64平面向量的应用

6．4平面向量的应用【题型归纳目录】题型一：利用向量证明平面几何问题题型二：利用向量解决平面几何求值问题题型三：向量在物理中的应用题型四：已知两边及一角解三角形题型五：已知三边解三角形题型六：利用余弦定理判断三角形的形状题型七：已知两角及任意一边解三角形题型八：已知两边及其中一边的对角解三角形题型九：三角形形状的判断题型十：距离问题题型十一：高度问题题型十二：角度问题题型十三：三角形多解问题题型十四：三角形边长、面积、周长最值与范围问题题型十五：三角形中的图形类问题题型十六：面积与周长求值问题【知识点梳理】知识点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．知识点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．知识点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（，）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．常见解析几何问题及应对方法：（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．（4）夹角问题：利用公式．知识点三：向量在物理中的应用（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．知识点四、余弦定理三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：余弦定理的变形公式：知识点五、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角．知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．知识点六、正弦定理正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：知识点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：=1\*GB3①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；=2\*GB3②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．知识点七、解三角形的概念一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角．在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角．知识点八、正弦定理在解三角形中的应用利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；知识点九：利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论．在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：①若A为锐角时：一解一解两解无解②若A为直角或钝角时：知识点十：三角形的形状的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余关系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；知识点十一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．知识点十二、解三角形应用题的基本思路实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解【典型例题】题型一：利用向量证明平面几何问题例1．（2022·全国·高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，设BE，CF交于一点O，连接AO，OD，证明：中线AD经过点O，且AO=2OD【解析】取为基底.由C、O、E三点共线，可得：.同理：.则有，解得：，故.因为D是BC的中点，由向量的中线公式可得：.所以，所以即中线AD经过点O，且AO=2OD【方法技巧与总结】用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤（1）利用线性运算证明的四个步骤①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化．（2）利用坐标运算证明的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化．例2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法证明：.【解析】（1）因为点是的中点，所以.因为，,所以.所以，.（2）由（1）可得：，.因为，所以，所以.例3．（2022·河南南阳·高一期中）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，．(1)求向量与夹角的余弦值；(2)证明：四边形ABCD是等腰梯形．【解析】(1)因为，，所以．(2)因为，所以，即，而，，故不存在使，即不平行，又，，故，综上，四边形ABCD是等腰梯形．题型二：利用向量解决平面几何求值问题例4．（2022·全国·高二课时练习）已知平面四边形中，，向量的夹角为.(1)求证：；(2)点是线段中点，求的值.【解析】（1）根据题意，画出示意图如下图所示由题意可知，，所以三角形ABD为等边三角形，则，又，所以，即为直角三角形，且，所以，所以；（2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，因为点是线段中点，所以，则，所以，【方法技巧与总结】（1）用向量法求长度的策略①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解．②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则．（2）用向量法解决平面几何问题的两种思想①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解．②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．例5．（2022·山东菏泽·高一期末）如图，在中，已知，，，且.求.【解析】由题意得，的夹角为，，则，又，所以，故，同理于是，，，.例6．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中高一期末）如下图，在中，为边上的一点，，且与的夹角为.(1)求的模长(2)求的值.【解析】（1）因为，所以，因为，与的夹角为，所以，所以；（2）变式1．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一阶段练习）如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点N.(1)设，，试用，表示；(2)若，，H是线段上的一动点，求的最大值.【解析】(1)取AC的中点O，连OE，OF则，因为，所以.(2)以A为原点，AB，AD分别为x，y轴，建立直角坐标系，则，，，，直线的方程为：，设，则，，所以，当时等号成立.题型三：向量在物理中的应用例7．（2022·山东菏泽·高一期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：(1)；(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.【解析】（1）因为船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2，所以船只沿AB方向的速度为.由，，根据勾股定理可得：,所以，即由，得：，所以.（2）因为，所以，即，解得：.即船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值为.【方法技巧与总结】用向量解决物理问题的一般步骤（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．（2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．（3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．（4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．例8．（2022·全国·高二课时练习）解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，），若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则，，的大小分别是多少？【解析】由题可知，且，，两两之间的夹角均为，又，（为重力加速度）∴，∴，∴（牛），即，，的大小都是牛.例9．（2022·湖南·高一课时练习）已知两个力（单位：N）与的夹角为60°，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动到点（单位：m）．(1)求；(2)求与的合力对质点所做的功．【解析】(1)如图所示，因为，可得，令因为两个力与的夹角为60°，点移动到点，可得，则，可得，所以，可得，解得，所以.(2)与的合力对质点所做的功为:.题型四：已知两边及一角解三角形例10．（2022·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习）的内角的对边分别是，已知，则等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因为又余弦定理得：，所以.故选：B.【方法技巧与总结】已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．例11．（2022·安徽·合肥世界外国语学校高二学业考试）在中，，，，则边的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，，，，由余弦定理，即，解得或（舍去）.故选：C例12．（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（理））在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知的面积为4，b=4，，则a=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴①，②，∴由①②得，∵∴∴，∴，∴.故选：C.变式2．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））在中，角所对的边分别为，若，，，则（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】，，或；当时，，解得：；当时，，解得：.综上所述：或.故选：C.变式3．（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）设的三个内角、、所对的边分别为、、.已知.(1)求的值；(2)若，，求的面积.【解析】（1）由可得，所以，，即，即，即，可得，故.（2）因为，则，由余弦定理可得，，，则角为锐角，故，因此，.题型五：已知三边解三角形例13．（2022·浙江·青田县船寮高级中学高一阶段练习）在中，，则的最小角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，在中，，因为，所以的最小角为，所以，又因为，所以.故选：C.【方法技巧与总结】已知三角形的三边解三角形的方法利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角．例14．（2022·四川省南充高级中学高二期中）在中，分别是角的对边，，则角的正弦值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】，，，.故选：A例15．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））在中，内角，，所对的边分别为．已知．则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因为，得又因为得整理得由正弦定理可得得得，因为所以所以故选:B变式4．（2022·宁夏·永宁县文昌中学高三期末（文））在△ABC中，若，则A=（

