北京市某中学2024-2025学年高三年级上册数学统练三【含解析】

北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练三

班级：学号：姓名：成绩：

一、选择题共io小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.在复平面内，复数z满足上=3-4i,贝的虚部为()

A.3iB.-3i

C.3D.-3

【答案】D

【解析】

【分析】由iz=3-4i,化简得到z=—4—3i求解.

【详解】解：因为复数z满足iz=3-4i,

所以z=^3—-4i=—4—3i,

i

所以z的虚部为-3,

故选：D

2.已知｛4｝是等比数列，若瓦=3,4=27,则”的值为()

A.9B.-9C.±9D.81

【答案】A

【解析】

【分析】根据等比中项的性质即可得到答案.

【详解】由题得其=&也=3x27=81,而“=%q2〉o,则"=9,

故选：A.

3.已知函数/(x)的导函数/'(x)的图象如图所示，则/(x)的极小值点为()

A.占和B.x2C.X3D.x5

【答案】D

【解析】

【分析】根据导函数的图像，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项.

【详解】因为当xe(—叫&)，/'(x)〉0，所以/(x)单调递增；当》€(七,£)时，/'(封<。，当

》€(天,+8)时，/，(x)>0,所以/(x)在«,》5)上单调递减，在(％，+⑹上单调递增，故/(x)的极小

值点为玉•

故选：D.

x)=a-x,"x)=/的图象可能是(

【解析】

【分析】先根据的单调性相反排除AD,然后根据赛函数图象判断出。的范围，由此可得答案.

【详解】因为在同一坐标系中，所以函数/(x)=10g〃x,g(x)=a-x的单调性一定相反,

且图象均不过原点，故排除AD；

在BC选项中，过原点的图象为嘉函数丸(x)=x"的图象，且由图象可知

所以〃x)=log“x单调递减，g(x)=「单调递增，故排除B,所以C正确.

故选：C.

5.已知实数a>b>c,abcwO,则下列结论一定正确的是()

aa77

A.—>—B.ab>be

bc

11

C.—<—D.ab+bc>ac+b7

ac

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可.

【详解】解：由题可知，"0/w0,-0,

A项中，若Q>b>c>0,则曰<@,故A项错误；

bc

B项中，若Q〉0〉6〉C,则。6<0］。>0,故,ab<bc,故B项错误;

C项中，若。〉0〉6〉。，则一》—,故C项错误；

ac

D项中，ab+be>ac+b1ab-ac>b2-bea(b-c)>b(b-c)，

因为〃>b>c,〃bcwO,则b—c>0,故〃b+bc>ac+b2正确，故D项正确.

故选：D.

6.设Z,3是非零向量，则叩+*同—网”是，痛”的（）

A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意利用平面向量的三角不等式可得结论.

【详解】对于充分性，易知归+.=同-W成立的条件是方向相反，且同〉W，

所以由B+,=同-W可得"〃以所以充分性成立;

对于必要性，若£石的方向也可以相同，此时满足卜+B/同+W，因此必要性不成立,

所以“卜+'=同—忖"是“工〃石”的充分而不必要条件.

故选：A.

3兀

7.已知函数/（x）=/cos（2x+0）（N>0jd<7r）是奇函数，且/-1,将/（X）的图象上所有点

的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为g（x）,则（）

A.g(x)=sinxB.g(x)=-sinx

C.g(x)=cosx+—D.g(x)=cos

I4

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的性质及图象变换计算即可.

【详解】由题意可知e="|+E(左©Z),|同＜兀,

LLI兀1、.7T

所以0=5或0=—5，

3兀-l=^COsfy+^j=-l

由/

因为4>0=>cosf——F0)<0,

所以0=—=即/(x)=cosI2x-^-1=sin2x,

故g(x)=sinx.

故选：A.

8.荀子《劝学》中说：“不积度步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进

步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为。，甲同学每天的'进步”率和乙同学每天

的“退步”率均为2%.〃天后，甲同学的知识储备量为(1+2%)"。，乙同学的知识储备量为(1-2%)”。，则

甲、乙的知识储备量之比为2时，需要经过的天数约为()(参考数据：lg2®0.3010,

lgl02«2.0086,lg98»1.9912)

A.15B.18C.30D.35

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列式，结合对数运算，即可求得答案.

