苏科版八年级数学上册教材同步练习：实数章末重难点题型（原卷版+解析）

专题复习实数章末重难点题型

旨【题型目录】

考点一求一个数的算术平方根

考点二根据算术平方根的非负性解题

考点三平方根的应用

考点四求一个数的立方根

考点五立方根的应用

考点六实数的大小比较

考点七新定义下的实数运算

考点八与实数运算相关的规律题

【考点一求一个数的算术平方根】

x+2y=k

【例题1】已知方程组的解满足x+y=2,则左的算术平方根为（)

2x+y=2

A.±2B.2C.-2D.4

【变式1T】若一个三角形的三边长为3、4、尤，则使此三角形是直角三角形的x的值是（）

A.5B.6C.6或夕D.5或近

【变式1-2］若x,y满足（彳一5）2+5乙=0,则X，的算术平方根为.

【变式「3】若单项式-5/y2…1与2022》时，2可以合并成一项，则m-7〃的算术平方根是

【变式1-4】已知“的平方根为±3,的算术平方根为2.

（1）求4，6的值；

⑵求。+26的平方根.

【考点二根据算术平方根的非负性解题】

【例题2］已知而^+|b-1|=0,那么（。+6）2°22的值为（）

A.-1B.1C.32022D.-32022

【变式2-1］若实数尤满足«^・卜+1归0,则（）

A.x=2或一1B.2>x>—1C.x=2D.x=-1

【变式2-2］已知：>/』+/+4'+4=0,那么x+y的值等于.

【变式2-3］若x,y为实数，且Ix—21+77+3=0-则（x+y）刈'的值为

【变式2-4］己知：|a+2|+扬=1=0,

⑴求a,6的值；

（2）先化简，再求值：a（<7+3Z?）-（a-2/j）2+4b2

【考点三平方根的应用】

【例题3】如图，面积为7的正方形A8CQ的顶点A在数轴上，且表示的数为1,若点E在数轴上（.点E

在点A的右侧），且A8=AE,则点E所表示的数为（）

B.2

A.77c.1+V7D.77+2

2

【变式3T】已知755名心4.858,5/236^1.536,则-J2360001()

A.-485.8B.-48.58C.-153.6D.-1536

【变式3-2】一个正数的平方根分别是-x+l和2x+5,则这个正数是

【变式3-3］如图，在3x3的方格纸中，有一个正方形A5CD,这个正方形的边长是

【变式3-4］如图，用两个边长为夜cm的小正方形拼成一个大的正方形.

(1)求大正方形的边长:

(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3,且面积为

48cm°?

【考点四求一个数的平方根】

【例题4】如表是李小聪的数学测试答卷，他的得分应是()

姓名：李小聪得分：？

填空(每小题20分，共120分)

①-0.5的绝对值是(万).

②2的倒数是(-2).

③-0.8的相反数是(0.8).

④-1的立方根是(-1).

⑤算术平方根是它本身的数是(1).

⑥府的算术平方根是(8).

A.120分B.100分C.80分D.60分

【变式4-1］按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64,则输出的)的值是()

是无理数

输Ax---4取算术平方根|是有理数」是无理数输出7

-----------1取立方根H--------

是有理数

A.aB.6C.^2D.1/3

【变式4-2］如图，数轴上点A表示的数为x,则d-13的立方根是

【变式4-3］据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有

一道智力题：一个数是59319,希望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.邻座的乘客十分惊奇，忙问计算

的奥秘.华罗庚给出了如下方法：(1)由103=1000,10()3=1000000,确定秘9319是两位数;(2)由59319

个位上的数是9,确定」59319个位上的数是9；(3)划去59319后面的三位319得到59,而3,=27,43=64,

由此确定病杀十位上的数是3.请你类比上述过程，确定21952的立方根是.

【变式4-4］如图，a,b,c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数.

(1)将。，b,c,0由大到小排列(用“>”连接)

(2)a-Z>0；—______o(填写“>"，"="，“<”)

(3)试化简：一5_耳+,(“+/_

【考点五立方根的应用】

【例题5］有一个数值转换器，流程如下:

是

无

理

输入x数

是有理数

当输入的x值为64时，输出的y值是（）

A.4B.72C.2D.蚯

【变式5-1］已知症了=1_/,则。的值为（）

A.±0B.0或±1C.0D.0,±1或±0

【变式5-2］如图1,这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.把正方形ABCD放到数轴上,

如图2,使点A与-2重合，那么点。在数轴上表示的数为.

