高一数学期末模拟试题二

高一数学期末模拟试题二第I卷（选择题）一、单选题1．设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由对数函数的性质可得P，由一元二次不等式可得Q，根据题意可得出结果.【详解】∵，，∴.故选：B.2．下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据常见函数的单调性，以及奇偶性的定义，结合利用导数判断函数单调性，即可判断和选择.【详解】对A：定义域为，且，故为奇函数；又当时，，故在单调递减；故A正确；对B：定义域为，且，故为偶函数，B错误；对C：定义域为，但，故不为奇函数，C错误；对D：定义域为，且，为奇函数；但当时，为单调增函数，故D错误；故选：A.3．若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用对数函数，，指数函数的单调性即可得出答案.【详解】根据对数函数在上单调递减，则，根据对数函数在上单调递增，则，根据指数函数在上单调递减，则，则，故，故选：A.4．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因，所以.故选：C5．函数在区间上的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数奇偶性结合当时函数值的符号性分析判断.【详解】∵，即，∴为偶函数；又∵当时，则，故，∴；综上所述：A正确，B、C、D错误.故选：A.6．定义域为的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出函数是周期为的周期函数，利用指数的运算性质以及奇函数的性质可求得的值.【详解】由题意可得，故函数是周期为的周期函数，因为，则，则，因此，.故选：B.7．命题“函数对，都有”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原题等价于下，单增，分和讨论，结合二次函数特征即可求解.【详解】由题可知，当，单增，当时，单减，不符合题意，舍去；当时，要使，单增，需满足，解得.故选：D8．已知函数,若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出的大致图象，令，由题可得则或，因为有两个解，所以有3个解，结合图象可得，即可得答案.【详解】解：作出函数的大致图象，如图所示，令，则可化为，则或，则关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的图象与直线，的交点个数之和为5个，由图可得函数的图象与直线的交点个数为2，所以的图象与直线的交点个数为3个，即此时，解得，故选：C.二、多选题9．下列说法中不正确的是（）A．已知函数，若，有成立；则实数的值为.B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为C．命题“”的否定是“”.D．函数函数值域相同.【答案】BC【分析】每一个选项分别判断即可.【详解】选项A：由题可知关于对称，所以，得，故选项A正确；选项B：当时，得，满足题意，故该选项错误；选项C：命题“”的否定是“”，故C错误；选项D：与的值域均为，故D正确.故选：BC10．已知正实数，满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数，结合单调性求解.【详解】方法一（筛选法）

由题意，．当，即时，，而，所以，故不成立．当时，，，不成立，故，所以，，故A错误，B正确．，则，，故C正确．，故D不一定正确．故选：BC．方法二（构造函数法）

由题意，．设函数，显然在区间上单调递增，故由，得，故，故A错误．，B正确；由，得，故，C正确；，故D不一定正确，故选：BC．11．已知函数在有且仅有3个零点，则（

）A．在有三个极值点 B．在上单调递减C． D．的取值范围是【答案】BCD【分析】函数在有且仅有3个零点，求得，根据函数解析式讨论极值点、单调区间、值域等性质.【详解】，当，有，得，由，函数在有且仅有3个零点,，得对于A选项，由，得的极值点为，由，函数在有两个极值点，得，函数在有三个极值点，得，已知，∴函数在可能有两个极值点也可能有三个极值点，A选项错误；对于B选项，，有，，，，有，所以在上单调递减；B选项正确；对于C选项，，，，C选项正确；对于D选项，，，由正弦函数在上单调递增，上单调递减，时，当，有最大值1，当，有最小值所以当时，的取值范围是，D选项正确.故选：BCD12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（

