清单08锐角三角函数（8个考点梳理题型解读核心素养提升中考聚焦）

清单08锐角三角函数（8个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）【知识导图】【知识清单】考点一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。【例1】（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项．【详解】解：，，故A选项正确，不符合题意；CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，，故B选项不正确，符合题意；，即，故C选项正确，不符合题意；，即,又故D选项正确，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键．【变式1】（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°，AC＝3，AD＝2，则sinB的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将求sinB的值转化为求sin∠ACD的值，然后根据角的正弦值与三角形边的关系，求角的正弦值．【详解】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°∴∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°∴∠B＝∠ACD．∴sinB＝sin∠ACD＝AD：AC＝2：3．故选：A．【点睛】本题利用了锐角三角函数的概念和在直角三角形中，同角的余角相等而求解．【变式2】．（2022·河南·油田十中九年级期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出的正弦值．【详解】解：如图，连接、．和所对的弧长都是，根据圆周角定理的推论知，．在中，根据锐角三角函数的定义知，，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求的正弦值转化成求的正弦值，本题是一道比较不错的习题．考点二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°【例2】（2022·广西·平果市教研室九年级期末）计算：．【答案】【分析】分别计算负指数幂、三角函数值、根式化简、去绝对值，然后计算即可．【详解】解：原式=====【点睛】本题考查了与负指数幂、特殊角三角函数值、二次根式化简、绝对值化简相关的实数混合运算，熟练掌握相关知识并正确运算是解题关键．【变式1】（2022·四川乐山·九年级期末）在中，若，，都是锐角，则是______三角形．【答案】等边【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断的形状．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴∠A=60°，∠B=60°，∴是等边三角形．故答案为：等边．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．【变式2】（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）计算：【答案】3【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质及负指数幂运算法则进行计算，再合并即可．【详解】解：原式====3【点睛】本题主要考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、二次根式的性质及负指数幂，解决本题的关键是熟练掌握相关实数运算的法则．考点三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.【例3】（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得．【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，设AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC=45°，，∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=，BE=，∴CE=BC+BE=3a，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．【变式】（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）如图，把一个量角器与一块30°（）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有点P恰好是量角器的半圆弧中点，连结CP．若BC＝4，则CP的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，记CP与AB的交点为H，过H作于I，作于J，在量角器所在的半圆Q上，而P为的中点，可得设则求解可得CH，同理可得PH，从而可得答案．【详解】解：如图，记CP与AB的交点为H，过H作于I，作于J，∵为半圆的直径，∴在量角器所在的半圆Q上，而P为的中点，∴∵∴设则∴解得：∴同理可得：∴同理可得：而∴∴故答案为：C【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，圆周角定理的应用，解直角三角形，理解题意，证明在量角器所在的半圆Q上是解本题的关键．考点四、仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．【例4】（2022·江苏淮安·九年级期末）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．【答案】灯杆AB的长度为2.8米．【分析】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．设AF＝x知EF＝AF＝x、DF＝＝，由DE＝13.3求得x＝11.4，据此知AG＝AF−GF＝1.4，再求得∠ABG＝∠ABC−∠CBG＝30°可得AB＝2AG＝2.8．【详解】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．设AF＝x．∵∠E＝45°，∴EF＝AF＝x．在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝，∴DF＝＝＝，∵DE＝13.3，∴x+＝13.3．∴x＝11.4．∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．∵∠ABC＝120°，∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．∴AB＝2AG＝2.8，答：灯杆AB的长度为2.8米．