A

图1图2

【变式5-3】我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319,希望求它的立方根.

解答：：103<59319<10()3,#59319是两位整数;

,整数59319的末位上的数字是9,而整数0至9的立方中，只有干=729的末位数字是9,.,.肉59319的末

位数字是9；

又•••划去59319的后面三位319得到59,而3c轲<4,

二059319的十位数字是3；

#59319=39；

【应用】3(2x-l)3+59049=0,其中x是整数则x的值为.

【变式5-4］你知道怎样迅速准确地计算出195112的立方根是多少吗？请按照下面的问题试一试：

(1)由1()3=1000,1003=1000000,推出*195112是______位数；

(2)由195112的个位数是2,推出4195112的个位数是；

(3)如果划去195112后面的三位112,得到195,而53=125,63=216,推出V195112的十位数是，

所以，小195112=.

【考点六实数的大小比较】

【例题6】已知外,“2，"3'…,。2022均为负数，则---H/gX%+O3H----^的位)，

1

N=(<ai+a2+ai-i-------"%122)(%----------^2021)»则M与N的大小关系是()

A.M=NB.M>NC.M<ND.无法确定

【变式6-1］如图1和2,两个圆的半径相等，0八。2分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为N，

图2中的阴影部分面积为S2,那么Si与8之间的大小关系是()

C.S1>S2D.不能确定

【变式6-2】比较大小：”(填“”或“<”)

【变式6-3]已知加加{。，瓦。}表示取三个数中最小的数.例如：当x=-2时，min{|-2|,(-2)2,(-2)3)=-8,

当min{,尤,尤?}=w时，贝ijx=

【变式6-4】阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数。和6比

较大小，有如下规律：若a-6>0,则a>6；若a-b=O,则a=6；若a-b<0,贝!Ja<6,上面的规律，反过来

也成立.课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的.参考小明发现的规律，解决问

题：

⑴比较大小：3.3+V5V10+V5;(填“<"，"="或">")

(2)已知无+2〉-2=0,且犬20,若4=支-5个+1,B^-5xy+2y,试比较A和B的大小.

【考点七新定义下的实数运算】

-\a(a>b\{b(a>b}

【例题7】对任意两个实数a,b定义两种运算：。㊉6=Ja®b=\\」、,并且定义运算顺序仍

然是先做括号内的，例如(-2)㊉3=3,(-2)03=-2,[(-2)®3]02=2,那么(山㊉2)(8)区的值为()

A.2B.乖C.3D.375

【变式7-1】规定不超过实数x的最大整数称为尤的整数部分,记作国，例如[9.85]=9,[3]=3,[VI可=3.下

列说法：①[4一应]=2；②[6]+[&]+[6]+…+[&?]+[而]=54；③（°为正整数）；④若〃为正整

数，且[“]=炳，则〃的最小值为6,其中正确说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式7-2]对于任何实数a,可用同表示不超过。的最大整数，如[4]=4,[0]=1,则-1]=.

【变式7-3]如果无理数加的值介于两个连续正整数之间，即满足。<根〈匕（其中。、b为连续正整数），

我们则称无理数加的“雅区间”为（〃,6）.例：2〈石<3,所以逐的“雅区间”为（2,3）.若某一无理数的“雅

区间”为（。,6）,且满足3<6+6V13,其中x=b,y=6是关于x、V的二元一次方程组法+0=p的一

组正整数解，则。=.

【变式7-4】阅读下列材料，并回答问题：

人们把形如a+b而与4-方加（a,b为有理数且6不等于0,机为正整数且开方开不尽）的两个数称为共

物实数

（1）请你举出一对共辗实数

（2）3五与26是共朝实数吗？-2班与2君是共辗实数吗？

（3）共朝实数a+匕而与a-方向是有理数还是无理数?

（4）你发现共轨实数“+匕而与a-/）向的和，差是有理数还是无理数？

【考点八与实数运算相关的规律题】

【例题8】有一列数%,a3,a4,an,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒

数的差，若q=2,则%>21的值为（）

A.2B.-1C.1D.2021

【变式8T】若4=1+产+至，%=1+/+?，/=1+¥+不，%=1+不■+#…，则

+…+J%°22的值为（）

202120222022

A.2021B.2023C.2022D.222

202220232023。黑

【变式8-2】观察下列各式：

卜"，J，J""；"之，Jl+$+：l+占,……

请利用你所发现的规律，计算Jl+,+*+J+*+"+,+"+"+.......+J1+20；F+20；22，其结果为

【变式8-3】将1、6、&、布按如图方式排列.若规定（加，〃）表示第m排从左向右第"个数，则（5,

4）与（12,3）表示的两数之和是.

