高考理科数学二轮复习讲义：离散型随机变量及其分布

第五讲离散型随机变量及其分布

考情分析明确方向

V

年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养

I卷二项分布、期望及应用120命题分析

2018

III卷二项分布及方差的计算-T8概率、统计的解答题多在第18或19

正态分布、二项分布的性质及概率、方题的位置，多以交汇性的形式考查，

I卷

差，T19交汇点主要有两种(频率分布直方

2017n卷二项分布的方差计算丁13图与茎叶图)择一与随机变量的分

频数分布表、概率分布列的求解、数学布列、数学期望、方差相交汇来考

in#

期望的应用118查；(频率分布直方图与茎叶图)择

柱状图、相互独立事件与互斥事件的概一与线性回归或独立性检验相交汇

I卷

率、分布列和数学期望疗19来考查，难度中等.

学科素养

2016

互斥事件的概率、条件概率、随机变量主要通过离散型随机变量及其分布

II卷

的分布列和数学期望118考查学生数学抽象、数学建模及数

学运算核心素养.

考点一•讲练结合・

条件概率、相互独立事件概率、独立重复试验

授课提示：对应学生用书第71页

［悟通——方法结论］

1.条件概率的两种求法

(1)利用定义，分别求P(/)和尸(/2),利用公式尸(3⑶二^^7,这是常用的方法.

(2)求出事件/包含的基本事件数〃(/),再求出事件/与事件3的交事件中包含的基本事件数n(AB),

利用P(3⑶=也幽可求得.

〃?4?

2.相互独立事件概率、独立重复试验

类型特点概率求法

P(AB)=P(A)P(B)

相互独立事件同时发生事件互相独立

(4,5相互独立)

P(X=k)=Cnpk(l—p)n~k

独立重复试验一次试验重复n次

⑦为发生的概率)

［全练——快速解答］

1.(2018•武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件N="4个

人去的景点不相同”，事件3="小赵独自去一个景点”，则P(4|8)=()

A.eqB.eqB.j

解析：小赵独自去一个景点共有4X3X3X3=108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有Al=

242

4X3X2X1=24种，：.P(A\B)=~=~.

1089

答案：A

2.(2018・南昌模拟)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基

础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选

一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是()

C-4D6

解析：记第z.名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件4,B“Ci,f=1,2,3.

由题意，事件4,Bi,佻=1,2,3)相互独立，则尸(4)=匆=’,尸(8)=%=匕P(G)=-=-,z=1,2,3,故

602603606

这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是尸=A§P(48C)=6><lxLxl=l.

2366

答案：D

3.某批花生种子，如果每1粒发芽的概率均为:，那么播下4粒种子恰好有2粒发芽的概率是()

A256n192

A.----B.----

625625

C型D亚

625625

解析：所求概率尸型.

625

答案：C

「/类题通法/

公式法求两类事件的概率

(1)求条件概率的关键是分清条件概率中的各个事件，利用公式时应注意两个方面的问题：一是注意

区分引/与/田，前者是在事件N发生的前提下事件8发生，而后者是在事件8发生的前提下事件/发生,

避免两者混淆.

(2)求相互独立事件与独立重复试验的概率时要注意两点：一是准确利用公式，如利用相互独立事件的

概率公式时，对应事件必须是相互独立的；二是注意两者的区别，不能乱用公式.

考点二•讲练结合・

二项分布与正态分布

授课提示：对应学生用书第71页

［悟通——方法结论］

1.判断二项分布的常用方法：

(1)若所考虑的试验可以看作是一个结果只有两种状态N与』，则〃次独立重复试验中A发生的次数

X就服从二项分布.

(2)凡是服从二项分布的随机变量一定只取有限个实数为其值，否则随机变量不服从二项分布.

2.正态分布

(1)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足尸(a<XW6)=错误!<pu”(x)dx,则称随机变量X服从正

态分布，记为X〜N(/i,a2).

(2)正态总体三个基本概率值

①尸a-<7〈XW〃+c)=0.6826；

②尸(u—2cr<XWxz+2cr)=0.9544；

③尸3cr<X4+3cr)=0.9974.

