湖北荆州某中学2024年高二9月月考数学试题（含答案）

荆州中学2024-2025学年高二上学期9月月考

【学试卷

命题人：审题人:

时间：150分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合要求的.

1.已知复数z满足l+iz=z-2i,则闫=（）

A.-B.-C.巫D.V5

222

2.图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（）

2014・2023年粮食年产量

A.这10年粮食年产量的极差为15

B.这10年粮食年产量的平均数为31

C.前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差

D.这10年粮食年产量的中位数为29

年份

3.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+1273B.变1C.乎D.280

4.已知忖=2同，若商与B的夹角为60。，则2,-9在B上的投影向量为（）

1-1-3-3—

A.-bB.——bC.——bD.-b

2222

5.向量M，瓦W是空间的一个单位正交基底，向量力在基底,，b,a下的坐标为（-1,2,3）,则万在基底

M+B为一瓦3的坐标为（）

C.IT3

6.某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动

方式是在电脑上设置一个包含1,2,3,4,5,6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘

上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为

150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三

等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（）

51

A.—BD.

36-42

数学试卷第1页（共4页）

7.在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为AABC的面积，且4s=_优一域］,

22

则b仁+士c的取值范围为（）

be

C.2,-JD.[2,+8)

8.在三棱锥尸-ABC中，ACJ_平面尸A5,AB=3,AC=4,BP=e，NABP=45。，则三棱锥尸一ABC

外接球的表面积为（）

A.8兀B.16兀C.26KD.32兀

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（）

A.任意一条直线都有倾斜角和斜率B,直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大

C.若一条直线的倾斜角为。，则该直线的斜率为tanaD.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0。或90。

10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1,2,3,4的4个小球，从中任意摸出两

个球.设事件4="摸出的两个球的编号之和小于5”,事件A="摸出的两个球的编号都大于2",事件A=

“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（）

A.事件4与事件4是互斥事件B.事件4与事件4是对立事件

c.事件A与事件4是相互独立事件D.事件与事件4c4是互斥事件

11.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，已知乙4cB=90。,AC=BC=CG=2,E为4G的中点，过AE的截

面与棱分别交于点尸,G,则下列说法正确的是（）

A.三棱锥的体积为定值

B.线段GG长度的取值范围是［o,g

C.当点P为SB1中点时，截面4FEG的周长为旧+3+夜

D.存在点尸，使得A/JLAE

数学试卷第2页（共4页）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

JT1T

12.在平行六面体ABCD-431G鼻中，ZAiAB=ZDAB=-,Z^AD=-,A8=AD="=2,则

1*1=.

13.已知A(LO,O),8(2,1,0),C(l,l,l)三点，则A到直线BC的距离为.

14.如图，已知AABC为等边三角形，点G是AABC的重心.过点G的直线/与线段A3交于点与线

段AC交于点E.设通=/lQ,/=〃尼，且设AADE的周长为G，

AABC的周长为02,设『=/〃，记/(7)=±T,则的值域为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了

“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两

题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是

112

答对第二题的概率分别是

(1)求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.

16.已知△ABC的内角A,3,C所对的边分别为且2c-6=2asin[C

(1)求角A；

(2)若。=为边5c上一点，AD为NR4c的平分线，且AD=1,求的面积.

17.如图，在四棱锥尸-ABC。中，平面平面ABCD,△PAO为等边三角形，PD1AB,AD//BC,

AO=2,AB=BC=1,M为尸A的中点.

⑴证明：OM_L平面尸AB；

(2)求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值.

数学试卷第3页(共4页)

18.对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计(满分：100分)，将数据分成五组，从左到右依次记为[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数(求平均

频率

数时同一组数据用该组区间的中点值作代表)；

旃

(2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若0.040

分数在区间[70,90)的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和77手7，0.030

0.020

0.015

第三组[70,80)的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1,求第四0.010

0.005

组[80,90)的学生实际成绩的平均数与方差.O”5060708090100成绩/分

19.在空间直角坐标系。一孙z中，己知向量iZ=(a,0,c),点4(Xo，%,Zo).若直线/以日为方向向量且

经过点凡，则直线/的标准式方程可表示为口^=匕辽=三包(。左彳0)；若平面a以日为法向量

abc

且经过点凡，则平面a的点法式方程表示为a(x—%)+“丁—%)+c(z-Zo)=O.

x-1y-2z「

(1)已知直线/的标准式方程为一7=[五=],平面%的点法式方程可表示为43x+y-z+5=Q,

求直线I与平面火所成角的余弦值；

(2)已知平面%的点法式方程可表示为2x+3y+z-2=0,平面外一点尸(1,2,1),点尸到平面见的

距离；

(3)⑴若集合M={(x,y,z)||x|+|y|V2,|z|«l},记集合M中所有点构成的几何体为S,求几何体

S的体积；

(ii)若集合N={(x,y,z)||x|+|y|<2,|y|+|z|<2,|z|+|.r|<2}.记集合N中所有点构成的几何体为T,

求几何体T相邻两个面(有公共棱)所成二面角的大小.