）A． B．在上为减函数C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有个实数解【答案】CD【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，由可知A错误；推导可得，知C正确；作出图象，结合图象知B错误；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象可知D正确.【详解】为奇函数，，即，关于点对称；为偶函数，，即，关于对称；由，得：，，即是周期为的周期函数；对于A，，A错误；对于C，，即，关于点成中心对称，C正确；对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，由图象可知：在上单调递增，B错误；方程的解的个数，等价于与的交点个数，，，结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.故选：CD.第II卷（非选择题）三、填空题13．若函数是奇函数，且，则________．【答案】【分析】根据奇函数的定义，结合已知条件，求得的关系，赋值即可求得结果.【详解】函数是奇函数，即又，令，则.故答案为：.14．已知幂函数是偶函数且在上单调递增，则函数的解析式为______________．【答案】【分析】由幂函数的定义可求出m的值，再根据偶函数和单调性的性质确定k的值，即可求出的解析式【详解】函数为幂函数，由幂函数定义可知，解得，又幂函数是偶函数并且在上单调递增，为正偶数，又由，解得，代入可得，故答案为：15．若正数x，y满足，则的值为______．【答案】12【分析】根据对数运算法则得，设为，即可得，，，则，结合指数幂运算法则即可求值.【详解】解：因为，则设，可得，，所以.故答案为：12.16．己知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若实数，满足，则的最小值为______．【答案】##【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，从而得到，，，即可得到答案.【详解】，因为实数，满足，所以.所以，，解得，，，，解得，，所以，，.所以.综上：.故答案为：四、解答题17．求下列各式的值(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】根据对数运算法则直接计算即可.【详解】（1）原式.（2）原式.18．已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换得到，整体法求解函数的单调递减区间；（2）根据伸缩变换和平移变换得到，根据，得到，结合正弦函数图象求解出值域.【详解】（1），令，则，所以函数的单调递减区间为：．（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将图象向左平移个单位，得到的图象，因为，所以，所以的值域为．19．设函数.(1)解方程；(2)设不等式的解集为，求函数的值域.【答案】(1)或(2)【分析】（1）化简，由解得可得答案；（2）利用指数函数的单调性解不等式求出，化简，令，转化为，再根据抛物线的性质和的范围可得答案.【详解】（1），由得，解得或，所以或.所以方程的解是或；（2）由得，即，解得，，，令，所以，则为开口向上对称轴为的抛物线，因为，所以，所以函数的值域为.20．已知函数的图象经过点.(1)若的最小正周期为，求的解析式；(2)若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据最小正周期为得到，再根据的图象过点，得到，即可得到的解析式；（2）根据得到是的一条对称轴，代入得到，，再根据的图象过点得到，，联立得到，根据在上单调得到，最后验证在上是否单调即可得到的取值集合.（1）因为的最小正周期为，所以.因为，所以.因为的图象经过点，所以，，即，.因为，所以.故.（2）因为，，所以直线为图象的对称轴，又的图象经过点.所以①，②，.②①得，所以因为，，所以，即为正奇数.因为在上单调，所以，即，解得.当时，，.因为，所以，此时.令，.在上单调递增，在上单调递减，故在上不单调，不符合题意；当时，，.因为，所以，此时.令，.在上单调递减，故在上单调，符合题意；当时，，.因为，所以，此时.令，.在上单调递减，故在上单调，符合题意，综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为21．已知函数(1)求函数的值域；(2)判断函数在其定义域上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；(3)是否存在正数，使得不等式对任意的及任意的锐角都成立，若存在，求出正数的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)在上是增函数，证明见解析(3)存在，．【分析】（1）化简得，利用指数函数的单调性得到的值域即可.（2）利用单调性的定义法进行证明即可.（3）利用的单调性，得到，化简得到，利用不等式恒成立的条件，问题转化为求，进而问题转化为，最后利用三角函数的恒等变换即可得证.（1）定义域为，，∵，∴，∴∴，∴的值域为；（2）在上是增函数，证明：且，，∵∴又；∴，∴，∴在上是增函数；（3）由（2）知在上是增函数，则，，∵，∴又，∴，则，当且仅当即时取“=”，则，该不等式对任意锐角都成立，则，令，则，在上单调递减，则，∴，又，则∴，∴正数的取值范围为．【点睛】方法点睛：本题使用不等式恒成立问题的两种方法：1.分离参数法；2.最值分析法；本题通过分离参数得到，再次通过分离参数，得到，最后，利用最值分析法求证成立22．已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；(2)求证：是的“4重覆盖函数”；(3)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．【答案】(1)不是的“2重覆盖函数”理由见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即；（2）：可根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可；（3）：将题转化为对任意，有2个实根，根据的性质即可求解．【详解】（1）由可知：，函数的图像如图所示：当时，，当时，解得，所以不是的“2重覆盖函数”；（2）证明：因为，所以，又因为，又因为，所以，所以，又因为，所以，又因，可得为奇函数且单调递增，作出两函数的内的大致图像，如图所