2024-2025学年北师大版九年级数学上学期复习训练：特殊平行四边形（解析版）

清单01特殊平行四边形（20个考点梳理+题型解读+提升训练）

考点循单

定义有一个角是直角的平行四边形

四个角是直角

性质

-------,对角线相等

有一个角是直角的平行四边形

角-----------------------------

判定--------三个角是直角的四边形

对角线对角线相等的平行四边形

定义有一组邻边相等的平行四边形

边四条边相等

性质对角线互相垂直

-------对角线------------------

每一条对角线平分一组对角

有一组邻边相等的平行四边形

边

判定--------四条边相等的四边形

对角线对角线互相垂直的平行四边形

有一个角是直角

定义平行四边形------------------

-----------------------有一组邻边相等

边四条边相等

角四个角是直角

颗相等

对角线互相垂直平分

每条对角线平分一组对角

边有一组邻边相等的矩形

角有一个角是直角的菱形

判定--------------------------------

-------对角线相等的菱形

对■角线

------:-对角线互相垂直的矩形

三角形中位线

直角三角形斜边上的中线

【清单01】平行四边形的性质

1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD/7BC,AD=BC,AB〃CD,AB=CD；

2.角的性质：两组对角分别相等，如图：ZA=ZC,ZB=ZD

3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：A0=C0,B0=D0

【清单02】平行四边形的判定

1.与边有关的判定：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形

【清单03】三角形的中位线

三角形中位线：在4ABC中，D,E分别是AC,AC的中点，连接DE.像DE这样,

连接三角形一两边中点的线段叫做三角形的中位线.B

中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

【清单04】平行线之间的距离与平行四边形的综合

定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之

间的距离

性质：平行线之间距离处处相等

【清单05】菱形的性质

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：(1)具有平行四边形的性质

(2)且四条边都相等

(3)两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

【清单06】菱形的面积

菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半

S养彩=4S=4x-»-AC»-BD=-AC»BD

麦形A/yCOKRtt/XMAUOijR2222

【清单07】菱形的判定

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

【清单08】矩形的性质

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫筌形。矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等（3）四个角都是直角。

【清单09】直角三角形斜边上的中线

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

【清单101矩形的判定

※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（根据定义）。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）四个角都相等的四边形是矩形。

【清单11】正方形的概念与性质

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

【清单12］正方形的判定

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示）:

图3

单乳型循单

【考点题型一】菱形的性质

【典例1-1］如图，在菱形2BCD中,对角线4C,B。相交于点0,若乙48。=40。，则乙4DC的度数为

()

A.100°B.80°D.40°

【答案】B

【分析】本题主要考查了菱形的性质,熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键.根据菱形的性

质进行求解即可.

【详解】解；：四边形4BCD是菱形,

1

."ABD…D=/ABC,

；4ABD=40°,

J.^ABC=80°,

：.^ADC=^ABC=80°,

故选：B.

【典例1-2】如图，四边形力BCD是菱形，对角线4c=8cm,BD=6cm,DH14B于点H,且DH与4c

交于G,贝UOH=()

D

AA.—12cmBn.—24cmC-.一5cmnD.—5cm

551224

【答案】B

【分析】此题考查了菱形的性质,勾股定理，求出4。=4cm,8。=3cm,AB=NAO2+BO2—5cm,

根据等积法求出DH=gem即可.

【详解】解：:四边形ABC。是菱形，对角线AC=8cm,BD=6cm,

.\A0=4cm,8。=3cm,AC1BD

在Rt△AOB中，AB=y/AO2+BO2=5cm,

^BD-AC=AB.DH,

-X6X824.、

DH=-=—(cm).

故选：B.

【变式1-1］如图，在菱形ABC。中，点E、P分别是CD、BD的中点，EF=6,贝必£）的长是（）

A.3B.6C.12D.24

【答案】C

【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解

题的关键.由三角形中位线定理可求BC=2EF=12,由菱形的性质可得4D=BC=12,此题得解.

【详解】解：由题意可知，”是△ZBC的中位线,

BC=2EF=12,

•・•四边形ZBCD是菱形,

.・.AD=BC=12.

故选：c.

【变式1-2］如图，菱形花坛4BCD的周长是32米，ND=120。，则8、。两点之间的距离为（）

A.4米B.4百米C.8米D.8百米

【答案】C

【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键.由菱形

的性质可得48=4。=8米，乙4=60。，可得A2BD是等边三角形，即可求解.