【变式8-4】已知7A7==1_]_

1XZXJLJJX43-4

11

（1）观察上式得出规律,则砺而=--------------，而可=

(2)若y/a-1+-jab-2=0,求。、b的值.

,1111

⑶由(2)中“、"的值’求焉+(.+1)他+1)+(.+2)9+2)*.,+(4+2014)0+2014)的值，

4【亮点训练】

i.五君、q的大小关系为（）

A.V2<V3<1|B.1|<V2<V3

C.V2<1|<V3D.V3<1|<V2

2.下列运算中，①理=±±,②眄?=2,③F-后7,@J-4+-=-+-=--错误的有

V14412、V164424

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.下列说法：（1）任何一个数都有两个平方根，它们互为相反数；（2）数。的平方根是土&；（3）T的算

术平方根是2；（4）负数不能开平方；（5）±764=8,其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入尤的值为16时，输出的y的值为（）.

A.4B.&C.2D.1

5.如图，OP=1,过点P作尸《1。尸且咫=1,得以=及；再过点1作且6鸟=1,得0£=指；

又过点鸟作鸟且HA=i,得。A=2…依此法继续作下去，得。鸟。19等于（）

A.V2017B.72018C.72019D.J2020

6.若m-l)2+|b—9|=0,则A

7.已知土―27=0.

（1）X的值为；

（2）x的算术平方根为.

8.南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法.其理论依据

是：设实数尤的不足近似值和过剩近似值分别为2和«（即有其中a,b,c,d为正整数），则*

acaca+c

15722

是x的更为精确的近似值.例如：已知"〈兀〈三，则利用一次“调日法'’后可得到兀的一个更为精确的近

似分数1为57+不22==179,,由于1f79"3.1404〈兀，再由17三9〈兀〈2彳2，可以再次使用“调日法”得到兀的更为

50+75757577

精确的近似分数得.现已知（〈丘则使用两次“调日法”可得到后的近似分数为-

9.若符号团，切表示a,。两数中较大的一个数，符号(a,b)表示a,6两数中较小的一个数，则计算

23一

。，-2)-的结果是.

10.高斯是德国著名数学家，被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的

“高斯函数”：函数产印，也称为取整函数，即印表示不大于x的最大整数，如[-2.5]=-3,[3.14]=3,根据这

个规定：

(1)[-A/5+1]=；

(2)若[言]=2022,则x的取值范围是.

11.实数。，b,c在数轴上的对应点如图所示，其中。是原点，且同=上|;

化简：后-血-咛-、a+c\+J(c_〃)2

baOc

12.(1)已知=6=2,z是9的算术平方根，求2x+y-5z的值；

(2)已知J2a-1=3,3a+b-l的平方根是±4,。是而的整数部分，求a+b+3c的平方根.

13.如图，ZBAD=ZCAE=90°fAB=ADfAE=AC,AFLCB,垂足为E

⑴求证：A

(2)求/刚E的度数；

⑶若。E=a,CD=b,并且^/^^=-^/^二^,求。8的长度.

14.阅读下面的文字，解答问题：大家都知道0是无理数，而且&＜0＜4,即1(应＜2,无理数是无

限不循环小数，因此血的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用拒-1来表示血的小数部分，你

同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为0的整数部分是1,将这个数减去其整

数部分，差就是小数部分.

又例如：①有即1＜班＜2,；.6的整数部分为1,小数部分为(石-1).②•：R〈亚〈也，

即2〈逐＜3,...逐的整数部分为2,小数部分为心-2).

请解答：

如果血的小数部分为“，内的整数部分为6,求a+6-而的值;

15.阅读材料，并解答问题：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图①，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=3,

BC=4,•.,32+42=52,；・斜边AB=5,为了比较石+1与碗的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分

①②

(1)小伍同学利用计算器得到了右a2.236,5/10«3.162.故斯+1____加.(填“>”“〈”或“=”)

(2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中NC=90。，

BC=3,点。在8C上，且班>=AC=1.请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较斯+1和的

大小.