【详解】由题意可设经过"天后甲、乙的知识储备量之比为2,

(1+2%)〃a102〃

则1---------=2,.-.=2,

(1-2%)%98"

lg20.3010

则«(lgl02-lg98)=lg2,:.n=18(天),

lgl02-lg982.0086-1.9912

故选：B

S+S

9.若数列｛%｝满足q=2,-~~-=2〃+3,贝I]&+/的值为()

an+\

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】

S,

【分析】由S"与a”的关系求得（〃+2）S“=（〃+l）S“+i，从而为常数列，得到S=n+l,即可求

〃+1n

5*8+。8的值.

S+S

【详解】由Sn+l-sn=an+l及笠j=2〃+3得S用+S.=（2〃+3）（5„+1-5„）,

%+1

即S"M+S"=（2〃+3）S,「（2〃+3）S,,

即5+2）S.=（〃+I）S.M，

所以斗=工，即）为常数列，

〃+177+21"+1J

又2=幺=1,所以名」=1,即S"="+l,

22n+1

所以S3=9,57=8,ag=S「S牛=1,

所以1+例=10.

故选：B

10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向

端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实

验：目标尸在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m的Z,5两点各放置一个传感器，分别实时

记录N,8两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如

曲线a,6所示.%和J分别是两个函数的极小值点.曲线°经过（0，为），”"）和色，4），曲线匕经过

«2，々）.已知咽=r2t2，八=4m/2=4s,并且从f=0时刻到/=时亥UP的运动轨迹与线段48相交.分析

曲线数据可知，P的运动轨迹与直线42所成夹角的正弦值以及尸的速度大小分别为（）

一用m/sB.9声m/s

7472

「23行/2375.

C.—,-----m/snD.------m/s

7472

【答案】B

【解析】

【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知HC=6m,忸C|=2vm,结合恒回=7m分析求解即可.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，

设动点尸的轨迹与y轴重合，其在/=0%/2时刻对应的点分别为。(坐标原点)，D,E,P的速度为

vm/s,v>0,

因为巾i=r2t2,r1=4m,=2s,%=4s,可得々=2m,

由题意可知：40,8£均与了轴垂直，且|4D|=4m,忸£|=2m,|OZ)|=|Z)£|=2vm,

作，4D垂足为C,则|^C|=6m,|BC|=2vm,

因为Hc『+忸q2即36+4/=49,解得v=浮；

又因为5C〃y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为/48C,

\AC6

所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为sinAABC=[-=-.

\AB7

故选：B.

【点睛】关键点点睛：建系，设动点尸的轨迹与y轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长

度，进而分析求解.

二、填空题共5小题.

11.已知集合八={-1,1,3},B={2,2-1},ACB=⑴，则实数a的值是.

【答案】1

【解析】

【详解】由AGB={1}知，IEB,即解之得斫1,故填1

12.函数/⑴=J2x-1-(4%-3)°的定义域是.

瞪素】黄卜23)

【解析】

【分析】根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0,列式可求定义域.

2x—12013

【详解】由题意可知L个八，解得且xw—，

4%-3。024

.____133

所以函数/(灯=岳=1-(4x-3)°的定义域为弓,/“1+⑹.

133

故答案为：［―,—)U(―,+℃).

244

13.己知命题p：BxeR,ax2+2ax+1<0.若命题。为假命题，则实数a的取值范围是_.

【答案】［0,1)

【解析】

【分析】根据已知中'TxeR,ax2+2ax+l<0”为假命题，可以得到否定命题：“VxeR,

ax2+2ax+l〉0”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a分类讨论后，综合讨

论结果，即可得到答案.

【详解】解：：“mxeR,ax2+2ax+l<0”为假命题，

其否定“VxeR,ax2+2ax+l〉0”为真命题，

当a=0时，显然成立；

当a时，ax?+2ax+l〉0恒成立可化为：

a>0

<4a2-4a<0

解得0<a<l

综上实数a的取值范围是［0,1).

故答案为［0,1).

【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出

原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键.

14.已知等边△4SC的边长为4,E，尸分别是N2，/。的中点，则而.或=；若M，N是线段8c

上的动点,且\MN\=1,则由.函的最小值为.

