10极坐标与参数方程

10极坐标与参数方程1．（2023·贵州·统考模拟预测）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）且曲线经过坐标原点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求的极坐标方程；(2)点极坐标为为上的一点，且满足，求．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先根据参数方程消去参数得到普通方程，再利用化为极坐标的公式可得极坐标方程；（2）设出的坐标，利用余弦定理可求出答案.【详解】（1）由曲线的参数方程消去参数后得，的普通方程为，由曲线过原点且得；故的普通方程为，把，代入得的极坐标方程为．（2）由题意，在极坐标系中，点在曲线上，设．在中，由余弦定理有，即，化简得．故或．2．（2023·陕西榆林·统考三模）在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线M，N的极坐标方程；(2)若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线和的极坐标方程；（2）将代入曲线和的方程，求得和，结合题意求得，即可求解.【详解】（1）解：由，可得，即，又由，可得，所以曲线M的极坐标方程为．由，可得，即，即曲线N的极坐标方程为.（2）解：将代入，可得，将代入，可得，则，因为，所以，又因为，所以．3．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，常数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程；(2)若直线和相交于两点，以为直径的圆与直线相切，求的值.【答案】(1)的极坐标方程为，，的直角坐标方程为(2)【分析】（1）消去参数得到的普通方程，再利用公式得到极坐标方程，注意定义域，再求出的直角坐标方程；（2）将代入的极坐标方程，求出的坐标，得到为直径的圆的圆心和半径，根据相切关系得到方程，求出答案.【详解】（1）将曲线的参数方程消去，得的普通方程为，且因为，所以，将，，代入，得，即，，即为的极坐标方程，由直线的方程化简得，化简得，即为的直角坐标方程.（2）将直线代入，得，即.故以为直径的圆圆心为，半径.圆心到直线的距离，由已知得，解得.4．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中.(1)求的普通方程与直线的直角坐标方程；(2)直线与曲线交于A，两点，且A，两点对应的极角分别为，，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程、普通方程的转化即可得出结果；（2）先将的极坐标方程写出，再与联立解方程，由图象分析即可得出结果.【详解】（1）由得，消去得为的普通方程；由，得，令，，得为直线的直角坐标方程.（2）在中，令，，所以，即为的极坐标方程，联立得，所以，所以，又，所以，所以或或或，解得或或或，由图可知，两交点位于第一、四象限，所以或，所以.5．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线及曲线的直角坐标方程；(2)设点在曲线上，点在曲线上，求的最小值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由曲线的参数方程通过将两个式子两边分别平方再相减可消去参数，得到曲线的普通方程；对于曲线先化为，再利用公式直接化为直角坐标方程即可；（2）根据曲线是以为圆心，的圆，则，设，利用两点距离公式建立，令，从而利用二次函数即可求得最小值.【详解】（1）由变形得，则有曲线的直角坐标方程为，，即，由代入得，，曲线的直角坐标方程为；（2）由（1）得曲线是以为圆心，的圆，设，则，设，当时，，.6．（2023·河南·校联考模拟预测）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程；(2)已知点，曲线与相交于两点，求.【答案】(1)曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为(2)【分析】（1）根据曲线的参数方程，消去参数求得曲线的普通方程，再由曲线的极坐标方程，结合直角坐标与极坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程化简为标准的参数方程（为参数），代入曲线，结合参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）解：由曲线的参数方程为（为参数），消去参数得；又由曲线的极坐标方程为，即根据，可得曲线直角坐标方程为.（2）解：曲线的参数方程为（为参数），即（为参数），代入，整理得，所以，.故.7．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；(2)设点，曲线，的交点为A，，求的值.【答案】(1)详见解析；(2)5【分析】（1）利用参数方程与直角坐标方程的互化规则求得曲线的普通方程；利用极坐标与直角坐标的互化规则求得曲线的直角坐标方程；（2）先利用点M求得曲线的参数方程，再利用参数t的几何意义和一元二次方程根与系数关系即可求得的值.【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），则曲线的普通方程为；曲线的极坐标方程为，即，则曲线的直角坐标方程为，整理得；（2）曲线的普通方程为，点在曲线上，则曲线的一个参数方程为（为参数），代入，整理得，A，对应的参数分别为，则，则.8．