［全练——快速解答］

1.(2018・高考全国卷III)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为0,各成员的支付方式相互独

立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，£)X=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()

A.0.7B.0.6

C.0.4D.0.3

解析：由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即矛〜2(10,〃)，所以DX=

10p(l-/?)=2.4,所以p=0.4或0.6.

又因为P(X=4)〈尸(X=6),

所以小呼4(1一0)6<5呼6(1一04,所以。>0.5,所以0=0.6.

故选B.

答案：B

2.(2017・高考全国卷II)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取

100次，X表示抽到的二等品件数，则。X=.

解析：依题意，X〜8(100,0.02),

所以DX=100X0.02X(1—0.02)=1.96.

答案：1.96

3.某班有50名学生，期中考试的数学成绩X〜N(no,l()2),若尸(100WXW110)=0.2,则估计该班学

生数学成绩在120分以上的人数为.

解析：由题意，知正态曲线的对称轴为X=110,故PQ10WXW120)=尸(100WXW110)=0.2,所以尸(X

>120)=P(X2110)一尸(110WXW120)=0.5—0.2=0.3.所以该班学生数学成绩在120分以上的人数为

0.3X50=15.

答案：15

4.已知某厂生产的电子产品的使用寿命及单位：小时)服从正态分布N(1000,o2),且尸(X<800)=0.2,

P(XN1300)=0.02.

(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在口200,1300)的概率；

(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品的使用寿命在［800,1200)的件数为匕求丫的分布

列和数学期望

解析：(1)因为X~N(1000,o2),P(X<800)=0.2,P(X^1300)=0.02,

所以P(1200WXV1300)+P(X2l300)=P(XNl200)=尸(XV800)=0.2.

所以尸(1200WXV1300)=0.2-0.02=0.18.

故抽取的产品的使用寿命在［1200,1300)的概率为0.18.

(2)因为尸(800WXV1200)=1—2尸(XV800)=1—2X02=0.6,

所以y〜3(3,0.6).

尸(y=0)=C§x0.6°X(1-0.6)3=0.064,P(y=l)=dX0.6X(l-0.6)2=0.288,

P(y=2)=C?X0.62X(1-0.6)=0.432,P(y=3)=aX0.63X(l-0.6)°=0.216.

所以y的分布列为

Y0123

P0.0640.2880.4320.216

所以E(y)=3X0.6=1.8.

「/类题通法/-

在判断是否是二项分布时易忽视下列3个条件

(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的；

(2)各次试验中的事件是相互独立的；

(3)每次试验中只有两种结果：事件要么发生，要么不发生.

考点三•讲练结合•

离散型随机变量的期望与方差

授课提示：对应学生用书第72页

［悟通——方法结论］

1.离散型随机变量的分布列和概率性质

设离散型随机变量X的分布列为：

Xl・・・.・・

XX2XiXn

・・・・・・

pPiP2PiPn

则(1)口20,1=1,2,…，n；

(l)p\+p2~\-----------Fm=l；

(3)£(X)=Xipi+x202H----\~XiPiH------\~XnPn;

(4)。⑶=(xi—£⑶)如+(X2—E(㈤)力2+…+(x“—E(㈤)2”.

2.随机变量的数学期望与方差

⑴如果E(〃)和E©都存在，则£化+〃)=£©+£(〃).

(2)若〃=喈+6,则£(〃)=E(a，+6)=a£(J+6,£>(〃)=£>(党+6)=届0('.

(3)期望与方差的转化：£>©=£(一)—(£©)2.

(4)E《一E?=£(。-因为酸为一常数)=£(。—E©=0.

典例〉(2017•高考全国卷HI)(12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4

元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每

天需求量与当天最高气温(单位：。C)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于

区间［20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统

计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

?