【点睛】本题主要考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．【变式1】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，小明同学在民族广场处放风筝，风筝位于处，风筝线长为100m，从处看风筝的仰角为30°，小明的父母从处看风筝的仰角为50°．求、相距多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1m）【答案】【分析】如图，过作于，，在中，，求出的值，在中，，求出的值，然后根据计算求解即可．【详解】解：如图，过作于，∴，在中，∵，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，∴．即A、C相距约．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于根据三角函数值求的值．【变式2】（2022·湖南岳阳·九年级期末）如图：聪聪的做法：第一步：他在地面上B点处测得大树顶端的仰角为35°，第二步：他继续向大树方向走8m到达D点时，又测得遮挡物E点的仰角为60°，（已知A、E、M三点共线，聪聪的眼睛距地面的高度保持不变且为1.6m，遮挡物EF与大树MN的距离FN=6m，EF⊥BN，MN⊥BN，（B，D，F，N在同一水平线上）．第三步：计算出大树的高MN．请你根据聪聪做法，计算出大树大概有多高？（结果精确到1m）．（参考数据：，，，）【答案】15m【分析】延长AC交EF于P，交MN于Q，则QN=AB=1.6m，PQ=FN=6m，由锐角三角函数的定义求得，设CP=xm，则，再由锐角三角函数得到，解得x=5.6，求得AQ，然后由锐角三角函数定义求出的长即可求解．【详解】解：延长AC交EF于P，交MN于Q，如图所示：则QN=AB=1.6m，PQ=FN=6m，在Rt△ECP中，∠ECP=60°，，∴，设CP=xm，则，∴，，∵，∴，解得：x=5.6，∴AQ=19.6m，∵，∴，∴，答：大树的高MN约为15m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题及锐角三角函数定义，正确地作出辅助线构造直角三角形求解是解题的关键．考点五、坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．【例5】（2022·四川资阳·九年级期末）如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是，前进20米后到达旗台的底端B处，测得旗杆顶端N点的仰角是，继续沿着坡比为的斜坡BC上升到C处，此时又测得旗杆顶端N点的仰角是，旗杆MN垂直于水平线AD，点A、B、D在同一直线上，CM//AD，求旗杆MN的高度．【答案】MN米【分析】过点C作CE⊥AD于点E，先证CN＝CB，令CM＝x米，则CN＝CB＝2x米，MN米，再由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AD于点E，∵CM∥AD，∠D＝90°，∴∠CMN＝∠D＝90°，∵∠NCM＝60°，∴∠CNM＝90°﹣∠NCM＝30°，∴CN＝2CM，又∵∠NBD＝45°，∠D＝90°，∴∠BND＝90°﹣∠NBD＝45°，∴∠BNC＝15°，∵BC的坡比为CE：BE，∴tan∠CBE，∴∠CBE＝30°，∴∠CBN＝15°＝∠BNC，∴CN＝CB，令CM＝x米，则CN＝CB＝2x米，MN米，又∵，∴CECB＝x（米），BE（米），∴ND＝MN+MD＝MN+CE＝（1）x（米），∵AB＝20米，∴AD＝AB+BE+ED＝AB+BE+CM＝[20+（1）x]（米），又∵∠A＝30°，∴，即，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴MN米，答：旗杆MN的高度为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和坡度坡角的定义，正确作出辅助线是解题的关键．【变式1】（2022·安徽·蚌埠市新城区实验学校九年级期末）如图，旗杆竖立在斜坡的顶端，斜坡长为65米，坡度为．小明从与点相距115米的点处向上爬12米到达建筑物的顶端点．在此测得旗杆顶端点的仰角为39°，求旗杆的高度．（参考数据：，，）【答案】24.9【分析】过点B作CD的垂线，设垂足为F，再过点E作EG⊥BF，垂足为G，依题意分别求出线段BF、CF、DF、AG的长度，即可求得旗杆的高度AB．【详解】解：过点B作CD的垂线，设垂足为F，再过点E作EG⊥BF，垂足为G，如图，∵斜坡CB长为65米，坡度为i＝，设BF=12x，则CF=5x，∴，解得x=5，∴BF=60，CF=25，∵DC=115，∴EG=DF=11525=90，在中，，∴AG=，∴AB=AG+FGBF=72.9+1260=24.9，答：旗杆的高度AB为24.9米．【点睛】本题考查了坡度的定义，锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，解题的关键是准确作出辅助线，构造直角三角形．【变式2】（2022·山东威海·九年级期末）某风景管理区，为提高旅游安全性，决定将到达景点步行台阶的倾角由45°改为30°，已知原台阶坡面AB长为5m（BC所在地面为水平面），调整后的台阶坡面为AD．求：(1)调整后的台阶坡面会加长多少？(2)调整后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到0.1m，参考数据：，）【答案】(1)2.1m(2)2.6m【分析】（1）先解直角△ABC求出AC的长，再解直角△ADC求出AD的长即可得到答案；（2）分别解直角三角形求出CD，BC的长即可得到答案．（1）解：由题意得，∠ABC=45°，∠ACB=90°，∠ADC=30°，∴在Rt△ABC中，．∴在Rt△ADC中，．∴，答：调整后的台阶坡面会加长2.1m；（2）解：在Rt△ADC中，，在Rt△ABC中，∴．答：调整后的台阶多占水平地面2.6m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键．考点六、方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．【例6】（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，是湿地公园里的一条环形跑道，B在A的正南方．一天，李老师从起点A出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C在他的东南方向，他以每分钟80米的速度，沿AB方向跑了15分钟后到达健身跑道的B处，此时他发现公园中心塔C在他的南偏东75°方向．（A，B，C在同一平面内，参考数据：，）(1)求BC的长；（结果保留整数）(2)为了满足市民健身的要求，政府决定对健身跑道进行扩建．计划将跑道AB段继续向正南方向延伸至D处，再将DC连接起来组成新的环形跑道．若在D处测得C在D的北偏东60°方向．若预计修建跑道的成本为每米60元，政府拨付改建费20万元，则此次政府拨付改建费用是否足够？请通过计算说明理由．