《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》

专题复习实数章末重难点题型

旨【题型目录】

考点一求一个数的算术平方根

考点二根据算术平方根的非负性解题

考点三平方根的应用

考点四求一个数的立方根

考点五立方根的应用

考点六实数的大小比较

考点七新定义下的实数运算

考点八与实数运算相关的规律题

【考点一求一个数的算术平方根】

【例题1】已知方程组的解满足x+y=2,则上的算术平方根为（）

[2x+y=2

A.i2B.2C.—2D.4

【答案】B

【分析】把两个方程相加可得3x+3y=2+k,两边同除以3可得无+尸三=2,解得仁4,因

此上的算术平方根为2.

【详解】]尤+尸2②，

①+②得，3x+3y=Z+2,

.2+k

：x+y=2,

：.k=4,

=s[4=2.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次方程，算术平方根，解决问题的关键是

熟练掌握用适当方法解二元一次方程组，一元一次方程的一般解法，算术平方根的定义与求

一个数的算术平方根.

【变式1T】若一个三角形的三边长为3、4、x,则使此三角形是直角三角形的x的值是

A.5B.6C.6或将D.5或"

【答案】D

【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边和直角边两

种情况讨论.

【详解】解：•••这个直角三角形的三边长分别为3,4,尤，

①当4是此直角三角形的斜边时，由勾股定理得到：

X="2_32=币,

②当4是此直角三角形的直角边时，则斜边为x,由勾股定理得到：

12

x=yj4+3=5-

故选：D.

【点睛】本题考查的是用勾股定理解三角形，解答此题时注意要分类讨论，不要漏解.

【变式「2】若x,y满足（》-5）2+由工=0,则炉的算术平方根为.

【答案】1##0.2

【分析】根据平方和算术平方根的非负性，可求出x和y的值，再求出犬的算术平方根即可.

【详解】5『+77^=0,

x-5=0,y+2=0,

解得：x=5，y=-2,

故答案为：!.

【点睛】本题考查非负数的性质，负整数指数幕和算术平方根.掌握平方和算术平方根的非

负性是解题关键.

【变式「3】若单项式-5/y2m+”与2022下”-。2可以合并成一项，贝7〃的算术平方根是

【答案】4

【分析】根据题意可知两个单项式是同类项，根据同类项的定义可得：吁片4,2m+n=2,联

立求出相和"的值，最后将相和w的值代入m-7n并求出算术平方根即可.

【详解】丁-5/丁旭+"与2022/-"/可以合并成一项，

/.-5x4y2m+"与2022尤"5是同类项，

\m-2

将《仁代入加一7〃得：2-7x(-2)=16,

[n=-2

二川-7九的算术平方根是：J话=4,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了同类项的定义，解二元一次方程以及求一个数的算术平方根，熟练

掌握相关内容是解题的关键.

【变式「4】已知。的平方根为±3,6的算术平方根为2.

⑴求。，6的值；

⑵求a+26的平方根.

【答案】(1)。=9,6=5；

(2)±719

【分析】(1)运用平方根和算术平方根的定义求解即可；

(2)先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答.

(1)

解：的平方根为±3,

a=9,

・・•a-8的算术平方根为2,

a-b=4,

a=9,

：.b=5,

(2)

解：a=9,b=5,

：.符含岭9+2?

：.a+2b的平方根为士M.

【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义求得a、b

的值是解答本题的关键.

【考点二根据算术平方根的非负性解题】

【例题2]己知而I+|b-1|=0,那么(a+b>°22的值为()

A.-1B.1C.32°22D.-32022

【答案】B

【分析】根据非负数的性质列式求出4、6的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

【详解】解：VV^+2+|Z7-l|=0,V^2>0,|^-1|>0

\ja+2=0,1=0

/.a+2=0,b-1=0,

解得a=-2,b=l,

：.(a+6严

=(-2+1)2022

=(-1)2022

=1,

故选：B.

【点睛】本题考查了非负数的和为0,涉及了绝对值和算数平方根等相关知识，掌握并熟练

使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键.

【变式2-1］若实数x满足与•卜+1归0,则()

A.x=2或一1B.2>x>—1C.x=2D.x=~l

【答案】A

【分析】根据非负数性质求解即可.

【详解】解：VV^-2-|x+l|<0,

又y/x-2>0,|x+l|>0,

.,.x-2=0或x+l=0,

解得：x=2或x=-l,

故选：A.

