2025年中考数学复习之圆

2025年中考数学复习新题速递之

选择题（共10小题）

1.（2024•沙坪坝区自主招生）如图，A3是O。的切线，点A为切点，弦COLOA,连接。。并延长交A8

于点艮若/。=45°,CD=2,则AB的长是（）

A.1B.V2C.2D.2V2

2.（2024•湖北模拟）如图，在。。中，A8是直径，点C是圆上一点.在A8的延长线上取一点Q,CD

是O。的切线，若/ACZ）=120°,CD=2V3,则图中阴影部分的面积是（）

C

3.（2023秋•牧野区校级期末）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，

③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧,

⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2024•临湘市校级开学）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（）

A.2：ITB.1：itC.1：2irD.不能确定

5.（2024•上海模拟）已知两圆的半径分别为一元二次方程7-7尤+12=0的二根，圆心距为2,则两圆位

置关系为（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

6.（2024•陆丰市模拟）如图，43是的直径，点C,D,E在。。上，若/ACE=20°,则的

度数为（

E

A.90°B.100°C.110°D.120°

7.（2024•阳泉模拟）中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也

会被人们揭裱保存成为收藏品.如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄OA长为21c7外折扇张开后

的扇形圆心角为150°,则丽的长为（）

A.17.5m;加B.18.5ncmC.16.5m?加D.17ircm

8.（2024•宁江区校级模拟）如图，AB为的直径，点C,。在上，若/ADC=130°,则/BAC

的度数为（）

C.40°D.50°

9.（2024•阳泉模拟）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A,B的读数

分别为85°,31°,则的度数是（）

A.27°B.31°C.30°D.54°

10.（2024•五华区校级模拟）如图，△ABC内接于OO,AD是。。的直径，若/。4。=70°,贝iJ/ABC

二.填空题（共5小题）

11.（2024•沙坪坝区自主招生）如图，在矩形A8C。中，AO=1,AC=2.以点A为圆心，AC的长为半径

画弧交AB,的延长线于点E,F,则图中阴影部分的面积是.（结果不取近似

12.（2024•双台子区校级开学）如图，A8是半圆。的直径，点C,。在半圆上，ZCOD=ZBOD,连接

OC,CA,OD,过点B作交的延长线于点E.设△OAC的面积为Si,△OBE的面积为

S2,若二=一,则tanZACO的值为.

13.（2023秋•宿迁期末）如图，。。是△ABC的外接圆，ZA=60°,BC=4V3,则。。的半径是

->_»->-»->

14.（2024•普陀区校级三模）如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量4B=a,BC=b,那么向量CD

TT

为.（用向量a,b表示）

BC

15.（2023秋•交城县期末）如图，■是。。的直径，弦平分入BAC,过点。作O。的切线交AC于点

E,若/BAD=23°,贝l|NAOE=°.

16.（2024•西城区校级开学）如图A8是。。的直径，PB,PC与。。分别相切于点8,C,PC交的延

长线于点D,DELPO交PO的延长线于点E.

(1)求证：ZEPD=ZEDO；

(2)若PC=6,tanZPDB=求。£的长.

17.（2023秋•蛟河市期末）如图，在△ABC,AC^BC,以2C为直径的。。与底边AB交于点。，过。作

DELAC,垂足为E.求证：OE为。。的切线.

A

18.（2024•田阳区一模）如图,O。是△ABC的外接圆，AE切。。于点A,AE与直径2。的延长线相交

于点E.

（I）如图①，若NC=71°,求/E的大小;

图①图②

19.（2024•汝南县一模）阅读与思考

九年级学生小刚喜欢看书,他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆

内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成

相应的任务.

圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等.

已知：如图1,OO的两弦AB,相交于点P.

求证：AP'BP=CP'DP.

证明：

如图1,连接AC,BD.

•：/C=NB,ZA=ZD.

:.△APCsADPB,（根据）

AP

—=@,

DP

：・AP・BP=CP・DP,

两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.

任务：

(1)请将上述证明过程补充完整.