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

这种酸奶一天的需求量X

(1)求六月份❷(单位：瓶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量”(单位：瓶)为

Y的数学期望达到最大值？

多少时，❸

［学审题］_______________________________________________________________________________

条件信息想到方法注意什么

想到表中最高气温与天数的关

信息？中结合频数分布表

系及气温与酸奶需求量关系

表示利润y时注意根据气温区

信息、?酸奶一天需求量利用表格中关系求解

间进行分类表示

用进货量〃表示EY建立函数关

信息？中求EF的最值

系可求解

［规范解答］(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500,

............................................................................(2分)

由表格数据知

P(X=200)=^p=0.2,尸(X=300)=*=0.4,P(X=500)=^^f=0.4........................(5分)

因此X的分布列为

X200300500

P0.20.40.4

............................................................................(6分)

(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200W为W500.

当300W/W500时，

若最高气温不低于25,则丫=6〃-4〃=2"；

若最高气温位于区间［20,25),则6X300+2(n-300)-4/?=1200-2M;

若最高气温低于20,则y=6X200+2(«-200)-4M=800-2n.

因此EY=2〃X0.4+(1200—2〃)X0.4+(800~2n)X0.2=640-0.4".

........................................................(9分)

当200W"<300时，

若最高气温不低于20,则丫=6"-4〃=2〃；

若最高气温低于20,则y=6X200+2(«-200)-4M=800-2«.

因止匕£y=2〃X(0.4+0.4)+(800—2〃)X0.2=160+1.2〃.

..............................................................................(11分)

所以〃=300时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元.

............................................................................(12分)

「/类题通法/-

求解离散型随机变量的期望与方差的解题模型

即先判断随机变量的分布是特殊的类型还是

先定型

一般的类型

0奇¥#<¥w欣不希「三航务希二■'万荷芬

再定性布等的期望与方差可以直接代入相应的公式

求解，而对于一般类型的随机变量，应先求

出其分布列，然后代入相应的公式计算

［练通——即学即用］

某市为了解“防震减灾”教育活动的成效，对全市公务员进行一次“防震减灾”知识测试，根据测

试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0

分.现随机抽取部分公务员的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示.

⑴求x,y,c的值；

(2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的公务员中选取10人进行座谈，现再从

这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为求。的数学期望£(。；

(3)某评估机构以指标M(M=喘；其中。©表示曲勺方差)来评估该市“防震减灾”教育活动的成效.若

MN0.7,则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整“防震减灾”教育方案.在(2)的条件

下，判断该市是否应调整“防震减灾”教育方案？

解析：(1)由频率分布直方图可知，得分在［20,40)的频率为0.005X20=0.1,

17

故抽取的答卷数为—=120.

0.1

由频率分布直方图可知，得分在［80,100］的频率为0.01X20=0.2,所以y=120X0,2=24,

又12+x+y+48=120,所以x=36.

2A

所以c=———=0.015.

120X20

(2)因为(12+x)：(48+y)=48：72=2：3,

所以抽取的10人中“不合格”的有4人，“合格”的有6人.

。的所有可能取值为20,15,10,5,0,

（）普丁（）臂v尸党.尸（­）噜=尢

尸口。）=就%p15=P1o=

所以软勺分布列为

20151050

18341

P

1421735210

所以£©=20义工+15x3+10x3+5xA+ox-^-n12.

1421735210

(3)由(2)可得，D(^)=(20-12)2X—+(15-12)2X—+(10-12)2X-+(5-12)2X—+(0-12)2X-=16,

1421735210

所以M=*^=U=0.75>0.7.

D?号16

故我们认为该市的“防震减灾”教育活动是有效的，不需要调整“防震减灾”教育方案.

/课后训练1提升能力练技巧：：：练方法

授课提示：对应学生用书第155页

一、选择题

1.将三颗骰子各掷一次，记事件4="三个点数都不同"，B="至少出现一个6点”，则条件概率

尸（/⑼，尸（3⑷分别是（）

A601口160

912291

「工60911

18912162

解析：尸（/0）的含义是在事件3发生的条件下，事件/发生的概率，即在“至少出现一个6点''的条

件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6X6X6-5X5X5=91种情况，“至

少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C，X5><4=60种情况，所以P〃5）=*.尸（2⑷的含义是在事

件A发生的情况下，事件2发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的

概率，所以⑷=；.