【点睛】本题考查非负数的性质，熟练掌握算术平方根的非负数，绝对值的非负数是解题的

关键.

【变式2-2】已知：G斤+/+4丁+4=0,那么的值等于.

【答案】-1

【分析】将原等式化为Gl+(y+2『=0,根据算术平方根的非负性及偶次方的非负性求

出x=l,y=-2,再代入计算即可.

【详解】解：vVx-1+y2+4y+4=0

二>/^+(丫+2)2=0

.*.x-l=0,y+2=0,

解得%=Ly=-2f

.*.x+y=l-2=-l,

故答案为：-1.

【点睛】此题考查了完全平方公式，算术平方根的非负性及偶次方的非负性，已知字母的值

求代数式的值，正确掌握完全平方公式是解题的关键.

【变式2-3］若x,y为实数，且Ix—2|+6有=0,贝U(x+>)刈'的值为.

【答案】1

【分析】根据绝对值以及算术平方根的非负性，可以求出x和y的值，再求出x+y的值，即

可求出答案.

【详解】解：：Ix—2|+Jy+3=0,

.*.x-2=0,y+3=0,

•\x=2,y=-3,

x+y=2+(-3)=—1,

：.(x+y)2015=(-l)2015=-l

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了绝对值以及根式，熟悉其性质是解决本题的关键.

【变式2-4】已知:\a+2\+4b^i=O,

⑴求a,6的值;

(2)先化简，再求值：a(6z+3Z?)-(a-2Z?)2+4^2

［答案］⑴。=-2,6=1

(2)lab；-14

【分析】(1)根据非负数的性质求得。+2=0且6-1=0,即可求解；

(2)根据单项式乘以多项式，完全平方公式进行计算，然后将(1)中的“力的值代入即可

求解.

(1)

根据非负数得：a+2=0且6-1=0,

解得：a--2,b=l；

(2)

原式=a2+3ab-a2+4ab-4b2+4b2，

=lab,

当a=-2,b-1时，

原式=7?(-2)?=—14.

【点睛】本题考查了非负数的性质，整式乘法运算化简求值，正确的计算是解题的关键.

【考点三平方根的应用】

【例题3】如图，面积为7的正方形ABC。的顶点A在数轴上，且表示的数为1,若点E在

数轴上(点E在点A的右侧)，且则点E所表示的数为()

A.币B.XLC.1+V7D.币+2

2

【答案】C

【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为近，所以而得AE=布,

A点的坐标为1,故E点的坐标为"+L

【详解】•••面积为7的正方形A8C。为7,

：.AB=-fi,

'：AB=AE,

:.AE=y/y,

A点表示的数为b

点表示的数为⑺'+1,

故选：C.

【点睛】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出A8=AE=g.

【变式3T】已知7^%心4.858,A/236«1.536,则-4236000q()

A.-485.8B.-48.58C.-153.6D.-1536

【答案】A

【分析】根据平方根小数点的移动规律解答.

【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则-V236000=-485.8；

故选：A.

【点睛】此题考查了平方根小数点的移动规律：当被开方数的小数点向右每移动两位，则平

方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左

移动一位.

【变式3-2】一个正数的平方根分别是-*+1和2x+5,则这个正数是

【答案】49

【分析】根据题意，结合平方根的性质列出方程，求解方程即可得到结论.

【详解】解：•••一个正数的平方根有两个，且互为相反数，

•••由一个正数的平方根分别是-x+1和2尤+5,可知(r+l)+(2x+5)=0,

即x+6=0,解得x=-6,

(-X+1)2=72=49,

故答案为：49.

【点睛】本题考查平方根的性质，根据题意列出方程求解是解决问题的关键.

【变式3-3］如图，在3x3的方格纸中，有一个正方形A3CD,这个正方形的边长是

【答案】6

【分析】求出正方形的面积即可求出正方形的边长.

【详解】解：由题意得：S正方形.8=3*3-4、3X1、2=5,

设正方形ABC。的边长为x,

2

X=5J

x=+\/5，

又：%>0,

x=A/5，

故答案为：非.

【点睛】本题主要考查了平方根的应用，正确求出正方形的面积是解题的关键.

【变式3-4］如图，用两个边长为反cm的小正方形拼成一个大的正方形.

(1)求大正方形的边长：

(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：

3,且面积为48cm2?

【答案】(1)大正方形的边长为8cm

(2)沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3,且

面积为48cm2

【分析】(1)根据已知正方形的面积关系即可求出大正方形的边长；

(2)先求出长方形的边长，再判断即可.