）A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】C【解析】得，即，又，故选：C.题型六：利用余弦定理判断三角形的形状例16．（2022·甘肃酒泉·高一期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【解析】由余弦定理及得，，整理得，即，∴为等腰三角形．故选：A.【方法技巧与总结】（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．（2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论①为直角三角形或或．②为锐角三角形，且，且．③为钝角三角形或或．④若，则或．例17．（2022·辽宁·葫芦岛市第六高级中学高一阶段练习）若三角形的三边长度分别为2，2021，2022，则该三角形的形状是（

）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定【答案】B【解析】由题意知：长度为2022的边所对的角最大，其余弦值，则长度为2022的边所对的角为钝角，故该三角形为钝角三角形，故选：B例18．（2022·江苏·淮海中学高二开学考试）在中，，则的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】在中，，又由余弦定理知，，两式相加得：，（当且仅当时取“”，又，（当且仅当时成立），为的内角，，，又，的形状为等边△．故选：．变式5．（2022·北京市第三十九中学高三阶段练习）在中，若，则的形状一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故选：B题型七：已知两角及任意一边解三角形例19．（2022·山东聊城一中高一期中）在中，，则中最小的边长为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，，故中最小的边长为.由正弦定理，故.故选：B【方法技巧与总结】（1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．（2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．例20．（2022·云南·高二阶段练习）的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，设的面积为S，已知．(1)若，，求c的长；(2)若，求角B的大小．【解析】（1）因为，所以，又，，所以，又，，所以，即，整理得，因为，所以．（2）由（1）知，所以，整理得，因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，因为B，，所以，即，因为，所以．例21．（2022·浙江杭州·高二期中）在中，已知，，，则等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理，，即，解得故选：B.变式6．（2022·江西赣州·高三期中（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（

