广东省广外广附铁一三校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（原卷版）

20222023学年上学期期中三校联考高二数学试卷共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.第一部分选择题（共60分）一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.62.若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（）A. B. C. D.3.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.4.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面B.已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C.若对空间中任意一点，有，则四点共面D.若，则的夹角是钝角5.若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离不可能是（）A.4 B.6C.3＋1 D.86.已知定义在上的奇函数，对任意的都有，且当时，，则（）A.4 B.2 C. D.7.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（）A. B. C. D.8.若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”，为“是合格品”，为“是不合格品”，则下列结果正确的是（）A.B.C.D10.函数的图象在上恰有两个最大值点，则可能为（）A.2π B. C.3π D.11.如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（）A.平面B.平面C.存在点，满足D.的最小值为12.设函数，则下列说法正确的是（）A.若，则在上单调递减 B.若，无最大值，也无最小值C.若，则 D.若，则第二部分非选择题（共90分）三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.求值：___________14.已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为____________．15.已知椭圆C：1左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．16.某干燥塔底面是半径为1的圆面O，圆面有一个内接正方形框架，在圆O的劣弧上有一点P，现在从点P出发，安装三根热管，则三根热管的长度和的最大值为____________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，在四棱锥中，底面，为直角，，､分别为､的中点，（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积.18.如图，在中，是上一点，平分.（1）求证：；（2）若，，，求的内切圆面积.19.有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.20.已知底面ABCD为菱形直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.（1）若，求证：；（2）若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值.21.已知两个定点A（4，0），B（1，0），动点P满足|PA|=2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y=kx4.（1）求曲线E的方程；（2）若直线l与曲线E交于不同的C，D两点，且∠COD=90°（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若k=，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点