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知点在曲线上．(1)求动点的轨迹C的参数方程，并化为直角坐标方程；(2)过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率．【答案】(1)参数方程为，为参数；直角坐标方程为(2)【分析】（1）先将曲线化为参数方程，可得到动点，从而得到点M的轨迹C的参数方程，再转化为直角坐标方程即可；（2）先设l的参数方程，再代入曲线C的方程得，再结合韦达定理和同角三角函数的基本关系求解即可．【详解】（1）由题意，曲线的参数方程为，为参数，则，再设，则，为参数，消去参数，得到，故点M的轨迹C的方程为．（2）设l的参数方程为（t为参数），且，代入曲线C的方程得，设A，B两点对应得参数分别为，，则，所以，则，即直线l的斜率为．9．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．(1)求曲线的极坐标方程；(2)已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）消去参数，即可到曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，再将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，再求点到直线的距离的最小值．【详解】（1）由，可得，将两式平方相加可得，，所以的普通方程为，即所以曲线以为圆心，半径为2的圆，由，，可得可化为，所以曲线的极坐标为．（2）直线的极坐标方程为，直线的普通方程为，因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，因为，所以圆与直线相离，所以圆上的点到直线的距离的最小值为．10．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知直线l与x轴的交点为P，l与C交于A，B两点，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由曲线C的参数方程为（为参数），利用平方关系消去即可；由l的极坐标方程转化为，再将，代入求解；（2）由点P的坐标为，可设直线l的参数方程为（t为参数），代入C的普通方程，利用直线参数的几何意义求解.【详解】（1）解：由题得，C：，故C的普通方程为．l的极坐标方程转化为，即将，代入l的直角坐标方程为．（2）可知点P的坐标为，故可设直线l的参数方程为（t为参数）,代入C的普通方程得：，整理得，，设点A，B对应的参数分别为，，则，，故．11．（2023·河南·校联考模拟预测）在直线坐标系中国，曲线的参数方程为（为参数且），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，且，直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；(2)若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)；，(2)【分析】（1）应用参数方程和普通方程及极坐标方程和普通方程间的互化可得；（2）根据直线和抛物线有公共点求参数范围即可.【详解】（1）且，得，，∴，即，∴直线的直角坐标方程为；由得，则，又，∴曲线的普通方程为，.（2）将代入，整理得，，，则，∴实数的取值范围为.12．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；(2)设、分别为曲线和直线上的任意一点，求的最小值.【答案】(1)曲线的普通方程为或，直线的直角坐标方程为(2)【分析】（1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出直线的普通方程；（2）设是曲线上任一点，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】（1）解：由，消去，得或.由，得，将，代入，得.故曲线的普通方程为或，直线的直角坐标方程为.（2）解：设是曲线上任一点，则点到直线的距离为，所以当，即时，点到直线的距离最小，即取得最小值为.13．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）在直角坐标系中，，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆锥曲线的极坐标方程为，､为的左､右焦点，过点的直线与曲线相交于A，两点.(1)当时，求的参数方程；(2)求的取值范围.【答案】(1)（为参数）(2)【分析】（1）利用，代入曲线的极坐标方程可得其直角坐标方程可得、、的坐标，求出直线的斜率、倾斜角，在上任取一点，设有向线段的长为可得直线的参数方程；（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，设，对应的参数分别为，，根据的值可得答案.【详解】（1），，曲线的直角坐标方程为，即，，，，直线的斜率：，时，直线的倾斜角为，在上任取一点，设有向线段的长为，则直线的参数方程为（为参数）；（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，即，设，对应的参数分别为，，则，故,因为，所以，则，故，所以.14．