根据：;@:

(2)小刚又看到一道课后习题，如图2,A8是。。的弦，尸是A8上一点，AB=10cmfPA=4cm,OP

=5cm,求。。的半径.

C

20.(2024•新丰县一模)如图，在△ABC中，AB=AC,以A3为直径的。0分别交AC、BC于点、D、E.

(1)求证：BE=CE；

(2)若A5=6,ZBAC=54°,求劣弧崩的长.

D

BEC

2025年中考数学复习新题速递之圆（2024年9月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2024•沙坪坝区自主招生）如图，是。O的切线，点A为切点，弦CDLOA,连接OO并延长交A8

于点B.若/。=45°,CD=2,则AB的长是（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理.

【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】如图，记。4、。的交点为E,由AB是。。的切线，弦可得NOAB=90°=ZOED,

ED二CD=1,则。4=。。=需*，根据AB=O4・tan45°,计算求解即可.

【解答】解：如图，记04、C。的交点为

TAB是OO的切线，弦COLO4,

1

：.ZOAB=90°=NOED,ED=^CD=1,

DFl

0A=0D=a

：.AB=0A-tan45°=V2,

故选：B.

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，正弦，正切等知识.熟练掌握切线的性质，垂径定理，正

弦，正切是解题的关键.

2.（2024•湖北模拟）如图，在。。中，是直径，点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点。，CD

是。。的切线，若NAC0=12O°,CD=2V3,则图中阴影部分的面积是（)

C

【考点】切线的性质；扇形面积的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】D

【分析】连接03由切线的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理求得N3OC=2NA=60°,在Rt

△OCZ）中，解直角三角形得0。=2,然后利用S阴影=SRtaOCO-S扇形80。即可解答.

【解答】解：连接0C,

C

・・・co是。。的切线，

AOCLCD,即NOCD=90°,

：.ZACO=ZACD-ZOCD=120°-90°=30°,

OC=OA,

：.ZA=ZACO=30°,

：.ZBOC=2ZA=60°,

9：ZOCD=90°,

OC—tan^DOC-CD=tan60°x2A/3=2,

2

阴影部分的面积=SMCD-S扇形BOC=Ix2V3x2-6鹭2=2A/3一:兀.

故选：D.

【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积,

解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键.

3.（2023秋•牧野区校级期末）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，

③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧,

⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】三角形的外接圆与外心；中心对称图形；线段垂直平分线的性质；圆的认识；垂径定理；圆心

角、弧、弦的关系；确定圆的条件.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】C

【分析】①根据确定一个圆的条件即可判断.②根据垂径定理即可判断.③根据圆周角定理即可判断.④

根据三角形外心的性质即可判断，⑤根据等弧的定义判断，⑥根据圆的对称性质进行判断.

【解答】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆；

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确.

③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中；

④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确，

⑤长度相等的两条弧是等弧，错误，条件是在同圆或等圆中；

⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确.

正确的有②④⑥，共3个.

故选：C.

【点评】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识.

4.（2024•临湘市校级开学）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（）

A.2：TTB.1：TTC.1：2nD.不能确定

【考点】圆柱的计算；几何体的展开图.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】B

【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周

长和高相等，根据圆的周长公式：C=E,那么1=今据此解答.

【解答】解：这个圆柱的底面直径与高的比是d：7td=l:IT.

故选：B.

【点评】此题考查了圆柱的计算，考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征，圆的周长公式、比的

意义及应用.

5.（2024•上海模拟）已知两圆的半径分别为一元二次方程/-7尤+12=0的二根，圆心距为2,则两圆位

置关系为（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

【考点】圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法.

【答案】C

【分析】先求得方程的根，再根据数量关系来判断两圆的位置关系.设两圆的半径分别为R和厂，且R

Nr,圆心距为出外离，贝">R+r；外切，贝"=R+r；相交，则R-Yd<R+r；内切，则d=R-厂；

内含，则d<R-r.

【解答】解：解方程/-7尤+12=0,

化为（尤-3）（尤-4）=0,

解得尤1=3,X2=4.

因为4-3<2<4+3,

即xi-xi<d<xi+x\.