答案：A

2.（2018・包头铁路一中调研）甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为;,：,；，那么三人

中恰有两人合格的概率是（）

解析：三人中恰有两人合格的概率P=；X：X（1一1）+：X（1—；）X；+（1—：）X；X；=],故选c.

答案：c

3.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,

且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

A.0.648B.0.432

C.0.36D.0.312

解析：3次投篮投中2次的概率为P（左=2）=CgX0.62X（l—0.6）,投中3次的概率为尸（后=3）=0.63,所

以通过测试的概率为P佐=2）+尸（左=3）=0X0.62X（1—0.6）+06=0.648.

答案：A

4.若随机变量X〜NQ,o^AO）,则有如下结论：

P（/Z-<T<^/Z+（7）=0.6826,尸3一2<T<XW"+2<7）=0.9544,尸@一3<T<XW〃+3（7）=0.9974.高三⑴班有

48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120,方差为100,理论上说在130分以上人数

约为()

A.32B.24

C.16D.8

解析:因为数学成绩服从正态分布N(120,102),则尸(归—120|>10)=1一尸(|X-120|W10)=0.3174,由

正态曲线的对称性知在130分以上的概率是尸(,一120|>10)的一半，所以人数约为gxo.3174X48-8,故

选D.

答案：D

5.(2018・厦门模拟)某种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒

需要再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为()

A.100B.200

C.300D.400

解析：将“没有发芽的种子数”记为则4=1,2,3,…，1000,由题意可知。〜3(1000,0.1),所以E©

=1000X0.1=100,又因为X=2。，所以E(X)=2£©=200,故选B.

答案：B

6.已知抛物线>=加+及+电。0)的对称轴在y轴的左侧.其中a,b,c£{-3,-2,—1,0,1,2,3},

在这些抛物线中，若随机变量X=|a—外则X的数学期望E⑶=()

qD3

解析：对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2C!C!O=126条，X的可能取值有0,l,2.P(X=0)

=6X7=1国口尸展与尸—2)=展4卬0三，故选A.

126-3

答案：A

二、填空题

7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线。为正态分布N(0，l)的密度曲

线)的点的个数的估计值为.

附：若X~NQi,(r),

则尸3一O<XWN+(T)=0.6826,

2o<X4+2G=0.9544.

解析：由P(-1VXW1)=O.6826,得P(0VXWl)=0.3413,则阴影部分的面积为0.3413,故估计落

03413

入阴影部分的点的个数为10000X———=3413.

1X1

答案：3413

8.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则

两张都是假钞的概率是.

解析：设事件/为“抽到的两张都是假钞”，事件2为“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概

率为尸(/0)，

因为尸(48)=尸(/)=或=」-,尸(2)=空土空工="，

C%19©o38

1

RAB?

所以尸(/田)=12=2

P?B?17-17

38

答案：力

9.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在两次试

验中成功次数X的均值是.

aaa

解析：此试验满足二项分布，其中p=2,所以在两次试验中成功次数X的均值为E(X)=7圾=2义°==

442

姣率.3

1=12

三、解答题

10.2018年某企业举办产品创新研发创意大赛，经评委会初评，有两个优秀方案入选，最后组委会决

定请车间100名经验丰富的技工对这两个方案进行等级评价(等级从高到低依次为B,C,D,E),评价

结果对应的人数统计如下表：

等级

编号

ABCDE

1号方案841261510

2号方案733202020

(1)若从对1号方案评价为。，E的技工中任选3人，求这3人中至少有1人对1号方案评价为。的概

率；

(2)在C级以上(包含C级)，可获得2万元的奖励，。级奖励0.5万元，E级无奖励.若以此表格数据

估计概率，随机请1名技工分别对两个方案进行独立评价，求两个方案获得的奖励总金额不单位：万元)

的分布列和数学期望.

解析：(1)由表格可知，对1号方案评价为。的技工有15人，评价为£的技工有10人.

记事件“这3人中至少有1人对1号方案评价为。”为事件则“为“这3人对1号方案的评价

都为E”.

所以P(“)=U=0,故尸的=1一%”)=1一--=-

(?25115115115

即所求概率为迤.