【详解】解：连接BD,

:菱形2BCD的周长是32米，乙D=120°,

.MB与DC互相平行，

：.ABAD=8米，乙4=60°,

...△ABD是等边三角形，

BD=AB=8米，

故选：C.

【变式1-3］如图，在菱形力BCD中，AC=8,BD=6,则菱形的周长等于（）

【答案】A

【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质得到B。=。。=3,AO=OC=4,AC1

BD,AB=BC=CD=4。，根据勾股定理可以求得力8的长，进而得到菱形的周长.

【详解】解：：四边形4BCD是菱形，AC=8,BD=6,

：.BO=。。=3,AO=OC=4,AC1BD,AB=BC=CD=AD,

：.AB=<AO2+BO2=5/42+32=5,

二菱形的周长等于5x4=20,

故选：A.

【变式1-4】如图，菱形4BCD的对角线4C、8。相交于点。，过点。作DH，AB于点若NB4D=

54°,贝ikBDH的度数为.

【答案】27727

【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关

系.

根据菱形的性质求出N8AD=乙BCD=54°,乙BDA=乙BDC=63°,根据互余性质得到=36°,

计算即可.

【详解】解：：四边形2BCD是菱形,

：.CD=CB,BCWAD,/.BAD=/.BCD=54°,ABDA=ABDC,

■:乙BCD=54°,

J./.ADC=126°,

：.^BDA=4BDC=63°,

'：DH1AB,

：.AAHD=90°,

：./.ADH=90°-54°=36°,

:.乙BDH=^BDA-乙ADH=27°,

故答案为：27°.

【考点题型二】菱形的判定

【典例2】如图所示，BD是平行四边形4BCD的对角线，ZC=30°.

AB

(1)作的垂直平分线，垂足为点E,交AD于点尸(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)的条件下，连接8F,当ADBF=45。时，求证：平行四边形4BCD是菱形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题

的关键是灵活运用所学知识解决问题.

(1)根据要求作出图形；

(2)证明根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

【详解】(1)解：图形如图所示：

(2)证明：

•••四边形4BCD是平行四边形，

•••Z-A—Z.C—30°,

••・EF垂直平分线段

・•.FA=FB,

・•・小=AFBA=30°,

•••(DBF=45°,

・•・乙ABD=匕ABF+乙DBF=75°,

•••^ADB=180°-Z-A-/.ABD=180°-30°-75°=75°,

・•・乙ABD=Z.ADB,

AD=AB,

•••四边形ABCD是平行四边形，

，四边形48CD是菱形.

【变式2-1］如图，在四边形2BCD中，对角线4&BD相交于点0,4。=CO,B。=D。.添加下列条件,

不能判定四边形48CD是菱形的是（）

A.AB=ADB.AC=BDC.AC1BDD.乙ABO=KCBO

【答案】B

【分析】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定.根据菱形

的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得.

【详解】解：：4。=。。,8。=。。，

•••四边形4BCD是平行四边形，

当48=4。或4c1BD时，均可判定四边形ABC。是菱形；

当N4B。=NCB。时，

由4。||8c知"B。=AAD0,

Z.AB0=Z,AD0,

：.AB=AD,

四边形2BCD是菱形；

当AC=B。时，可判定四边形&8CD是矩形；

故选：B.

【变式2-2】如图，下列条件能使平行四边形4BCD是菱形的为（）

@AC1BD；②NBA。=90。；®AB=BC；®AC=BD.

%-----------------#

BC

A.①③B.②③C.③④D.①④

【答案】A

【分析】本题考查了菱形的判定：对角线相互垂直的平行四边形是菱形；一组对边相等的平行四边形

是菱形；四边相等的四边形是菱形；根据菱形的判定进行判断即可.

【详解】解：①根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形知，平行四边形4BCQ是菱形，①满足题意;

②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知，平行四边形力BCD是矩形，②不满足题意；

③根据一组对边相等的平行四边形是菱形知，平行四边形力BCD是菱形，③满足题意；

④根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形4BCD是矩形，④不满足题意；

故满足题意的有①③；

故选：A.

【变式2-3］如图，在回力BCD中，BD是对角线.