则这两个圆的位置关系是相交，

故选：C.

【点评】本题考查了圆与圆的位置关系及一元二次方程的解法，根据数量关系来判断两圆的位置关系.考

查学生的综合应用能力及推理能力.

6.（2024•陆丰市模拟）如图，4B是的直径，点C,D,E在。。上，若/ACE=20°,则/BOE的

度数为（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【考点】圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】连接AD,根据圆周角定理及其推论，可分别求出/A£>8=90°,ZADE=ZACE=20°,即

可求NBOE的度数.

【解答】解：连接A。，

B

'：AB为。。的直径，

AZADB=90°,

VZACE=20°,

/.ZADE=ZACE=20°,

Z.ZBDE=ZADB+ZADE=110°,

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

7.（2024•阳泉模拟）中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也

会被人们揭裱保存成为收藏品.如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄。4长为21cm,折扇张开后

的扇形圆心角/AOB为150°,则砂的长为（）

A.17.5ncmB.18.5ncmC.16.5ncmD.17Rem

【考点】弧长的计算.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】A

【分析】根据弧长公式计算即可得到答案.

【解答】解：油的长为：⑸心？1=17,5n（cm）.

180

故选：A.

【点评】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式.

8.（2024•宁江区校级模拟）如图，AB为。。的直径，点C,。在。。上，若/AZ）C=130°,贝U/BAC

的度数为（）

A

A.25°B.30°C.40°D.50°

【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】C

【分析】根据圆周角定理，由AB是O。的直径，可证NACB=90°,由圆内接四边形的对角互补可求

ZB=180°-ZD=50°,即可求N8AC=90°-ZB=40°.

【解答】解：•••四边形ABC。是圆内接四边形，

AZAZ)C+ZJ3=180°，

：NAOC=130°,

.•.ZB=180°-130°=50°,

:AB是O。的直径，

/.ZACB=90°,

：.ZBAC^90°-ZB=40°.

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质并灵

活运用.

9.（2024•阳泉模拟）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A,2的读数

分别为85°,31°,则/ACB的度数是（)

A

hftM___11-|«iw・

A.27°B.31°C.30°D.54°

【考点】圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，从而可求得/ACB的

度数.

【解答】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，

根据量角器的读数方法得：ZACB=85°~31°=27°.

故选:A.

【点评】此题考查了圆周角定理，熟知圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半是解题的关键.

10.（2024•五华区校级模拟）如图，△ABC内接于O。，AD是。。的直径，若/CAZ）=70°,则NABC

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质得到NACO=/C4O=70°,求得/AOC=180°-ZOAC-ZOCA=

40°,根据圆周角定理得到结论.

【解答】M：'：OA=OC,ZCAD=10°,

.•.NACO=NCAO=70°,

AZAOC=180°-ZOAC-ZOCA=40°,

1

Z.ZABC=|zAOC=20°,

故选：C.

【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定

理是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.（2024•沙坪坝区自主招生）如图，在矩形A8CZ）中，AD=1,AC=2.以点A为圆心，AC的长为半径

画弧交A3,4。的延长线于点E,F,则图中阴影部分的面积是兀-遮.（结果不取近似值）

【考点】扇形面积的计算；近似数和有效数字；矩形的性质.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】7T-V3.

【分析】先证明,计算CD=和=百，再利用割补法求解即可.

【解答】解：•••矩形ABC。，AD=l,AC=2.

AZADC=ZDAB=90°,AB=CD,

：.CD=yjAC2+AD2=V3,

S阴影=-3601XV3=7T-V3.

故答案为：7T-V3.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运

用是解题的关键.

12.（2024•双台子区校级开学）如图，A8是半圆。的直径，点C,。在半圆上，NCOD=NBOD,连接

OC,CA,OD,过点2作即，A3,交。。的延长线于点E.设△OAC的面积为Si,△OBE的面积为

Si3V15

S2,若二=则tanNACO的值为三一.

