联系分别是什么？

【归纳】区别：

类别平方根立方根

正数两个，互为相反数一个，为正数

性质000

负数没有平方根一个，为负数

表示方法y/a

被开方数的范围非负数可以为任何数

联系：求平方根和立方，卜艮的运算都是开方运算，都7是乘方的逆运算.

4.利用计算器求一个数白田立方根

例2用计算器求下列彳岁数的立方根(精确到0.01).

137

(1)2；(2)7.797；⑶-17.456；(4)—.

398

(学生自主完成)

【注意】不同品牌的计学[器按键顺序可能不同.

课堂练习

1.求下列各式的值：

①70.001；②我；③7—216；®81-x/36.

2.某数的立方根等于它本身，这个数是多少?

3.求下列各数的立方根：

教学反思

(1)-1+—;(2)64000.

125

参考答案

1.①T/O.OOl=-0.1;

②W=2;

③Y/-216=6;

@81-736=81-6=75.

2.这个数为0,+1.

4

3.(1)--(2)40

5

课堂小结

这节课学习了立方根的概念，立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根.

注意区分平方根与立方根.

布置作业

课本第115页习题3.2第1,2,3,4,5题.

板书设计

3.2立方根

1.一般地，如果一个数的立方等于。，那么这个数叫作。的立方根.

2.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.

3.求一个数的立方根的运算，叫作开立方.

第3章实数

3.3实数

第1课时实数的概念

教学目标教学反思

1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类.

2.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.

3.知道实数的相反数和绝对值的意义.

教学重难点

重点：掌握实数的概念及实数的分类.

难点：能用数轴上的点表示无理数.

教学过程

导入新课

说一说：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

在0,1.414,疯兀，二，啦

3

（找学生回答）

答案：0,1.414,囱，-2是有理数；

3

后，兀，正是无理数.

探究新知

1.实数的概念

有理数和无理数统称为实数.

2.实数的分类

我们认识的数的范围又一次扩大了，我们可以将实数按如下方式分类：

（按定义分类）

整数'

有理数，有限小数或无限循环小数

实数

分数.

.无理数（无限不循环小数）

例1把下列各数分别填入相应的集合里：

^/8,A/3,-3.141,-,—,--,-^2,0.1010010001.414,-0.020202.••,-77.

378

正有理数：{};负有理数：{};

正无理数：{};负无理数：{}.

实数的另一种分类方法

【问题】让学生思考，实数除了按有理数和无理数进行分类外，还能按什么

进行分类？（按性质符号）

有理数、无理数都有正、负之分，实数也可以作如下分类：

［正有理数教学反思

正实数i正无理数

实数4零

［负有理数

负实数［负无理数

【注意】零既不是正数也不是负数；对实数进行分类时，可以用不同的方法,

但必须按同一标准分类，做到不重不漏.

3.实数与数轴上的点的关系

【问题1】每一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否

都表示有理数？

【问题2］无理数如戊可以用数轴上的点来表示吗？画一画，说说你的方

法「加能画出来吗？

-2-1012

【归纳1J每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.

【归纳2】把数从有理数扩充到实数后，实数和数轴上的点一一对应，即每

一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一

个实数.

4.实数的大小

与规定有理数的大小一样，规定正实数大于0,负实数小于0.

数轴上表示正实数的点在原点右边，表示负实数的点在原点左边.

负实数:点正实数，

o*

5.实数的相反数、绝对值

在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的

意义完全一样.

。是一个实数，它的相反数为力，绝对值为Ml；

例2求下列各数的相反数和绝对值：

Y，TI-3.14

解：因为-(-若)=6,

-(TT-3.14)=3.14-71,

所以，-也,兀-3.14的相反数分别是否，3.14-x

由绝对值的意义得：

\Y\=C,|7r-3.14|=7r-3.14.

总结：

l.a是一个实数，实数a的相反数为-a

2.①正实数的绝对值是它本身；

②负实数的绝对值是它的相反数；

③0的绝对值是0.

a,当。>0时；

|<2|=<0,当4=0时；

-a,当a<。时.

课堂练习

1.判断正误.

(1)不带根号的数都是有理数.()

教学反思

（2）带根号的数都是无理数.（）

（3）无理数都是无限小数.（）

（4）无限小数都是无理数.（）

2.下列各数中：-LV7,3.14159,7t,J—,-V4,0,。与，册，历,

4V3

2.121122111222-.