(1)

解：大正方形的边长为acm,则/=2x(厄丁=64,

a>0,

・'・a=8.

答：大正方形的边长为8cm.

(2)

解：设长方形纸片的长为4xcm,宽为3%cm,则4斗3%=48,

解得f=4,

Vx>0,

x=2,

4x=8cm,3%=6cm,

..•大正方形的边长为8cm,符合.

所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3,

且面积为48cm2.

【点睛】本题考查了平方根的实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键.

【考点四求一个数的平方根】

【例题4】如表是李小聪的数学测试答卷，他的得分应是()

姓名：李小聪得分：？

填空(每小题20分，共120分)

①-0.5的绝对值是(万).

②2的倒数是(-2).

③-0.8的相反数是(0.8).

④-1的立方根是(-1).

⑤算术平方根是它本身的数是(1).

⑥洞的算术平方根是(8).

A.120分B.100分C.80分D.60分

【答案】D

【分析】根据绝对值，倒数，相反数，立方根，算术平方根的概念判断即可.

【详解】解：①-0.5的绝对值是(!)，正确；

②2的倒数是(-2),错误；

③-0.8的相反数是(0.8),正确；

④-1的立方根是(-1),正确；

⑤算术平方根是它本身的数是(1),错误；

⑥扃的算术平方根是(8),错误；

李小聪的试卷答对了3题，共得分60分.

故选：D.

【点睛】本题考查的是绝对值，倒数，相反数，立方根，算术平方根，掌握其各自定义是解

题的关键.

【变式4-1］按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64,则输出的>的值是()

是无理数

是有理数

A.V2B.V3C.次D.为

【答案】A

【分析】根据图中的流程依次进行计算和判断，得到最后的输出>=夜，从而得到答案.

【详解】当输入x=64

得y/x=^64=8

:8是有理数

•••计算8的立方根得强=2

：2是有理数

，再次计算2的算数平方根得0

V夜是无理数

所以输出y=3

故选：A.

【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是熟练掌握算术平方根、立方根、有理数、无理

数的相关知识.

【变式4-2］如图，数轴上点A表示的数为无，则尤2一13的立方根是.

【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，即知表示O的点和A之间的线段的长，进而可推

出点A所表示的数，然后代入Y-13计算即可.

【详解】解：=

点A表示的数为：-石

X2-13=(->/5)2-13=5-13=-8

二/一13的立方根是4=-2

故答案为：-2.

【点睛】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数，解答本题的关键就是求出圆弧的长度,

求出点A在数轴上所表示的数.

【变式4-3］据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客

阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319,希望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.邻

座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘.华罗庚给出了如下方法：(1)由lO3=iooo,

1003=1000000,确定W59319是两位数;(2)由59319个位上的数是9,确定朗59319个位

上的数是9；(3)划去59319后面的三位319得到59,而3?=27,43=64,由此确定059319

十位上的数是3.请你类比上述过程，确定21952的立方根是.

【答案】28

【分析】首先由1。3=1000,10()3=1000000,确定任21952是两位数,再由21952个位上的

数是2,确定烟痂个位上的数是8,然后划去21952后面的三位952得到21,而2?=8,

33=27,由此确定标五十位上的数是2,即可得出结果.

【详解】解：V1000<21952<1000000

/.10<^/21952<100

用21952是两位数

又..•只有个位上是8的数的立方的个位上的数是2

，#21952的个位上的数是8

:划去21952后面的三位952得到21,W23=8,33=27

•，.421952十位上的数是2

二W21952的值为28

故答案为：28

【点睛】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方

的个位数是解本题的关键.

【变式4-4］如图，a,b,c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数.

(1)将a,b,c,0由大到小排列(用““连接):

(2)a-b0；_o(填写“>"，"="，“<”)

(3)试化简：_,_闿+'(4+<?)3_'(0_3)2

【答案】(l)c>0>a>人

(2)>，<

⑶26

【分析】(1)数轴上，越往左数字越小，越往右数字越大，据此即可作答;

(2)根据(1)中的结果，结合不等式的性质即可作答；

(3)根据(2)中的结果去绝对值和根号，即可得解.