【考点】圆周角定理；解直角三角形；角平分线的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

V15

【答案】

3

UAcH3

2-

即

OE--可

【分析】如图，过C作CH_LAO于H,证明NCODuNBOEuNCA。,1B4

C-B-

,CH3CHAH3

得—=证明tanNA=tanN50E,可得f—=—二一，设AH=3m,则BO=4m=AO=CO,可得

BE4BEOB4

OH=4m-3m=m,CH=V16m2-m2=V15m,再利用正切的定义及等腰三角形性质即可得答案.

【解答】解：过C作CHLAO于H,

'：ZCOD=ZBOD,

：.CD=BD,

由圆周角定理可得/乙4。="BOC，

：.ZCOD=/BOE=ZCAO,

.•包_2

•一，

s24

-OACH3

即f---------=：

-OBBE4

2

CH3

BE~4’

•/ZA=ZBOE,

tanNA=tanZBOE,

.CHBE

••—,

AHOB

.CHAH3

即二二一，

BEOB4

设AH=3M,则30=4机=AO=CO,

0H=4m-3m—m,

由勾股定理可得：CH=V16m2—m2-V15m,

.,/*CHV15m715

••LCLTI/k-Art=n=n

AH3m3

■：OA=OC,

：.NA=NAC。,

・+XAm—J15

••tCITICO—―-9

..田田、rV15

故答案为：-

【点评】本题考查圆中求三角函数值，涉及圆周角定理的应用，比例性质，勾股定理，锐角三角函数的

应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键.

13.（2023秋•宿迁期末）如图，是△ABC的外接圆，NA=60°,BC=4次，则。。的半径是4.

【考点】三角形的外接圆与外心.

【专题】三角形；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】作直径CD,如图，连接BD,根据圆周角定理得到NCBD=90°,ZD=60°,然后利用含

30度的直角三角形三边的关系求出从而得到O。的半径.

【解答】解：作直径C。，如图，连接2D

：C£）为直径,

：.ZCBD^90°,

'：ZD=ZA=60°,

=枭百

：.BD=4=4,

:・CD=2BD=8,

：.OC=4,

即O。的半径是4.

故答案为：4.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

—>_>—>—>—>

14.(2024•普陀区校级三模)如图，在正六边形43cDE万中，如果向量28=a,BC=b,那么向量CD为

T—T7,

b-a_.（用向量a,b表示）

BC

【考点】正多边形和圆；*平面向量.

【专题】正多边形与圆；运算能力.

T7

【答案】b-a,

―>―»—>->

【分析】根据正六边形的性质得出AD//BC,AD=2BC,再根据已知条件确定2。=26,利用力。=AB+

—>—>

BC+CO变形解答即可.

【解答】解：•..A8COEF是正六边形，

C.AD//BC,AD=2BC,

—>—>

'•AD=2b,

9

：AD=AB+BC+CDf

―>—>—>—>_)_»-»_)

•**CD=AD—AB-BC=2b—CL—b=b—a,

故答案为:b-a.

【点评】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考

题型.

15.（2023秋•交城县期末）如图，AB是O。的直径，弦AD平分入BAC,过点。作O。的切线交AC于点

E,若/BAO=23°,则67°.

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】67.

【分析】求出/OD4=23°,再利用切线的性质求解.

【解答】解：连接OD,

,/过点D作。。的切线交AC于点E,

：.ZODE=90°,

又,：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD=23°,

AZADE=90°-/OZM=90°-23°=67°,

故答案为：67.

【点评】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.（2024•西城区校级开学）如图是。。的直径，PB,PC与。。分别相切于点8,C,PC交54的延

长线于点D,DELPO交PO的延长线于点E.

（1）求证：/EPD=NEDO；

(2)若PC=6,tan/PDB=为求OE的长.

【考点】切线的性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】（1）见解析；

（2）V5.

【分析】（1）根据切线长定理，得到NEPD=NEPB；根据切线性质，得到/尸8。=/。6。=90°,结

合/DOE=NPOB,证明即可.

（2）根据切线的性质，得PB=PC=6,结合tcm/PDB=*=器=翕，连接OC,利用勾股定理，三

角函数计算即可.