【答案】(1)跑道BC的长为1697米(2)此次改建费用足够，理由见解析【分析】（1）作构造直角三角形后，利用特殊角的三角函数求解即可．（2）先画出图形，再通过构造直角三角形进行求解，得出需要修建的跑道总长，计算出总费用进行比较即可．【详解】（1）由题意得：，，米过点B作于点，∴，在中，，∴，在中，，∴（米）答：跑道BC的长为1697米．（2）如图，过点B作于点G，∴，∵，∴∴在中，，∴∴，．在中，，∴，，∴总道路长为．∴总共花费：．答：此次改建费用足够．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，解题关键是能正确理解题意，做出辅助线，构造直角三角形，并解直角三角形．【变式】（2022·安徽合肥·九年级期末）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50米，求古树C、D之间的距离。(结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32)【答案】62.9米【分析】过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到BE=CF，CE=BF，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCE是矩形，∴BE=CF，CE=BF，∵∠CAF=45°，∠AFC=90°，∴CF=AF=AC=50，∵∠CBF=63.5°，∴（米），∵CD∥AB，∴∠D=53°，∵∠BED=90°，∴（米），∴CD=CE+DE=62.9（米），答：古树C、D之间的距离约为62.9米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．考点七、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.【例7】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（

）．

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点到直线距离为米，在中，，在中，，由题意得，，解得，（米，故选：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．【变式】．（2021春·浙江杭州·九年级期末）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A、B两点的俯角分别为60°和45°．若飞机离地面的高度CO为900m，且点O，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_______．（结果保留根号）【答案】（900﹣300）米【分析】根据平行线的性质可得∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°，然后根据锐角三角函数求出AO和OB，即可求出结论．【详解】解：由于CD∥OB，∴∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°在RtACO中，∠CAO＝60°∴AO＝＝300米，在RtOCB，∠B＝45°∴OB＝=900（米）．∴AB＝OB﹣OA＝（900﹣300）（米）故答案为：（900﹣300）米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是利用锐角三角函数求出AO和OB．考点八、解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．【例8】（2021·浙江·九年级期末）定义：三角形内部有一小三角形与原三角形相似，其中小三角形的三个顶点在原三角形的三边上（顶点可重合），则称这两个三角形是星相似三角形例如：如图1，中，，和是星相似三角形．如图2，是的中点，以为直径画圆，交，于点，，．（1）①若，求的长．②设，，试写出与的函数关系式．（2）若，则与哪个三角形星相似，并证明．（3）在（2）的条件下，求的长．【答案】（1）①；②；（2）△CEG与△FEC星相似，证明见解析；（3）．【分析】（1）①利用勾股定理和等面积法即可求得CE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD，在利用勾股定理即可求得DE；②证明△FOG∽△EDG，可得，再解直角三角形求得DE和FO，即可求得与的函数关系式；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边对等角可得∠BCE=∠CGE，从而可证明△FEC∽△CEG，即△CEG与△FEC星相似；（3）可利用三角形外角的性质证明∠GCE=∠GDE，从而可得EC=ED=m，从而可得，，解直角三角形即可得出．【详解】解：（1）①在Rt△ABC中，，，∴，∵D为AB的中点，∴，∵，在Rt△ABC中，，即，解得，∴；②连接OF，∵OF=OC，∴∠DCB=∠OFC，由①可得BD=CD，∴∠DCB=∠B，∴∠OFC=∠B，∴△FOG∽△EDG，∴，∵CB=x，∴，，，，即，解得，，∴；（2）△CEG与△FEC星相似，由（1）可知OF//CD,又∵O为CD的中点，∴OF为△CBD的中位线，F为BC的中点，∵∠CEB=180°∠CEA=90°,∴,∴∠BCE=∠FEC，∵CG=CE，∴∠CGE=∠FEC，∴∠BCE=∠CGE，∵∠FEC=∠FEC，∴△FEC∽△CEG，∴△CEG与△FEC星相似；（3）∵CD=BD，BF=EF，∴∠B=∠FCD=∠DEG，∵∠FCE=∠FCD+∠GCE，∠CGE=∠DEG+∠GDE，∴∠GCE=∠GDE，∴EC=ED，设CE=m，则DE=m，，，，即，解得．【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线和三角形中位线定理等．熟练掌握相关定理，正确作出辅助线并能正确表示对应线段的长度是解题关键．【变式】．（2022·江苏江苏·九年级期末）如图1，是支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中长为，长为，，．(1)点D到的距离为_____；(2)求点D到的距离．【答案】(1)6(2)【分析】（1）过点D作于F，则点D到的距离为DF的长度，根据题意得到，设，在中，，利用勾股定理即可求得答案；（2）过点B作于B，过点D作于H，过点D作于F，过点D作于G，则四边形DFBH是矩形，点D到的距离是DG的长度，先证DF是BC的垂直平分线，又得，可证四边形GHBF是正方形，即可得到，设，则，在中，利用勾股定理得出，在中，再利用锐角三角函数得出长度，即点D到的距离．（1）解：过点D作于F则点D到的距离为DF的长度设在中，即点D到的距离为6cm故答案为：6；（2）过点B作于B，过点D作于H，过点D作于F，过点D作于G则四边形DFBH是矩形，点D到的距离是DG的长度由（1）得DF是BC的垂直平分线四边形GHBF是正方形设，则在中，在中，所以，点D到的距离为．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、正方