【答案】①.2②.:##2.75

【解析】

【分析】第一空：通过丽•豆=（或+万•就展开整理，带入数据计算即可；第二空：设

|w|=r,0<r<3,通过西•丽=（丽+丽7）•（砺+的）展开整理，带入数据然后配方求最值.

EF-EA=(EA+AFyEA=EA+AF-EA=22+2x2xcosU0°=2;

若〃,N是线段8c上的动点，且|九亚|=1,不妨设N点相对M更靠近5点,

设忸N|=/,04/W3,

:.EM-^N=(EB+BMy[lB+BN^=EB2+^^BM+BNyEB+RM-BN

=22+2«+/+l)cosl20°+«+1),

当/=」时，①7.函取最小值，且为手.

24

故答案为：2；—.

4

15.已知函数/（x）=2卜时+3k叫其中[x]表示不超过x的最大整数.例如：[1]=1,[0.5]=0,[-0.5]=-1

给出以下四个结论：

②集合｛jeR|j=/(x),xeR｝的元素个数为9;

③存在awR,对任意的xeR,有/(a-x)=/(a+x)；

④/(x)〉x+a对任意xe[0,27r]都成立，则实数。的取值范围是[一叫^一2兀,

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①④

【解析】

【分析】利用给定定义直接判断①，卡出xe[0,2兀],求出每个元素判断②，举反例判断③，利用题意分

离参数，得到a<g(x)mm，再结合给定定义求解g(x)min，最后得到参数范围即可.

【详解】对于①，由/(x)=2卜喇+3卜则知，/⑴=2h丁1+3»°*]=212]+3闫=2°+3T=土故

①正确，

对于②，由周期性可知，/(x)的周期为2兀，故讨论xe[0,2可即可，

易得当x=0时，/(%)=2°+3'=4,当x=；时，/(x)=21+3°=3,

当x=7t时，/(%)=20+3-1=|,当》=弓时，/(x)=2-1+30=|,

当x=2兀时，/(%)=2°+31=4,当xe(.,7t)时，/(x)=2°+3~l=—,

23

当xe(03)时，f(x)=2°+3°=2,当》《(兀,电)时，f(x)=2-1+3~,=-,

226

47r3

当xe(£,2;r)时，/(x)=2-1+3°=1,故该集合元素个数为6,故②错误，

对于③，显然在xe[0,2可时，/(x)的值域不关于x=。对称，

故/(x)不关于x=a对称，即/(a-x)H/(a+x),故③错误，

对于④，当x=0时，/(x)-x=2°+31-0=4,

当％=巴时，/(X)—x=2'+3°——=3——,

当x=271时，f(x)-x=20+31—2兀=4—2兀,

当xe(0,])时，/(x)-x=2°+3°-x=2-xe(2-1-,2),

当时，/(x)—x=2°+3-1—x=g-xe,

当xe(71,—)时，f(x)—x=2-1+3-1—x=--—xe(-————,—-—7t),

2v'6626

当xem，2兀1时，/（X）=2-1+30-x=-1-xe

而/(x)>x+a对任意xe[0,27i]都成立，故。</(x)-x恒成立，

3

令g(x)=/(X)-X,即a<g(x)min，而显然g(x)>5-2兀，

3(3

可得aW——2兀恒成立，即ae|-e，G-27i,故④正确.

2I2」

故答案为：①④

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函

数最值，最后得到所要求的参数范围即可.

三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.等差数列｛%｝中，首项q=1,且外+2,%，%—2成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列二一的前〃项和S,(“eN*).

〔%%+iJ

【答案】(1)an=2n-\

【解析】

【分析】G)根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出d,进而得出数列｛4｝的通项公式;

(2)根据裂项相消求和法得出前〃项和为和S<〃eN*).

【小问1详解】

因为4+2,2成等比数列，所以蜡=(%+2)(%-2)

即(%+24)2=(q+4+2)(4]+31—2),解得d=2,所以%=2〃—1；

【小问2详解】

C111

因为S"=—+—+,,,+-----,

a2a3。〃册+1

c111

S=-----1-------1----1-------------------

"1x33x5(2〃-Dx(2〃+1)'

11111

S=­x1---1------!-,,•+

n23352n-l2/1+1

17.已知函数：/(x)=26sin,cos二一2cos2'.