【解答】（1）证明：是的直径，PB,PC与。。分别相切于点8,C,

：.ZEPD=ZEPB；NPBO=90°,

:DELPO,

:./PB0=NDE0=9G,

ZDOE=ZPOB,

:./EPB=NEDO,

：.ZEPD=ZEDO.

(2)解：由题意得PB=PC=6,NPBO=90°,

.tan/PDB=4=9=而

解得DB=8,

：.PD=y/DB2+PB2=10,

：.DC=PD-PC=4,

连接。C,则。3=0C,

解得。8=。。=3,

：.P0=7PB2+0B2=3A/5,

J.sinZEPB=sinDO=舒=需，

3OEOE

"3V5—DB-OB—8-3'

解得。E=V5.

【点评】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角函数的计算，熟练掌握以上知识是解题的关键.

17.（2023秋•蛟河市期末）如图，在△ABC,AC=BC,以为直径的。。与底边AB交于点。，过。作

DE±AC,垂足为E.求证：DE为。。的切线.

【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】证明见解答.

【分析】连接。。，证得O£）〃AC,可知DE_L。。，即可证得。E为O。的切线.

【解答】解：连接OD,如图所示，

A

：.ZA=ZABC,

'：OB=OD,

：./ODB=NABC,

：.ZODB^ZA,

：.OD//AC,

又：Z)E_LAC,

：.DE±OD,

为O。的切线.

【点评】本题主要考查的是切线的判定，准确作出辅助线，证得平行是解题的关键.

18.(2024•田阳区一模)如图，。。是△ABC的外接圆，AE切于点A,AE与直径BO的延长线相交

于点£.

(I)如图①，若NC=71°,求/E的大小；

图①图②

【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心.

【专题】计算题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力.

【答案】(I)52°；

(II)Z£=30°,的半径为2.

【分析】（I）连接。4,先由切线的性质得NOA石的度数，求出NAO3=2NC=142°,进而得NAOE,

则可求出答案；

（II）连接。4,由等腰三角形的性质求出NE=30°,根据含30°解的直角三角形的性质求解即可.

【解答】解：（I）连接04.

图①

TAE切。。于点A,

：.OA±AE,

：.ZOAE=90°,

VZC=71°,

ZAOB=2ZC=2X71°=142°,

XVZAOB+ZAOE=180°,

ZAOE=38°,

VZAOE+ZE=9Q°,

—90°-38°=52°.

(II)连接04,

设NE=x.

•・・A3=AE,

NABE=AE=x,

'：OA=OB,

：.ZOAB=ZABO=x,

：.ZAOE=ZAB0+ZBA0=2x.

TAE是。。的切线，

：.OAl.AEf即NOA£=90°,

在△045中，ZAOE+ZE=90°,

即2x+x=90°,

解得％=30°,

AZE=30°.

i

在RtZ\0AE中，OA=^OE,

\"OA=OD,

：.OA=OD=DE,

,:DE=2,

：.OA=2,即。。的半径为2.

【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，三角形内角和的性质，含

30。角的直角三角形的性质，用方程思想解决几何问题，关键是熟悉掌握这些性质.

19.（2024•汝南县一模）阅读与思考

九年级学生小刚喜欢看书,他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆

内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成

相应的任务.

圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等.

已知：如图1,。。的两弦AB,C。相交于点P.

求证：AP-BP=CP'DP.

证明：

如图1,连接AC,BD.

,:/C=NB,ZA=ZD.

，丛APCs丛DPB,（根据）

AP

—=@,

DP

:.AP・BP=CP・DP,

两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.

任务:

(1)请将上述证明过程补充完整.

CP

根据：有两个角对应相等的两个三角形相似；@:—.

(2)小刚又看到一道课后习题，如图2,是的弦，尸是上一点，AB^lQcm,B4=4cm,OP

—5cm,求。。的半径.

【考点】相交弦定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

CP

【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似；—;

BP

(2)7cm.

【分析】(1)根据相似三角形的判定和性质求解即可；

(2)延长OP交圆。于点。，延长尸。交圆。于点设圆。的半径为忆机，贝|尸尸=(5+r)cm,PD

=(r-5)cm,根据(1)中结论代入求解即可.