（2023·河南周口·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，动点到定点的距离为，记动点的轨迹为曲线.(1)求直线的普通方程，曲线的直角坐标方程与极坐标方程；(2)设点，且直线与曲线交于，两点，求的值.【答案】(1)；；.(2)6【分析】（1）根据直线的参数方程消去参数，可得普通方程；根据动点到定点的距离为，可得曲线的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的转化公式可得其极坐标方程.（2）求出直线l的参数方程，联立曲线的直角坐标方程，可得根与系数的关系式，表示出，进行化简求值，可得答案.【详解】（1）因为直线l的参数方程为(t为参数)，所以消去参数t，得直线l的普通方程为.点N的直角坐标为，由题意知,设，则即，即曲线C的直角坐标方程为,因为，所以曲线C的极坐标方程为.（2）由题意可知，点在直线l上，直线l的参数方程为，(s为参数)，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中得，化简得，设两点对应的参数分别为，则，所以.15．（2023·甘肃武威·统考三模）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，且），为曲线上任意一点，若将点绕坐标原点顺时针旋转得到点，点的轨迹为曲线．(1)以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；(2)已知点，直线与曲线交于，两点，求的值．【答案】(1)，其中(2)【分析】（1）将的参数方程转化为普通方程，再转化为基座不服从，设点的极坐标，表示点的极坐标，代入的极坐标方程，化简；（2）根据直线参数方程的几何意义直接求值.【详解】（1）由曲线的参数方程（为参数，且）可知的普通方程为，，曲线是以为圆心，为半径的圆在轴及上方的部分．故曲线的极坐标方程：，，又因为点为曲线上任意一点，将点绕坐标原点顺时针旋转得到点，设点，则点，代入曲线得到，所以曲线的极坐标方程为，其中；（2）由（1）的极坐标方程为，，得其直角坐标方程为，，因为直线经过点，故设过的直线的参数方程为：（为参数），代入曲线的普通方程得：，此方程的两个根，为，两点对应的参数，且，，所以，，所以．16．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，直线l的普通方程为．(1)将C的极坐标方程化为参数方程；(2)设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程并判断与l的位置关系．【答案】(1)其中为参数(2)其中为参数,与l相离．【分析】（1）根据极坐标方程转化为直角坐标方程再转化为参数方程即可；（2）根据参数方程和向量的坐标形式转化关系，以及参数方程转化为直角坐标方程和直线与圆的位置关系即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，整理得，曲线C的直角坐标方程为，所以其中为参数．则对应的参数方程为其中为参数．（2）由（1）参数方程可设，则由，得其中为参数．对应的直角坐标方程为，圆心到l距离，则与l相离．17．（2023·江西南昌·统考二模）“太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．在平面直角坐标系中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，其中黑、白区域分界线，为两个圆心在轴上的半圆，在太极图内，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求点的一个极坐标和分界线的极坐标方程；(2)过原点的直线与分界线，分别交于，两点，求面积的最大值．【答案】(1)，：(2)【分析】（1）由直角坐标和极坐标的互化公式转化即可；（2）由图形对称性知，，在极坐标系中，求，并求其最大值即可.【详解】（1）设点的一个极坐标为，，，则，，∵点在第三象限，∴，∴点的一个极坐标为.∵“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，∴分界线的圆心直角坐标为，半径为，∴的直角坐标方程为（），即（），将，，代入上式，得，，化简，得分界线的极坐标方程为，.（2）∵在上，∴设点的极坐标为，则，，∴的面积∵，∴，∴当，即时，的面积的最大值为.∵直线过原点分别与，交于点，，∴由图形的对称性易知，，∴面积，∴面积的最大值为.18．（2023·陕西安康·统考三模）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)若射线（其中，且，）与曲线在轴上方交于点，与直线交于点，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）采用代入消参方法可得直线的普通方程，结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）方法一：分别联立射线与曲线C及直线l的极坐标方程，得到，即可求得.方法二：分别联立射线与曲线C及直线l的直角坐标方程，得到M和N的点坐标，即可求得【详解】（1）由，得，即.故直线的普通方程是.由得，代入公式，得，∴，故曲线的直角坐标方程是.（2）方法一：由（其中，且，），得，.将射线代入曲线的极坐标方程，可得，∴.直线的极坐标方程为，将代入直线的极坐标方程可得，∴，∴.方法二：由题可得射线（其中，且，）的直角坐标方程为.联立，解得，则点.联立解得，则点.∴.19．（2023·内蒙古呼和