(1)求的值;

(2)求函数/(x)的单调递减区间及对称轴方程.

27r

【答案】(1)0；(2)---F2E,---F2kn，keZ,x=--FATI,左eZ.

333

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简得/(x)=2sin(x-n-1,把x=g代入函数解析式中，即可/吟)

63

的值；

(2)由正弦函数单调性和对称性，由整体代入法求解可得.

【小问1详解】

由/(-^)=2^/3sin^cos^-2cos2

得/W=V3sinx-(cosx+l)=V3sinx-cosx-1=2sin(x--1

6

所以/q)=2sing-1=0.

【小问2详解】

7Tjr31127rSir

令^+2EVx—+,得上+2EWxW、2hi,keZ

26233

97TS71

所以函数/(%)的单调递减区间是y+2^,y+2hi,keZ

.兀兀777,口2兀77~

令X---=一+左兀，左得％=----F左£Z

623

2兀

即函数/(%)的对称轴方程x+

18.已知△NBC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且〃+°2=/-2加$由幺.

(1)求/的大小；

(2)若。是边的中点，且CD=2,求c+2j%的取值范围.

【答案】⑴八工

(2)(4,472)

【解析】

【分析】(1)根据余弦定理可以求解；

⑵令ZACD=e,利用正弦定理，把边长仇C都用，表示，最后用三角函数知识解得取值范围.

【小问1详解】

因为万+匕2=/一2bcsinZ

匚/+/—Q2—2bcsinA..

J/T以cosA-----------=---------=—sinA，

2bc2bc

所以tanZ=—1,又因为Ze(O,7i),所以幺=彳；

【小问2详解】

A

BC

3兀（a

令N/CD=e,因为2=彳，所以。e[o,

bCDb_2

由正弦定理可得：.「兀二「sinZ~.（71.3兀

sin——0sin—

（4）（4）4

ADCDAD2，八

———=---n-----=----nAD=2A/2sin0

sin。sin/sin。.3兀5

sin——

4

所以c=2Z£>=4&sin。，

11]；一“=4>/2COSI

所以c+2y[2b=4A/2sin0+2^2x2^2si

又因为所以cos。e

所以0+2回€卜,4后）

19.已知函数/（x）=a[x+，-2]-[；x：2一Inx1•

(1)求/(X)的图象在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)讨论/(x)的单调区间.

【答案】(1)y=--

2

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)由导数的几何意义求解切线方程即可；

(2)先将「(%)整理为/'(X)=(/+1)!十—(•(q—x),,〉0,只需考虑(x—1)("x)的符号即可，根据二

次函数的图象性质对参数。分类讨论可得结果.

【小问1详解】

/⑴3-扑卜-曰/⑴"⑴"J，

故/(x)的图象在点(i/(i))处的切线方程为y=--

【小问2详解】

双1)•(a-x),x>0.

2

①当aWO时，令/'(x)=0,解得x=l,有

X(0,1)1(1,+

f'(X+0-

/(•/极大值

故单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8).

②当a＞0时，令/'(x)=0,解得x=l或x=a.

当0＜。＜1时，

X(0,。)a(a」)1(1,+8

-0+0-

/(X)极小值/极大值

故单调递增区间为(a,1),单调递减区间为(0,a),(1,+动，

当a=l时，/'(可〈0,/(》)的单调递减区间为(0,+8),无单调递增区间.

当a〉l时，

X(0,1)1(1,«)a(a,+8

r㈤-0+0-

“X)极小值/极大值

单调递增区间为(1,。)，单调递减区间为(0」),(。,+。).

综上，

当aWO时，/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8)；

当0＜。＜1时，单调递增区间为(a,1),单调递减区间为(O,a),(l,+“)；

当a=l时，单调递减区间为(0,+8),无单调递增区间；

当a〉l时，单调递增区间为(1,。)，单调递减区间为(0」),(a,+。).

20.已知/(x)=(2x—1卜@—x在x=0处的切线方程为x+y+b=O.

(1)求实数a,6的值；

3

⑵证明：/(X)仅有一个极值点X。，且/(%)＜-屋

(3)若g(x)=(丘-是否存在左使得g(x)2-1恒成立，存在请求出左的取值范围，不存在

请说明理由.

