332抛物线的简单几何性质(精讲)-2022-2023学年高二数学上学期讲与练(人教A版2019选择性)

3.3.2抛物线的简单几何性质一、四种抛物线的几何性质标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形范围对称轴焦点坐标准线方程顶点坐标离心率通径二、焦半径公式设抛物线上一点的坐标为，焦点为.1、抛物线，.2、抛物线，.3、抛物线，.4、抛物线，.【注意】三、直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.2、以抛物线与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，若，直线与抛物线有两个交点；若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若，直线与抛物线没有交点.（2）直线的斜率存在.设直线，抛物线，直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，即二次方程（或）解的个数.①若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当时，直线与抛物线相切，有个公共点；当时，直线与抛物线相离，无公共点.②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.四、直线与抛物线相交弦长问题1、一般弦长设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为.（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）.（2）,推导：由题意，知，①②由①②，得.故，即.（3）直线的方程为.2、焦点弦长如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，根据抛物线的定义有，，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；（1）以为直径的圆必与准线相切.（2）(焦点弦长与中点关系)（3）.（4）若直线的倾斜角为，则.（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.（6）为定值.题型一由抛物线解析式研究其几何性质【例1】对抛物线，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为【答案】A【解析】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A.【变式11】下列命题中正确的是（）A．抛物线的焦点坐标为．B．抛物线的准线方程为x=−1．C．抛物线的图象关于x轴对称．D．抛物线的图象关于y轴对称．【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为，故A错误；抛物线的准线方程为，故B错误；抛物线的图象关于x轴对称，故C正确，D错误；故选：C.【变式12】下列抛物线中，开口最小的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于对于抛物线的标准方程中，开口最大：说明一次项的系数的绝对值最小，观察四个选项发现：A选项平方项的系数的绝对值最小，本题选择A选项.【变式13】在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，方程表示焦点在轴上的椭圆，得表示焦点在轴上开口向左的抛物线.故选：D.题型二由抛物线的几何性质求标准方程【例2】以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或．故选：C．【变式21】抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意设出抛物线的方程，因为点在抛物线上，所以有，解得，所以抛物线的方程是：，故选：B.【变式22】抛物线顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上．则抛物线方程为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】由顶点在原点、对称轴为轴可知，抛物线方程为．在中，令，得焦点为，故．故答案为D【变式23】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】将转化为,当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.所以抛物线的方程为或故选：D题型三直线与抛物线的位置关系判断【例3】设直线，抛物线，当为何值时，与相切？相交？相离？【答案】当时，与相切；当时，与相交；当时，与相离.【解析】联立方程，得消去并整理，得.当时，方程为一元二次方程.所以.当，即时，与相切；当，即且时，与相交；当，即时，与相离.当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点.综上所述，当时，与相切；当时，与相交；当时，与相离.【变式31】直线与抛物线的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【解析】直线过定点，∵，∴在抛物线内部，∴直线与抛物线相交，故选：A．【变式32】过点与抛物线只有一个公共点的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条【答案】C【解析】由已知，可得①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，，，解得，故直线方程.所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点.故选：C.【变式33】直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（）A．B．，C．，D．或【答案】D【解析】当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；当时，由可得：，若直线与抛物线有且只有一个公共点，则，整理可得：，所以，综上所述：或，故选：D.【变式34】抛物线上的点到直线的最短距离是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】，无解，故直线与抛物线没有公共点,如图所示.设直线与抛物线相切，则直线与的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，，则，，所以两平行直线与的距离为：.故选：B.题型四直线与抛物线相交弦长问题【例4】已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（）A．1B．3C．6D．8【答案】D【解析】由题意可知，所以直线与的方程为，联立直线方程和抛物线方程，可得，设则，所以.故选：D.【变式41】过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为_________.【答案】【解析】设P，Q，则，过抛物线y2=4x的焦点（1，0），倾斜角为的直线为xy1=0，即x=1+y，代入y2=4x得：，即，∴，∴∴【变式42】入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线：上一点，反射光线与抛物线交于点，则的值为（）A．4B．C．2D．【答案】B【解析】易得的纵坐标为，代入可得.根据抛物线的光学性质可得，因为入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线，故反射光线经过抛物线的焦点，故的斜率为.设，则直线的方程为，联立可得，故故选：B【变式43】已知直线与抛物线相交于两点，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，直线不可能与轴平行，设直线的方程为，由，消去，得，设，则，所以，因为，所以，解得或（舍），，当且仅当即时，取的最小值为,所以的最小值为,故选：C.题型五抛物线的中点弦及点差法【例5】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（）A．4B．2C．1D．【答案】B【解析】设，，∵是AB的中点，∴，由，相减得，所以直线的斜率，故选：B．【变式51】已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，则，，所以，即，因为AB的中点为，，所以直线的斜率，所以直线的方程为，所以焦点到直线的距离，故选：A.【变式52】已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则()A．6B．7C．9D．10【答案】D【解析】焦点为，p＝4，设的中点为，∴，∴，即，故，由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，故，故，∴，∴．故选：D．【变式53】经过抛物线：的焦点作直线与抛物线相交于､两点.若，则线段的中点的纵坐标为（）A．B．3C．D．4【答案】B【解析】由题可得抛物线标准方程为，设，因为直线过抛物线焦点，所以，所以，中点，所以中点纵坐标为3，故选：C题型六抛物线中的定点定值最值问题【例6】已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，满足．（1）求抛物线的方程；（2）过点且斜率为的直线被抛物线截得的弦为，若在以为直径的圆内，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，则直线的方程为．联立可得，，设、，则．由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为．（2）由题意知直线的方程为，联立得，由，得．设、，得，．又，所以，．因为点在以为直径的圆内，所以为钝角，即，得，解得.因为，所以的取值范围为．【变式61】已知、、，圆，抛物线，过的直线与抛物线交于、两点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若直线与圆交于、两点，记面积为，面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设、，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，与联立得，所以，，因为，解得，故抛物线的方程．（2）由，，得，设直线的方程为，即，则原点到直线的距离，得，，联立可得，即点，所以，则且，则，令，则，，则，综上，的取值范围为．【变式62】如图，已知抛物线，为抛物线焦点，点，,直线交抛物线于点，抛物线上的点（），过点作直线的垂线，垂足为.（1）求抛物线的方程；（2）求点到直线距离的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，到准线的距离等于，故，；（2）由题意知，则，故，整理可得，联立方程，整理得，可得.∴，由题意，抛物线上（），过作直线的垂线，垂足为.∴，可得，设到的距离为，则有，，当且仅当时取等号.【变式63】设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于、两点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若直线平分线段AB，求直线的倾斜角；（3）若点M是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分别为、、．求证：当时，为定值．【答案】（1）；；（2）或；（3）证明见解析.【解析】（1）设直线的方程为，代入，可得，所以，又，所以，又，可得，所以抛物线的方程为；（2）由（1）可知，设点D是线段AB的中点，则有，，由题知点D在直线上，所以，得或，设直线l的倾斜角为，则或，又，故直线的倾斜角为或；（3）由题可知，抛物线的准线方程为，所以，可得，即，由上知，又，所以，所以为定值．【变式64】已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.（1）求抛物线E的标准方程；（2）（ⅰ）求证：直线过定