（1）尺规作图：作BD的垂直平分线交4。于点E,交BC于点尸，交BD于点0（不写作法，保留作图痕迹,

并标明字母）；

⑵在（1）的条件下，连接BE,DF.求证：四边形BEDF是菱形.

【答案】（1）作图见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可解决问题;

（2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质证明△DOEmABOF,可得E。=F。，可得四边

形BEDF是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成证明.

【详解】（1）解：如图所示:

•••EF即为所求;

(2)证明：・・•四边形/BCD是平行四边形，

・••ADWBC.

•••Z.ODE=Z-OBF,

vEF垂直平分80,

BO=D0,

在△DOE和ABOF中，

20DE=乙OBF

0D=0B,

、乙DOE=乙BOF

/.△DOE三△8。尸(ASA),

・•・EO=F0,

・•・四边形8EDF是平行四边形，

EF1BD,

・•・平行四边形BED尸是菱形.

【点睛】本题考查了尺规作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、三角形

全等的判定与性质、菱形的判定等知识，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图作法、平

行四边形及特殊平行四边形的判定与性质.

【考点题型三】菱形的性质与判定综合运用

【典例3】如图，在四边形4BCD中，ABWCD,过点。作N4DC的角平分线交2B于点E,连接力C交DE

于点。，AC1BC,5.ADWCE.

(1)求证：四边形4ECD是菱形;

(2)若力。=10,△力CD的周长为36,求CB长.

【答案】(1)证明见解析

(2)12

【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股

定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键.

(1)先证明四边形4ECD是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到=即可证明四边形

力ECQ是菱形；

(2)根据菱形的性质，得出。4=8,由勾股定理可得。6,从而得到DE=12,再证明四边

形BCDE是平行四边形，得到CB=DE,即可求出CB长.

【详解】(1)证明：ABWCD,ADWCE,

四边形4ECD是平行四边形，乙CDE=AAED,

■：DE平分N4DC,

Z.ADE=乙CDE,

Z.AED=乙ADE,

•••AE=AD,

••・四边形4ECD是菱形；

(2)解：•.・四边形4ECD是菱形，AD=10,

11

AD=CD=10,OD=-DE,OA=-OC,ACIDE

22f

・・・△ZC。的周长为36,

AC=16,

OA=8,

在Rt^ZOO中，OD=7AD2一。42=6,

DE=12,

vAC1DE,AC1BC,

••・DEWBC,

•・•CDWBE,

・•・四边形BCDE是平行四边形，

CB=DE=12.

【变式3-1］如图，四边形ZBCD为平行四边形，过点/作AF14。，交BC边于点E,交0C边延长线于

点F.连接AC、BF,过点。作。G18尸交BF延长线于点G,已知CF=CD.

⑴求证：四边形48FC为菱形；

(2)若乙4DC=25。，求4FDG的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)40°

【分析】(1)由平行四边形的性质可得出A3=CD,AB//DF.证明四边形A3FC为平行四边形，证出

AFLBC.由菱形的判定方法可得出结论；

(2)由菱形的性质得出NC3尸=N3Cr=25。，由直角三角形的性质可求出答案.

【详解】(1)证明：:四边形Z8CD为平行四边形，

:.AB=CD,AB//DF.

VCF=CD,

：.CF=AB.

・・・四边形ABFC为平行四边形.

,:AD]IBC,AFLAD,

:•乙CEF=^DAF=90°.

：.AF1BC.

・・・平行四边形AB尸C为菱形.

(2)解：'：AD//BC,AADC=25°,

：2BCF=乙ADC=25°.

・・•四边形ZBFC为菱形，

：.FB=FC,

・"CBF=乙BCF=25°.

J./-DFG=乙CBF+乙BCF=25°+25°=50°.

TDG1BG,

・"DGF=90°.

乙FDG=90°-乙DFG=90°-50°=40°.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱

形的判定与性质是解题的关键.

【变式3-2］如图，在RtAABC中，乙4c8=90。.D、E分别是边AB.BC的中点，连接DE并延长

到点F,使EF=DE,连接AF,CF,CD.

A

(1)求证：四边形2DCF是菱形；

(2)连接力E,若BC=4,AC=2,求四边形ADCF的周长.

【答案】(1)证明见解析

(2)475

【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，三角形中位线定理、勾股定理：

(1)先证明DE是RtAABC的中位线，进而可证明DF18C,再由对角线互相垂直平分的四边形是菱形

即可得到结论；

(2)利用勾股定理求出AB=VBC2+4C2=2后继而可得菱形的边长，再由菱形周长定义求解即

可.