数学试卷第4页(共4页)

荆州中学2023级高二上学期九月月考

数学试卷参考答案

1-8CCBBABCC9.ABC10.ACD11.AC

2V3

12.213.—14

2

15.(1)—(2)

18216

【详解】(1)甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是:，答对第二题的概率分别是：,

32

甲考生通过某校强基招生面试的概率为［=《x:=，.

326

乙考生通过某校强基招生面试的概率为8=^xl=l

236

...甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为:

P=lx(l--)+(l--)x-=5

666618

121

(2)丙考生通过某校强基招生面试的概率为月

...甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：/=1一11一!卜卜一!'11一

16.(1)A=-(2)也

32

【小问1详解】因为2c-b=26zsinj=-J3asinC-acosC,

由正弦定理可得2sinC-sin8=6sinAsinC-sinAcosC，

且sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

即2sinC-sinAcosC-cosAsinC=V3sinAsinC-sinAcosC，

整理可得2sinC=V3sinAsinC+cosAsinC=2sinCsin^A+-^-

且Cw(O,兀)，则sinCwO,可得sin[A+t]=1,

又因为AE(0,兀)，则4<A+巴<亚，可得A+四=乙，所以人=工.

666623

数学答案第1页(共4页)

jr

【小问2详解】因为AD为NB4c的平分线，则/氏4。=/。4。=7，

6

因为^ABC~5口刚。+^CAD，则

-AB-ACsinZBAC=-AB-ADsmZBAD+-AD-ACsinZCAD,

222

即—Z?cx^-=—cxlx—+—xlxZ?x—,可得b+c=-J3bc，

222222

在口R4c中，由余弦定理可得/=廿+°2—2bccosNBAC=（b+c）2-2bc-2bccosABAC,

即6=3（0c）2—20c—Oc,整理可得伍域―Z?c—2=0,解得6c=2或。c=-1（舍去），

所以AABC的面积SAABC=^bc-sinABAC=1x2x^=^.

17.(1)证明见解析⑵*

【详解】(1)取AD的中点。，连接尸O,C。,

因为△P4O为等边三角形，所以尸O1A。,

又因为平面PAD1平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,

所以PO_L平面ABCO,

因为ABu平面ABCD,所以A8_LP。,

又PD_LAB,PDcPO=P,PD,POu平面PAD,所以ABJ_平面PAD,

因为£>Mu平面PAO,所以AB_LZW,

因为M是PA的中点，所以DM，PA,

因为AB,PAu平面尸AB,S.ABC\PA=A,

所以。M_L平面尸AB.

(2)因为AD=2,8C=1,由(1)知四边形ABC。为矩形，则A8〃0C,

又AB_L平面PA。，所以CO_L平面PAO,

以。为坐标原点，分别以OCO2OP所在直线为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系,

则尸(0,0,6),"0,--,^-,c(l,0,0),0(0,l,0),PD=(0,l,-V3),CD=(-1,1,0),

取平面PAB的法向量为DM=,设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),

I22)

数学答案第2页(共4页)

m-PD=0即卜一百z=。

则令z=l,贝！Jx=y=,所以庆=1).

m-CD=Q[-x+y=0

―HIm-DAfl刀£尸=?,所以平面PC。与平面PA8夹角的余弦值为立.

cosm,DM\=-——।L

1|则D叫V3.V777

18.(1)众数为65；平均数为67⑵平均数为87；方差为2

【详解】(1)解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为里空=65,

这800名学生成绩的的平均数为：

x=(55x0.030+65x0.040+75x0.015+85x0.010+95x0.005)x10=67(分).

(2)解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人，

各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人，

其中分数在区间[70,90)的学生为10人，分别为…,10),

其中平均成绩与方差分别为Is?,则a=78,s'=手，

设第三组学生实际成绩分别为七。=1,2,…,6),其平均数和方差为京s：,则i=72,s：=l,

设第四组学生实际成绩分别为％(i=1,2,3,4),其平均数和方差为,

由^_72+4'=78,可得>=87,由卡=-----{m•[^+(x—w)2]+n•+(y—w)2]},

10m+n

2771

可得==1・{6x[l+(72-78)2]+4.[《+(87-78>]},解得$=2,

56+4yy

所以第四组[80,90)的学生实际成绩的平均数为87与方差为2.

19.(1)(2)巫(3)(i)16；(ii)—

1023

(1)由题可知，直线I的一个方向向量坐标为m=(1,-73,2),平面内的一个法向量为h=

设直线/与平面内所成角为A，

则有新日琳2