(1)

根据数轴上各数的位置，有：c>0>a>b,

故答案为：c>0>a>b；

(2)

在(1)中有c>0>a>。，

d>b,c>b,

a-b>0,c-bX),

b—c<0,

故答案为：>,V;

(3)

・a—b>Q,c—b>0,

一卜一可+'(〃+0)3_j(c_b)2

=一(a—6)+(a+c)—(c—Z?)

=—a+b+a+c—c+Z?

=2b,

故答案为：2b.

【点睛】本题考查了利用数轴比较实数的大小，不等式的性质，求一个数的立方根以及二次

根式的性质等知识，根据数据得到c>0>a>6,再根据不等式的性质得到a-b>0,c-bX),

是解答本题的关键.

不等式的基本性质

①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变,

即：若a>b,那么。土〃土加；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号

的方向不变，即：若d>b,且小>0,那么或③不等式的两边同时乘以(或

mm

nh

除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：若人，且/Z0,那么/或一<2.

mm

【考点五立方根的应用】

【例题5】有一个数值转换器，流程如下:

是

无

理

输入X数

是有理数

当输入的x值为64时，输出的y值是()

A.4B.J2C.2D.蚯

【答案】B

【分析】依据运算程序进行计算即可.

【详解】解：扃=8,是有理数，8的立方根是2,是有理数，2的算术平方根是0.

故选：B.

【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键.

【变式5-1】已知m二/=则。的值为（）

A.±7?B.0或±1C.0D.0,±1或土行

【答案】D

【分析】根据已知推导出一个数的立方根是它本身这个条件，进而得出这样的数有0,-b

1三个，求解即可.

【详解】•.•羽二/=即一个数的立方根是它本身，

这样的数有0,-1,1三个，

1—a2=1,l—a2=~l>l—（i2=0>

<2=0,。=±1或。=±&；

故答案为：D

【点睛】本题考查了立方根的综合应用，根据已知条件推导出一个数的立方根是它本身这个

条件是解题的关键.

【变式5-2］如图1,这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.把正方形ABCD

放到数轴上，如图2,使点A与-2重合，那么点O在数轴上表示的数为.

图1图2

【答案】-2-20

【分析】设每个小立方体的棱长为。，由题意易得8a3=64,则有。=2,根据图形可得正方

形ABCD的面积为8,然后根据正方形的面积公式可得AD=2后，进而问题可求解.

【详解】解：设每个小立方体的棱长为。，由题意得：8a3=64,

••。=2,

4x4

设正方形ABCD的边长AD=x,由图形可得正方形ABCD的面积为%2=——=8,

2

x=Vs=2^/2,

••,点A与-2重合，

•••点。在数轴上表示的数为-2-2近；

故答案为-2-20.

【点睛】本题主要考查立方根和算术平方根的应用，熟练掌握求一个数的立方根和算术平方

根是解题的关键.

【变式5-3】我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319,希望求它

的立方根.

解答：：IO?<59319<10。3,#59319是两位整数;

:整数59319的末位上的数字是9,而整数0至9的立方中，只有T=729的末位数字是9,

#59319的末位数字是9；

又：划去59319的后面三位319得到59,而3〈病<4,

•1•第59319的十位数字是3；

459319=39；

【应用】3(2x-l)3+59049=0,其中尤是整数则尤的值为.

【答案】-13

【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可.

【详解】：3(2x-l)3+59049=0,

/.(2x-l)3=-19683,

V103<19683<1003，

，W19683是两位整数;

..•整数19683的末位上的数字是3,而整数0至9的立方中，只有73=343的末位数字是3,

比9683的末位数字是7；

又：划去19683的后面三位683得到19,

而2<晒<3,

「9683的十位数字是2；

二班9683=27；

2x-l=-27,

解得产-13,

故答案为：-13.

【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程

是解题的关键.

【变式5-4］你知道怎样迅速准确地计算出195112的立方根是多少吗？请按照下面的问题

试一试:

(1)由1()3=1000,1003=1000000,推出M195112是______位数；

(2)由195112的个位数是2,推出机95112的个位数是；

(3)如果划去195112后面的三位112,得到195,而53=125,63=216,推出第195112的

十位数是,所以，#195112=.

【答案】(1)2；(2)8；(3)5；58

【分析】分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第(2)

和第(3)步求出个位数和十位数即可.

【详解】解：(1)1/103=1000，1003=1000000,

又1000<195112<1000000，

95112是一个两位数;

故答案为：2；

(2)根据题意，：师=8,则个位上的数字是8,

.1.比9592的个位数是8；

故答案为：8；

(3)由题意,V125