【详解】(1)解：E分别是边48、AC的中点，即2。=8。，CE=AE,

是RtAABC的中位线，

：.DE||BC,

•：^ACB=90°,

：./.AED=Z.ACB=90°,BPDF1BC,

XVEF=DE,

四边形ADCF是菱形；

(2)解：BC=4,AC=2,AACB=90°,

：.AB=y/BC2+AC2=742+22=2V5,

'.AD=-AB=V5,

2

,/四边形4DCF是菱形，

四边形4DCF的周长=4AD=4V5.

【变式3-3］如图，在AABC中，D,E分别是AB,AC的中点.BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=

BE,连接CF.

(1)求证：四边形BCFE是菱形；

(2)若CE=4,乙BCF=120°,求菱形BCFE的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)873

【分析】本题考查菱形判定及菱形面积求解，关键是掌握菱形的判定及性质.

(1)根据点。和E分别是4B和AC的中点，根据三角形中位线的性质，即可得到DEUBC,且BC=

2DE,再等量代换，根据平行四边形的判定定理，即可得到四边形BCFE是平行四边形，根据邻边的关

系，即可得到结论；

(2)根据NBEF的大小，可判定AEBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质，可得到边长，作

EG1BC于点G,运用勾股定理，即可得到EG的长，再根据菱形的面积公式，即可得到答案.

【详解】(1)证明：・・•£)、E分别是4B、4C的中点，

DE||BC,且BC=2DE.

又•••BE=2DE,EF=BE,

•••EF=BC,EFWBC.

••・四边形BCFE是平行四边形.

又BE=FE,

二四边形BCFE是菱形.

(2)解：在菱形BCFE中，Z.BCF=ABEF=120°,BE=BC,

：./.EBC=60°.

・•.△EBC是等边三角形.

BE=BC=CE=4.

过点E作EG1BC于点G.

EG=<BE2-BG2=2V3.

^^}BCFE=BC,EG=4X2V3=8V3.

【考点题型四】菱形中最小问题

【典例4】如图，菱形力BCD中，对角线4C,BD相交于点。，AC=12,BD=16.点尸和点E分别为

BD,CD上的动点，求PE+PC的最小值（）

A.7.2B.8C.8.5D.9.6

【答案】D

【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径的问题，同时也利用了菱形的性质和面积公式，解题的关键

是学会利用垂线段最短解决最短问题.如图，过C作CQ14D于0,交BD于P,过产作PE1C。于

E,则此时的P、E满足PE+PC最小.然后利用菱形的性质可以证明PQ=PE,从而得到PE+PC的最

小值线段CQ的长度，最后利用菱形的面积公式即可求解.

【详解】解：如图，过C作CQ14D于。，交BD于P,过P作PE1CD于E,,则此时的P、E满足

PE+PC最小.

四边形4BCD为菱形,

：.AC1BD,且力C、BD互相平分，BD平分A4DC,

：.PQ=PE,

：.PE+PC的最小值线段CQ的长度,

i

,S菱形ABCD=54cxBD-CQxAD,

而AD=VOX2+OD2,

又；AC=12,BD=16.

OA=6,OD=8,

：.AD=10,

故选：D.

【变式4-1]如图，在菱形4BCD中，E,尸分别是边CD,BC上的动点，连接分别为的中

点，连接G”.若NB=45。,8。=2&，贝!]G”的最小值是（）

A.V2B.2V2C.2D.1

【答案】D

【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短

等知识，连接2F,利用三角形中位线定理，可知GH=|4F,求出4F的最小值即可解决问题.

【详解】解：连接AF,如图所示：

:四边形48CD是菱形，

：.AB=BC=2V2,

,:G,〃分别为AE,EF的中点,

GH是AAEF的中位线，

1

：.GH=-AF,

2

当AFIBC时，4F最小，GH得到最小值，

则N2FB=90。，

；4B=45°,

.,.△ABF是等腰直角三角形，

：.AF=—AB=—X2V2=2,

22

GH=1,

即GH的最小值为1,

故选：D.