115

[8+41+26=3

(2)由表格知，1号方案评价在C级以上的概率为

1004'

isa

评价为D的概率为3=上，评价为E的概率为10=1.

1002010。—10,

2号方案评价在2级以上的概率为=9,

1005

评价为D的概率为久~=1,评价为E的概率为

10051005

随机变量X(单位：万元)的所有可能取值为4,2.5,2,1,0.5,0.

尸(X=4)=3X3=2P(X=2.5)=-X-+—X-=-^-,

45204520525

311321313

P(^=2)=-X-+—X-=—,p(x=1)=-X-=-f

45105100205100

P(^=0.5)=~X-+—X-=-1-,尸(X=O)=-L*1=L

2051052010550

所以X的分布列为

X42.5210.50

9621311

r

20251001002050

故£(田=4乂2+2.5乂2+2><-+1义工+0.5*工+0><工=丝.

202510010020508

11.(2018•昆明模拟)某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日营

业额式单位：万元)与该地当日最低气温x(单位：。白的数据，如下表：

X258911

y1.210.80.80.7

AAA

(1)求y关于x的线性回归方程y=云+°；

(2)判断了与X之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃,用所求回归方程预测

该店当日的营业额；

(3)设该地1月份的日最低气温X〜N〃，标)，其中〃近似为样本平均数x,〃近似为样本方差$2,求

产(3.8VXW13.4).

AAAAAA

附：①回归方程y=6x+a中，6=错误!，a=y-bx.

②而仁3.2,岳仁1.8.若X〜N@,〃)，则尸仪一oVXW〃+Q=0.6827,P(//-2(7<X^+2(7)=0.954

5.

解析：(l)x=；X(2+5+8+9+ll)=7,

y=1x(1.2+l+0.8+0.8+0.7)=0.9.

错误!,=4+25+64+81+121=295,

错误!m=2.4+5+6.4+7.2+7.7=28.7,

A28.7-5X7X0.9一2.8

6=错误!0.056,

295-5X7250

AA

a=y~bx=0.9-(-0.056)X7=1.292.

A

线性回归方程为y=-0,056x+1.292.

A

(2)VZ)=-0.056<0,.力与x之间是负相关.

当x=6时，y=-0.056X6+1.292=0.956.

,该店当日的营业额约为9560元.

(3)样本方差s2—jX(25+4+1+4+16)=10,

...最低气温X〜N(7,3.22),

，P(3.8VXW10.2)=0.6827,

P(0.6<XW13.4)=0.9545,

.•.尸(10.2VXW13.4)=；X(0.9545-0.6827)=0.1359.

.•.尸(3.8VXW13.4)=尸(3.8VXW10.2)+尸(10.2VXW13.4)=0.6827+0.1359=0.8186.

12.由腾讯游戏开发并运行的一款运营在Android,iOS平台上的MOBA类手游，受到越来越多人的

喜欢.某机构对不同年龄的人员对玩此手游的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及

对玩此手游赞成人数如下表.

年龄/岁[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

频数41016956

赞成人

2915622

数

(1)若以“年龄”45岁为分界点，由以上统计数据完成下面2X2列联表，并判断是否有99.5%的把握

认为玩此手游的态度与人的年龄有关；

年龄低于45年龄不低于

合计

岁的人数45岁的人数

赞成

不赞成

合计

(2)若从年龄在［25,35)和［55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行跟踪调查，并给予其中

3人“红包”奖励，记3人中年龄在［55,65)的人数为仁求随机变量^的分布列和数学期望.

附：

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n?ad—bc?2

蜉=,其中〃=a+b+c+d.

?Q+6??c+d??a+c??b+d?

解析：（1）根据条件得如下2X2列联表:

年龄低于45年龄不低于

合计

岁的人数45岁的人数

赘成261036

不赘成41014

合计302050

所以K2的观测值Howexio-ioxd??.。》＞7可

20X30X36X14

所以有99.5%的把握认为玩此手游的态度与人的年龄有关.

（2）由分层抽样的方法可知，从年龄在［55,65）的被调查人中抽取的人数为6义而上=2,

从年龄在［25,35）的被调查人中抽取的人数为6X^^=4