高中数学三角恒等变换公式

三角恒等变换公式专题

重点公式回顾

一、和差角公式

1.cos(a+0)=cosacos一sinosinB

cos1a-0)=cosacos/?+sinasin0

2.

3・sin(a+Q)=sinacos[3+cosasin/3

sin(a—/?)=sinocosJ3-cosasin0

tana+tan，

tan(a+0=

1-tanatan/3

tana-tan/3

tan(6Z-/?)=

1+tanortan0

二、二倍角公式

1-tan2a

cos2df=cos2cif-sin2or=2cos2cif-l=l-2sin26if

=1+tan2a

2tan。

2.sin2a=2sinacosa=

tan2a+\

2tanor

tan2cr=

1-tan2a

.sinla

4.sma=---------

2cosa

sin2。

cosa=---------

2sina

2tandf=tan2a(1-tan?。)

配方变形

1土sin2a=sin2CK+COS2a±2sinocos。=(sina±COS。)？

6.因式分解变形

cos2cr=cos2a-sin2a=(cosa+sino)(cosa-sina)

7.升塞公式

cos2cr=2cos26Z-l=l-2sin2a

8.降塞公式

2cos20=1+cos2a

2sin2dz=1-cos2a

2sina・cosa二sin2a

2l-cos2a

tana--------------

1+cosla

三、辅助角公式

22b

a•sina+)•cosa=da+b?•sin(a+0)=[a+b2-cos(a-(p),tancp-一,°w

a

四、积化和差公式

1.2sini•cosP=sin(o+/?)+sin(o-p)

2.2cosa•sin/?=sin(a+/?)-sin(o-/?)

3.2cosacos[3-cos(o+4)+cos(o-/?)

4.-2sina•sin/?=cos(o+/?)-cos(a-/?)

五、和差化积公式

.+/ci-/3

1.sina+cosp-2sin-------cos-------

22

.-a+B.cc—/3

2.sma-cospo=2cos-----sin......-

22

a+B.a-13

3.cosa+cos/?=2cos-------sin-------

22

aB.oc-B

4.cosa-cos尸二-2sin------sin-------

22

考点一、两角和与差的三角函数综合应用

1.sin150cos750+cos150sin1050等于（）

A.0B.1C.1D.如

22

【答案】C

【分析】由题得原式=sinl5Ocos75o+cosl5Osin75。，再利用和角的正弦公式化简计算.

【详解】由题得原式=511115。8575。+3515叼1175。=5皿15。+75。）=sin90°=1.

故选C

【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属

于基础题.

2.若5111（0+/7）+80（6/+，）=2后（：0516/+?｝吊尸，则（）

A.tan（a-尸）=1B,tan（a+0=l

C.tan（6f-/7）=-lD.tan（＜z+^）=-l

【答案】C

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】［方法一］:直接法

由已知得：sinacos尸+cosasin/?+cosacos4一sinasin4=2（cosa-sina）sin分，

即：sinacos0-cosasin/?+cosacos/?+sinasin/?=0,

即：sin(a-77)+cos(a-/7)=0

所以tan(a_/?)=—l

故选：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:设P=0则sina+cosa=0,取,排除A,B；

TT

再取a=0则sin0+cosp=2sin0,取排除D；选C.

［方法三］:三角恒等变换

sin(a+4)+cos(cr+尸)=血sin(a+4+工)=^2sin［(cr+—)+/0］

44

二后sin(cr+—)cosB+^2cos(a+工)sin尸=242cos(a+工)sin分

444

所以^2sin(cr+—)cosB=也cos(6Z+—)sinB

44

TTTTTT

sin(cr+—)cos；0-cos(cif+—)sin/?=0即sin(cr+--y0)=O

/.sin(a一4+?)=sin(a-/?)cos?+cos(a-，)sin?二^^sin(a—Q)+^^cos(a一万)二0

sin(a-/)二一cos(a-£)即tan(a-£)=T,

故选：C.

考点二、二倍角公式的综合应用

1.已知sin(a-夕)=Lcosasin^=」，贝|cos(2a+2；0)=().

36

A.-B.-C.--D.--

9999

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+£),再利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为sin(a—£)=sinacos夕-costzsin£=，,而cosasin4=，,因止匕sinacos尸=2，

362

2

则sin(a+夕)=sinacos(5+cosasm(3=—,

21

所以cos(2a+2/)=cos2(a+=l-2sin2(a+y0)=1-2x(—)2=—,

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关

系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角

相同或具有某种关系.

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得

的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

Irr\CCSCK

2.0,—,tan2^=-————，贝！Jtana=()

I2J2-s;in(7

A岳口百「小

A.-----D.---U.----

1553

【答案】A

【分析】由二倍角公式可得1酸2[=芈里=拱竺等，再结合已知可求得sina=1,利用同角三角函

cos2al-2sma4

数的基本关系即可求解.

【详解】tan2«=-^^

2-sincr

八sin2a2sinacosacosa

tan2a=--------=------------——=-----------

cos2al-2sina2—sin。

(八*八2sina1左刀,曰.1

,：ae\0,—,.•.cosewO,/.---------、­=-------,角军得sma=一,

l2Jl-2sin2a2-sina4

sinaV15

tana=-------

4costzIT

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sino.