）A． B． C． D．6【答案】C【解析】因为，由正弦定理，得．故选：C.变式7．（2022·广东·佛山市顺德区华侨中学高三阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.(1)求角A的大小；(2)设，且，求边.【解析】（1）的内角A，，的对边分别为，，，因为，则由正弦定理得：，即，，又，.（2）由，，，得，，又，由正弦定理，得.变式8．（2022·上海市甘泉外国语中学高一期末）中，角、、所对的边分别为、、，已知.(1)求边、的长度；(2)求的面积及其外接圆半径.【解析】（1）因为，所以在中，，由正弦定理得：，也即，所以；（2）由三角形的面积公式可得：的面积，由正弦定理可得：外接圆半径.题型八：已知两边及其中一边的对角解三角形例22．（2022·广东江门·高三阶段练习）在中，内角，，的对边长分别为，，，且，，则的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】由可得，即，所以，所以，所以，所以，所以，所以，由正弦定理与余弦定理可得，即，因为，所以，解得或（舍）故选：C【方法技巧与总结】这一类型题目的解题步骤为①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角；③根据正弦定理求出第三条边．其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值．例23．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在三角形ABC中，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】三角形ABC中，根据正弦定理：，故.故选：D例24．（2022·陕西延安·高二期中（理））在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理可得，解得.故选：C.题型九：三角形形状的判断例25．（2022·陕西西安·高二期中）在中，，则三角形的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．锐角三角形 D．等腰三角形【答案】D【解析】由正弦定理，因，则，又A，B为三角形内角，得B=A.而对于A，B，C选项，因题目条件不足，所以无法判断，则根据现有条件可得该三角形为等腰三角形.故选：D【方法技巧与总结】判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：（1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①（为外接圆的半径）；②；（2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：①（为外接圆的半径）；②．例26．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二期中）的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由正弦定理可知，设，所以，所以，所以的形状是直角三角形，故选：B例27．（2022·湖北·高三阶段练习）在中，已知，则的形状一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】根据正弦定理，由，因为，所以，所以有，或，或，当时，有，此时有，即，所以此时该三角形是等腰直角三角形；当时，即，所以此时三角形是直角三角形；当时，即，不符合三角形内角和定理，舍去，综上所述：的形状一定是直角三角形，故选：B变式9．（2022·陕西·白水县白水中学高二阶段练习）在中，内角的对边分别为，且，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】B【解析】由已知，在中，，由正弦定理可知，，所以,整理得，，即，所以或（舍去）.所以为等腰三角形.故选：B.题型十：距离问题例28．（2022·江苏徐州·高三期中）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【解析】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，由题意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，则在中，由正弦定理得：则所以，在中，由正弦定理得：则，故（舍）故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.【方法技巧与总结】求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形．例29．（2022·江西省丰城中学高三阶段练习（理））某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点A，B，C，D在同一平面内）(1)求的面积；(2)求点之间的距离．【解析】（1）在中，，，所以．由正弦定理：，得，所以,，所以的面积为．（2）由，，得，且,．在中由余弦定理，得,所以．即点C，D之间的距离为．例30．（2022·湖北·高二阶段练习）如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求．(1)当时，求线段的长度；(2)问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）【解析】（1）因为且，故，故，故，则（2）设，由题意，在中，由正弦定理，所以在中，由余弦定理可得：，又由（1）可得，所以，当且仅当，即时，取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时题型十一：高度问题例31．（2022·全国·高三专题练习）文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D．测得，在点C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．(1)求；(2)求塔高AB（结果保留整数）．【解析】（1）在中，因为，所以，则，所以，所以，又，所以，则；（2）在中，因为，所以米，则中，米，所以塔高AB为47米.【方法技巧与总结】此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．例32．（2022·四川乐山·高一期末）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得点M的仰角，C点的仰角以及；从C点测得．已知山高，求山高．【解析】在中，因，则，在，，则，由正弦定理可得，即，解得，在中，，，则．所以山高为.例33．（2022·全国·高三专题练习）康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为8米，在地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别为和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）【解析】由题意得，在中，，在中，，，所以，由正弦定理，得，又，在中，.答：滕龙阁的高度约为37.86米.题型十二：角度问题例34．（2022·山东东营·高一期末）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得灯塔底部在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，此时测得灯塔底部在北偏东方向上，测得塔顶的仰角为，已知灯塔高为．(1)求巡逻船的航行速度(2)若该船继续航行分钟到达处，问此时灯塔底部位于处的南偏东什么方向【解析】（1）在直角中，，故在中，由正弦定理得解得：，从A到B共花20分钟，故巡逻船的航行速度（2）在中，由余弦定理可得：，在中，由正弦定理得：，则，而，则，故，所以此时灯塔底部位于处的南偏东方向．例35．（2022·重庆八中高一期末）从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为20海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向．以20海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速度，以直线轨迹行驶前去营救，求护航舰的航向（方位角）和靠近货船所需的时间．【解析】设护航舰靠近货船所需时间为t小时，营救地点为，可得，．在△ABC中，由余弦定理可得，∴，化简可得，∴或（舍去）．∴护航舰需要1小时靠近货船．∴，BC＝20，在△ABC中，根据正弦定理得：，∴，为三角形内角，∴，∴可得护航舰航行的方位角为75°，所需时间为1小时．例36．（2022·福建·三明一中高一期中）如图，在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为20海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．【解析】设缉私艇在点D处追上走私船，所需t小时，则海里，海里，因为，在中，由余弦定理得，即，所以，由正弦定理得，所以，所以BC为东西方向，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，所以，即，即（小时），所以缉私艇沿北偏东行驶才能最快追上走私船，所需时间小时.题型十三：三角形多解问题例37．（2022·河南南阳·高三期中（理））在中，，，.若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理，即，所以，因为只有一解，若，则，若显然满足题意，所以或，所以或，解得或；故选：D例38．（2022·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图所示．若A为锐角，且有两解，则．对于A选项，，，但，此时没有两解，A选项不满足条件；对于B选项，，此时有两解，B选项满足条件；对于C选项，，且，此时只有一解，C选项不满足条件．对于D选项，，此时没有两解，D选项不满足条件；故选：B．例39．（2022·河南河南·高一期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°，若三角形有两解，则b的可能取值是（