【解答】解：(1)连接AC,BD.

,:NC=/B,ZA=ZD.

：AAPCsdDPB,(有两个角对应相等的两个三角形相似)

.APCP

••—,

DPBP

LAPBP=CPDP,

・•・两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.

CP

故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；—;

(2)延长OP交圆O于点D,延长PO交圆O于点F,

D

设圆。的半径为rem,贝lJPF=(5+r)cm,PD=(r-5)cm,

根据(1)中结论得4P・BP=DP-FP,即为4X(10-4)=(叶5)(r-5),

解得：r=7或r=-7(不符合题意，舍去)，。。的半径为7c»i.

【点评】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相

交弦定理是解题关键.

20.(2024•新丰县一模)如图，在△ABC中，AB^AC,以AB为直径的O。分别交AC、BC于点D、E.

(1)求证：BE=CE；

(2)若AB=6,ZBAC=54°,求劣弧崩的长.

【考点】弧长的计算；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)如图，连接AE,利用圆周角定理推知AE是等腰△ABC的垂线，结合等腰三角形的性质

证得结论；

(2)如图，连接OD,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角的度数，然

后利用弧长公式进行解答.

【解答】(1)证明：如图，连接AE.

是圆。的直径，

AZAEB=90°,

即AE1BC.

又•；AB=AC,

：.AE是边BC上的中线,

:.BE=CE；

(2)解：：AB=6,

：.OA=3.

又：04=00,ZBAC=54°,

/.ZA0D=180°-2X54°=72°,

【点评】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质.通过作辅助线，利用圆周

角定理（或圆半径相等）的性质求得相关角的度数是解题的难点.

考点卡片

1.近似数和有效数字

(1)有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数

字.

(2)近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说

法.

(3)规律方法总结：

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前

者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些.

2.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两

个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一

元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得

到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

3.几何体的展开图

(1)多数立体图形是由平面图形围成的.沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图

形的展开图.同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图

形的展开图是平面图形.

(2)常见几何体的侧面展开图：

①圆柱的侧面展开图是长方形.②圆锥的侧面展开图是扇形.③正方体的侧面展开图是长方形.④三棱柱

的侧面展开图是长方形.

(3)立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系.立体图形问题可以转化为平面图形问

题解决.

从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观

念，是解决此类问题的关键.

4.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有

时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，

在NAOB的平分线上，C£)_LOA,CE工OB：.CD=CE

5.线段垂直平分线的性质

(1)定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)

垂直平分线，简称“中垂线”.

(2)性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的

距离相等.—③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距

离相等.

6.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个

元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

7.等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中

线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解

决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的

思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决.

8.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长为C,那么/+62=02.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

22

(3)勾股定理公式/+62=02的变形有：a=Vc—b,b=7c2—及C=7$+炉.

(4)由于。2+82=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角

边.

9.矩形的性质

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线;

对称中心是两条对角线的交点.

(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

10.*平面向量

平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(.magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之

相对的是只有大小、没有方向的数量(标量).平面向量用。，b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表

示向量的有向线段的起点和终点字母表示.

11.圆的认识

(1)圆的定义

定义①：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固

定的端点。叫做圆心，线段OA叫做半径.以。点为圆心的圆，记作“O。”，读作“圆

定义②：圆可以看做是所有到定点。的距离等于定长r的点的集合.

(2)与圆有关的概念

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意

一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣

弧.

(3)圆的基本性质：①轴对称性.②中心对称性.

12.垂径定理

(1)垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)垂径定理的推论

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

13.圆心角、弧、弦的关系

(1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其

余各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧

或劣弧.

(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推

二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与

原图形完全重合.

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.

14.圆周角定理

(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.

(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

(3)在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌

握.

(4)注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角

的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”—圆心角转化.③定理成立的条件是“同

一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一

条弧所对的圆周角和圆心角.

15.圆内接四边形的性质

(1)圆内接四边形的性质：

①圆内接四边形的对角互补.

②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).

(2)圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起

来.在应用时要注意是对角，而不是邻角互补.

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