考点三、辅助角公式的综合应用

1.函数〃x)=sin5+cos《的最小正周期和最大值分别是()

A.3兀和&B.3兀和2C.6兀和0D.6兀和2

【答案】C

【分析】利用辅助角公式化简f(x),结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

【详解】由题，/(x)=sin|+cos|=V2^sin1+^cos1=&sinR+1],所以"x)的最小正周期

JJI乙D4J/Ji"J

7=至=6

为一[一「,最大值为应.

3

故选：C.

2.己知xe则函数/(x)=(l+sinx)(l+cos%)的最大值为.

【答案】0+|

【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出/⑺的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求

最大值.

［详解］f(x)=(1+sinx)(l+cosx)=1+sinx+cosx+sin%cosx,

1(sinx+cosx)2-I

=l+sinx+cosxH-----------------------,

2

令/=sinx+cosx=血sin+；］

因为xw/wj,所以％+不［“彳),

所以sin(x+Eje,所以"瓜出卜+"十码，

所以g(r)=g/+对称轴to=T<1，

所以g«)=；/+f+g在(1,3］单调递增，

所以当/。=3时，g(t)g=ge)=6+g,

即当sin(x+：］=l,x=:时，f(x)=(1+5皿%)(1+85%)有最大值0+。.

故答案为：＞/2+—.

课后练习

1.已知函数/(x)=sinx-sin［x+:

则“力的值不可能是()

A.4B.1C.0D.2

【答案】D

./.，百、1

【解析】,**/(x)=sinx«sin(x+y)-^-=smx(—sinxH----cosx)——

224

Jin»+ginxc°s」=£cos2xV31

+X

2242244

=—sin2x--cos2x=-sin(2x---).

4426

/(尤)el-g,；］,

故选：D

,且sina=3^^,cos(a+夕)=一^~,则sin分=()

2.已知角。为锐角，角£为钝角

A.旦B.克rV2门也

23510

【答案】D

【解析】解：因为。为锐角，$苗0=题，所以cosa二丑

1010

因为£为钝角，所以a+£e[a+|>a+"）,

若二+^6卜+券/,则以双0+⑶3^^卜+^卜小皿二二——^―<--,不符题意,

所以a+/7£(»,a+»),又cos(a+(3)=,所以sin(a+,)=_^^,

所以si“=sm(a+介爪-侦x巫+色顺=叵

51051010

故选：D.

3.函数/'(x)=4sin(3x+|^+cos(3x-1^的最大值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】/(x)=4sinl3x+|+cosI3x----

I6

(1y/3

4—sin3xd-----cos3x+—cos3x+-sin3x

2222

▲in3x+在8s3x

22

=5sinf3x+y

・,工N）最大值为5,

故选：D.

4.若函数y（x）=2sinx+cos%在[0,㈤上是增函数，则当。取最大值时,sin2a的值等于（）

ABV21

-i-iD.

"V

【答案】A

【解析】/(x)=J?sin(x+9),其中tane=；,且夕金,5)，由一g+2后区x+gsg+Z反，kRZ,得一g—9

2124222

jr.兀兀yr

-\-2k7r<x<——°+2左乃，kGZ,当人=0时，增区间为一,―。，,―。，所以amax=Q所以当。取最大

一，「兀、2sin<z?cos692tan(Z?4

值时，sin2a=sin2~~(P=sin2(p=^^---------2-=；-----2=£.

12Jsin+coscp1+tancp5

故选：A

5.(多选)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,且满足

sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列结论可能成立的是()

A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.C=90°

【答案】AD

【解析】因为sin_B（l+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,

所以，2sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosC+sin（A+C）=2sinBcosC+sinAcosC+cosAsinC,

所以，sinAcosC-2sinBcosC=0,即cosC（sinA-2sinB）=0.

所以,cosC=0或sinA=2sin5,Q0°<C<180°,C=90°^a=2b.

故选:AD.

6.函数/0)=5皿2彳-31尤+?的最小值为

【答案】—9

o

3兀37r等"+sinx）,

【解析】f(x)=sin2x-cos\x+—|=sin2x-cosxcos—+sinxsin-=2sinxcosx+

444

令cosx+sinx=fe［一仓应］,则2sinxcosx=»_i,

故g(，)=〃+彳-1="+?]所以当”一手时，且⑺皿广一

Z4J04o

故答案为：-：9

O

—=^-,pll]cosf--2tz

已知

7.sina3)5I3

3

B.--D.

55

【答案】C

【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.

【详解】因为sin

5

故选：C

8.已知a,P,7是三个互不相同的锐角，则在sin"+cos£,sin/?+cos/,sin/+cosar三个值中，大于

V2的个数最多有（）个

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】因为a,/3,7是三个互不相同的锐角，

所以sina+cos尸+sin尸+cosy+sin/+cosa

=V2sin[a+£）+A/2sin[6+：）+A/2sin[y+：）<行+A/2+叵=3&,

所以在sina+cosp,sin^+cos7,siny+cosa三个值中，不会全部大于夜，

若令a=E，/=；，/=—>则sinc+cos£=心+^^>亚，

34622

sin/3+cosY=>A/2,sin/+cosa=1<A/2

所以大于0的个数最多有2个.

故选：C

9.已知函数"x)=kinx|+|cosx|-2sin2x,以下结论错误的是()

A.乃是“X)