）A．2 B．2.3 C．3 D．4【答案】B【解析】如图，有两解的充要条件是，解得，故b的取值范围是，结合各选项可知B正确．故选:B变式10．（2022·江西·二模（文））设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由正弦定理，即，所以，因为不唯一，即有两解，所以且，即，所以，所以，即；故选：A变式11．（2022·广东·高一期末）在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，B=45°，CD⊥AB，则，以C为圆心，CA=b=2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和BA边应该有两个交点，故CA>CD且CA<CB，即，解得．故选：B．题型十四：三角形边长、面积、周长最值与范围问题例40．（2022·甘肃武威·高三阶段练习（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．(1)求B；(2)若的面积等于，求的周长的最小值．【解析】（1）因为，所以，因为，所以，所以，∵，所以，所以，∴；（2）依题意，∴ac＝4，所以，当且仅当时取等号，又由余弦定理得，∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以的周长最小值为．例41．（2022·福建·高三阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，.(1)若，求的值；(2)求的最小值.【解析】（1），且，，，由正弦定理可知，，，即，，整理得，；（2），由余弦定理可知，，且，，当时，的最小值为．例42．（2022·江苏南通·高三阶段练习）在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角B；(2)若的面积为，求b的最小值.【解析】（1），∴，，即，∵为锐角三角形，∴，则.（2），∴，，当且仅当时取“=”，∴.变式12．（2022·江苏·南京师大附中高二开学考试）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C．(1)求角C；(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求CD的最小值.【解析】（1）cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C，即，由正弦定理可得，结合余弦定理可得，又，故可得.（2）由三角形面积可得，解得；又，故即，当且仅当时取得等号.故CD的最小值为.变式13．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）在中，角所对的边分别，已知且.(1)求角的大小；(2)若是的中点，，求面积的最大值.【解析】（1）由且得：，由正弦定理得，又，即；（2）由，得到，则，化简得，当且仅当时，等号成立，面积，即面积的最大值为；变式14．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求三角形面积的最大值．【解析】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，可得，又，可得．（2）由余弦定理及，可得：，则，得，当且仅当时等号成立，所以，所以△ABC面积的最大值为．变式15．（2022·江苏·高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知B为锐角，且．(1)求B；(2)求的最大值．【解析】（1）因为，所以．在中，由正弦定理，得，所以．因为，所以，所以．又因为B为锐角，所以．（2）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值是．变式16．（2022·吉林·东北师大附中高三阶段练习）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.(1)求；(2)若，求最大值.【解析】（1）在中，由及正弦定理得：，，，则，而，有，于是得，即，又，，因此，解得，则，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得：，则，，显然，即，因此当，即时，，所以的最大值是.变式17．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．(1)证明：；(2)若，且为锐角三角形，求的取值范围．【解析】（1）证明：∵，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴A，B，C∈（0，π），∴即．（2）∵，且a＝2，∴∵A＝2C，∴，∵为锐角三角形，所以,∴，∴，由a＝2，，所以，则，且，设,，设，则，∴，，所以,为减函数，∴．变式18．（2022·山东聊城一中高一期中）在中，内角的对边分别为，已知.(1)求内角；(2)若为锐角三角形且，求周长的取值范围.【解析】（1）在中，因为，由正弦定理得：化简得：.因为，所以，所以，即，所以，即.因为，所以.所以.（2）在中，由正弦定理得，所以.同理，所以周长：，因为为锐角三角形，所以，由，所以，所以，所以周长的取值范围是：变式19．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.(1)求B；(2)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.【解析】（1）由题意知中，，由正弦定理，为外接圆半径，得，，，，∴，又，所以，即.（2）∵，∴，即，又，∴由正弦定理得，∴，∵为锐角三角形，∴，解得，从而，即.变式20．（2022·山东·高三阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)求的取值范围．【解析】（1）因为，所以，即，即，又，所以，因为，所以；（2），因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范围为．变式21．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知在中，角所对的边分别为，且.(1)求；(2)设点是边的中点，若，求的取值范围.【解析】（1）在中，依题意有，由正弦定理得：，而，即，则有，即，而，所以.（2）在中，由（1）知，，又，点是边的中点，则,于是得，显然，当且仅当时取等号，因此，，即，所以的取值范围是.题型十五：三角形中的图形类问题例43．（2022·全国·高一）如图，在平面四边形中，，，，，，则（