【答案】(1)a=2,b=l

(2)证明见详解(3)不存在，理由见详解

【解析】

【分析】(1)求出/(x)的导数，根据切线方程求出。，b的值即可；

⑵求导可得/'(x)=4xe2—1,令g(x)=/1x),利用导数可得g(x)的单调性，结合零点存在性定

理可得g(x)在上存在唯一零点X。，且4/七2演=1,进而可得/(X)的单调性，可判断极值情

况；结合4%-e2x。=1代入化简/(%)=5—x0+—,运算得证；

(3)问题转化为(6—1卜丘2》一1,对xeR恒成立，当上W0时，显然上式不成立；当后>0时，令

^(x)=(Ax-l)efa-x+l,利用导数可得存在X］使得°'(xJ=0,当xe(0,xJ时，

9’(x)<0,即0(%)单调递减，此时O(x)<0(0)=0,上式不能恒成立，得解.

【小问1详解】

由题意，f(x)=(2ax+2-a)eax-l,则/(0)=1-口=—1,

解得a=2,又/(0)=-1,可得切点为(0,-1),代入x+y+b=0,得6=1.

所以实数。=2,6=1.

【小问2详解】

由⑴#/(x)=(2x-l)e2x-x,则/'(%)=4犹2”一1,

令g(X)=/'(X),g'(x)=4e2x(l+2x),

令g'(x)〉0,得令g'(x)<0,得x<—,，

所以g(x)在,9一!1上单调递减，在，0,+“上单调递增，

所以g(x)min=g,j=-2「一1<0，

且当x<0时，g(x)<0,g(0)=-l<0,g［；］=e2—1〉0,

2x

所以g(X)在j上存在唯一零点X。,使得g国)=0即4x0.e»=1,

当xe(-8,Xo)时，g(x)<0,即/(x)<0,/(x)单调递减，

当xe(x(),+co)时，g(x)>0,gpfr(x)>0,/(x)单调递增，

所以/（X）仅存在一个极值点Xo,Xo,

11（1、

x=—2X

/（o）1）G°—XQ=（2x0—l）x—xQ=~~x0+——,

4%ZI

\4x2-1

又函数y=x+元，XGI09-I,而了

所以V=x+—在x£[0,二]上单调递减，则y=x+^—＞—,

4xI4J4x4

所以/（Xo）＜g—：=_[•

【小问3详解】

若存在左，使得g（x）2—1恒成立，gp（Ax-l）efa＞x-l,对xeR恒成立，

当左W0时，当x＞l时，则（丘—l）e&＜0,显然上式不成立；

当左＞0时，令0（%）=（丘一l）e辰一X+1,0（0）=0,

则"（x）=k2x/-1,

令G（x）="（X）,则G'（x）=k2（1+日）/＞0在[0,+8）上恒成立，

所以G（x）即e'（x）在曲+⑹上单调递增，又/⑼=—1,1〉0,

所以存在司€10,，；使得°'（xJ=0,

所以当xe（O,xJ时，即9（x）单调递减，此时9（x）＜9（0）=0,

所以°（x）20不恒成立，

故当人＞0时，不存在左满足条件.

综上,不存在左，使得g（x）2-1恒成立.

【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是将问题转化为（依-l）eh2x-l,对xeR恒成立，分

左W0和左＞0讨论，其中人＞0时，令0（x）=（丘-l）eh-x+l,利用导数判断求解找出矛盾.

21.有穷数列a”4，…，%（"〉2）中，令SMq）=%,+ap+i+…+与（l〈pWq〈及,p,qeN*）,当p=q

时，规定=

（1）已知数列一3,2,—1,3,写出所有的有序数对（夕应），且P<1,使得S（〃q）>0；

（2）已知整数列％,出，…，%，〃为偶数，若i+=1,2,…措］，满足：当，,为奇数时，

S（z；〃一i+l）〉O；当i为偶数时，S（z；〃—i+l）<0.求|%|+,2|+・一+|%|的最小值；

（3）已知数列为吗,…9满足5。,〃）〉0,定义集合2={相。+1.）〉0,；1,2「一,〃-1}.若

Z={z",…,九}（左右N*）且为非空集合，求证："+a,2+­­•+a..

【答案】（1）（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）

（2）n-1

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；

（2）由题意可