（1）有理数有.

（2）无理数有.

3.如图，数轴上与同对应的点是（）

0123456789

A.点AB.点BC.点CD.点D

4.如图，数轴上有A,B,C,。四个点，下列说法正确的是（）

ABCD

।।।.i.i.

01234

A.点A表示的数约为0B.点8表示的数约为退

C.点C表示的数约为正D.点D表示的数约为逐

参考答案

1.(1)错(2)错(3)对(4)错

2.(1)--,3.14159,0,0首，我，V16

4

10

（2）V7,兀,,-V4,2.121122111222-

3.C4.C

课堂小结

1.有理数和无理数统称为实数.

2.实数的分类

3.实数和数轴上的点一一对应.

4.a是一个实数，实数a的相反数为-a

5.①正实数的绝对值是它本身；

②负实数的绝对值是它的相反数；

③。的绝对值是0.

a,当Q〉0时；

\a\=<0,当a=0时;

一〃，当〃<0时.

布置作业

课本第121页习题3.3第1,2题.教学反思

板书设计

3.3实数

第1课时实数的概念

1.有理数和无理数统称为实数.

-

［整数'

有理数,有限小数或无限循环小数

2.实数<

分数,

无理数（无限不循环小数）

正实数］正有理数

正无理数

实数，零

负实数］负有理数

负无理数

3.实数和数轴上的点---对应.

4〃是一个实数，实数a的相反数为-a

5.①正实数的绝对值是它本身；

②负实数的绝对值是它的相反数；

③0的绝对值是0.

C1,当〃>0时；

|〃|=<0,当〃=0时；

当Q<0时.

第3章实数

3.3实数

第2课时实数的运算及大小比较

教学目标教学反思

1.了解在有理数范围内的运算法则在实数范围内仍然适用.

2.会用多种方法比较两个实数的大小.

教学重难点

重点：实数的运算及大小比较.

难点：实数的运算.

教学过程

导入新课

【问题1］在数从有理数扩充到实数后，我们已学过哪些运算？

学生回答：已学过加、减、乘、除、乘方、开方运算.

【问题2］有哪些规定吗？

除法运算中除数不能为0,而且只有正数和零可以进行开平方运算，任意一

个实数都可以进行开立方运算.

［问题3］有理数满足哪些运算律？

加法交换律：a+b^b+a；加法结合律：(。+与+c=a+S+c)；

乘法交换律：ab—ba；乘法结合律：(H)c—a(be)；

乘法对加法的分配律：a(b+c)—ab+ac.

探究新知

1.实数的运算

【归纳】将数从有理数扩充到实数以后，实数也有加法、减法、乘法、除法

(除数不为0)运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用.

【问题】两个无理数的和仍然是无理数吗？两个无理数的乘积呢？

回答：不一定是无理数，比如兀和F的和，兀和工的乘积.

n

做一做：设a,b,c是任意实数，则

(1)a+b=b+a(加法交换律)；

(2)Qa+b)+c=a+(6+c)(加法结合律)；

(3)a+(-a)=(-a)+a=0；

(4)ab=ba(乘法交换律)；

(5)(ab)c=a(be)(乘法结合律)；

(6)1•a—a•1=a；

(7)a(.b+c)—ab+ac(乘法对于加法的分配律)，

(b+c)a-ba+ca(乘法对于加法的分配律)；

(8)实数的减法运算规定为(")；

(9)对于每一个非零实数°,存在一个实数从满足我们把

沙叫作a的倒数；

(10)实数的除法运算(除数6W0),规定为;教学反思

b

(11)实数有一条重要性质：如果0,5W0,那么abW0.

例1近似计算：

(1)75+71(精确到0.01)；(2)4X币(精确至IJ0.1).

解：(1)^+71-2.236+3.142=5.378-5.38.

(2)»2.24x2.65=5.936=5.9.

例2计算下列各式的值：

(1)(山+石)-百；(2)2石-3石.

解：(1)(6+石)-君

=小+—A/5)

=6.

(2)2A/3-3A/3=(2-3)A/3

=-A/3.

2.实数的大小比较

【方法1】利用数轴比较实数的大小.

【问题】利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？对实数也适用吗？

学生回答：在数轴上表示的数，右边的数总比