）A．1 B．3 C．2 D．4【答案】C【解析】设，在中，由正弦定理可得①，由可得，则，，在中，由正弦定理可得②，①②两式相除，得，即，整理得，化简得，故.故选:C例44．（2022·四川成都·高一期中（理））如图，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在三角形BCD中，由余弦定理得：，因为，所以角C为锐角，所以，在三角形ABC中，故选：A例45．（2022·全国·高一课时练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，角C的平分线交AB于点D，且，，则c的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】在△BCD中，，即，在△DCA中，即，由，解得.故选:C.变式22．（2022·山东聊城一中高一期中）某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.(1)若，求的长；(2)若，求的周长.【解析】（1）在中，，且，所以.因为，，所以.在，由正弦定理可得，所以.（2）因为，所以，所以，即：，可得.在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去）.因为，所以.在中，由余弦定理可得所以的周长为.变式23．（2022·河南河南·高一期末）如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）∵，∴，则．所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，则BC＝BD＋CD＝5，在中，由余弦定理得，即AC＝7，所以．题型十六：面积与周长求值问题例46．（2022·上海·曹杨二中高一期末）在中，角、、的对边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若，的面积，求的周长．【解析】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，即，因为，所以.（2），所以，由余弦定理得，所以的周长为．例47．（2022·新疆·克拉玛依市高级中学高一阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知且．(1)求角A的大小；(2)若，求三角形的面积．【解析】（1）∵，∴，，∵，∴，又，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∴；例48．（2022·浙江·高一期中）在△中，内角对应的边分别为，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题：(1)求角的大小；(2)已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积.【解析】（1）选①，因为，所以，得，即，由正弦定理得：，因为，所以()，所以．选②，因为，所以，()得，即，，所以()，所以．选③，因为，所以，，，，，，即，因为，所以，所以．（2）在△中，由余弦定理，则，那么；由角平分线定理,则,那么.变式24．（2022·广东·高一阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，，，.(1)求角；(2)求的面积.【解析】（1）因为，所以由余弦定理可知：；（2）由正弦定理可知：，，，.变式25．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一阶段练习）的内角的对边分别为，已知(1)求角C；(2)若，的面积为，求的周长．【解析】（1）由已知由正弦定理，得，即．所以，又，所以；（2）由（1）知．所以，又，所以，所以，即．所以的周长为.变式26．（2022·四川泸州·高一期末）设内角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，且___________，求的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.①的面积为；②；③.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.【解析】（1）因为，由正弦定理可得，所以，在中，，所以，因为，所以；（2）若选①，因为的面积为，所以，所以.若选②，因为，所以，所以.若选③，由正弦定理，所以，，因为.所以，由余弦定理得：，即，所以，则或（舍去），所以的周长为.变式27．（2022·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）在中，角所对的边分别为，且(1)求角；(2)若，的面积为，求的周长．【解析】（1）由，根据正弦定理得：，又，代入上式得：，又，所以，又，所以；（2）由题意：的面积为：由余弦定理得：，即：，所以的周长为.【同步练习】一、单选题1．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）中，，的对应边分别为，，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（

）A．一个； B．两个； C．0个； D．无数个【答案】C【解析】有已知及余弦定理可得：故所以方程无实数根.故选：C2．（2022·全国·高一课时练习）中，，，，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【解析】因为，，所以由正弦定理知：，所以.故选：B3．（2022·江苏苏州·高一期末）已知的内角所对的边分别为，若，则（

）A． B． C．6 D．【答案】A【解析】由正弦定理，整理得故选：A．4．（2022·山东临沂·高一期末）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（

）A．25m B．30m C．35m D．40m【答案】B【解析】如图所示，设水柱CD的高度为h，在ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h，∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°，又∵B，A，C在同一水平面上，∴是以C为直角顶点的直角三角形，在中，∠CBD=30°，∴BC=，在中，由余弦定理可得，∴，即，解得．∴水柱的高度是30m，故选：B.5．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知中，，则角A等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由中，可得,由于,故,故选：A6．（2022·浙江杭州·高一期中）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（

）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形【答案】A【解析】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；若，由正弦定理得，即，，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．故选：A．7．（2022·湖南·长沙一中高一期末）在中，内角的对边分别为若的面积为，且，，则外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由及，得，所以，即，于是有，因为，所以，所以外接圆的半径为，所以外接圆的面积为．故选：B.8．（2022·河南洛阳·高一期末（文））在中，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，若，且，则的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】得，又，所以.在中，由正弦定理得：所以，所以.故当，即时，取得最大值故选：D二、多选题9．（2022·山东·聊城二中高一阶段练习）已知的斜边长为2．则下列关于的说法中，错误的是（

）A．周长的最大值为 B．周长的最小值为C．面积的最大值为2 D．面积的最小值为1【答案】BCD【解析】由题知，设斜边为，则，．先研究面积：，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值是1．C、D选项都是错误的；再研究周长：，，，，，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为，周长的最大值为，故B选项错误.综上，选BCD．故选：BCD10．（2022·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则B等于（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】因为，由正弦定理，可得，又，所以或．故选：CD.11．（2022·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则是钝角三角形C．若，则为等腰三角形D．若，则符合条件的有两个【答案】AB【解析】对A选项，根据结论大角对大边，则有，又因为正弦定理，所以，故A正确；对B选项，由可得，，为钝角三角形，故B正确:对C选项，由可得，，或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误；对D选项，由正弦定理得，故不存在满足条件的，故D错误.故选：AB.12．（2022·福建福州·高一期末）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已