【变式4-2］如图，在菱形4BCD中，ND=135。，AD=3/，CE=2,点P是线段2C上一动点，点F

是线段4B上一动点，贝IPE+PF的最小值

【答案】V10

【分析】本题考查了菱形的性质与轴对称的性质，勾股定理.先作点E关于AC的对称点点G,再连接

BG,过点B作BH1CD于H,运用勾股定理求得和GH的长，最后在RtABHG中，运用勾股定理求得

BG的长，即为PE+PF的最小值.

【详解】解：作点E关于4c的对称点点G,连接PG、PE,贝UPE=PG,CE=CG=2,

连接8G,过点B作1CD于“，贝！UBC”=NCBH=45。，

DHG

四边形2BCD是菱形，AD=3A/2,

•••BC=AD=3Vx

ARtABHC中，BH=CH=BC-sin乙BCH=BC-sinz45°=3V2X—=3,

HG=HC-GC=3-2=1,

RtABHG中，BG=y/BH2+//G2=V32+l2=V10,

••・当点尸与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短）,

PE+PF的最小值是V1U.

故答案为：VTo.

【变式4-3］如图，己知菱形2BCD的边长为4,乙4=60。，点M、N分别是边AD,CD上的两个动点,

且满足4M+CN=4,设ABMN的面积为S,贝US的最小值是.

【答案】3V3

【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及三角形的面积问题，熟练掌握菱

形的性质是解题的关键.证明ABDEmABCF,得到ABEF为正三角形，然后做辅助线求解即可.

【详解】解：过点B作B”1CD于点H,

•.•菱形ABCD的边长为4,Z71=60°,

•••AB=BC=CD=AD=BD,

Zf=乙CBD=^ADB=60°,

vAM+DM=AD=4,AM+CN=4,

・•.AM+DM=AM+CN,

・•.DM=CN,

在△BCN和△BOM中，

BC=BD

Z.C=乙ADB,

.CN=DM

.*.△BDM三△BOV(SAS),

••・乙DBM=乙CBN,BM=BN,

•・•乙DBC=乙DBN+乙CBN=60°,

・••乙DBN+乙DBM=60°,

・•.Z.MBN=60°,

・•.△BMN是正三角形，

设BM=BN=MN=x,

则S=-%•%•sin60°=—x2,

24

当时，工最小为：4xsin60°=2V3,

•••S最小=中X（2圾2=3V3.

故答案为：3忌

【考点题型五】矩形的性质

【典例5-1］如图所示，矩形4BCD中，对角线AC,BD交于点、0,4E1BD于点E,Z.BAE=22.5°,则

4及4。的度数为（）

A.45°B.40°

【答案】A

【分析】本题主要考查矩形的性质，由矩形的性质可知04=。8,则可求得4员4。，则可求得NEZO.

【详解】•・•四边形是矩形，

OA=OBf

C.^LOAB=(OBA

vAE1BD,^BAE=22.5°

・•・AABE=90°一(BAE=90°-22.5°=67.5°,

・•.Z.OAB=(ABE=67.5°,

・•・4瓦4。=AOAB-ABAE=67.5°-22.5°=45°,

故选：A.

【典例5-2］如图，矩形A8C0面积为40,点尸在边CD上，PE1AC,PFLBD,垂足分别为&F.若

AC=10,贝IJPE+PF=()

A.4B.510

【答案】A

【详解】此题考查了矩形的性质、三角形面积公式.令4C与相交于点。，连接。P,由矩形的性质得

出。4=OC=OB=OD=-XC=5，SAC0D=[S矩形的。。—结合S4COD=^APOC+^ADOP=5°。,

FP+|0C-PF=Ix5X(PE+PF),计算即可得出答案.

【解答】解：如图，令北与BD相交于点。，连接0P,

•..四边形2BCD是矩形，

0A=OC=OB=OD=-AC=5,

2

:矩形4BCD面积为40,

:・SACOD=[S矩形ZBco=10，

9：PELAC,PF1BD,

-1-11

••S^coo=S^poc+S&DOP=-OD,FP+~0C,PE=-x5x(PE+PF),

.•彳x5x(PE+PF)=10,

：.PE+PF=4,

故选：A.

【变式5-1］如图，直线a||6,矩形48CD的顶点A在直线b上，若N2=41。，则41的度数为（）

A

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点8作BE||。，得到BE||a||依推出乙4BC=

Z1+Z2,进行求解即可.

【详解】解：•・•矩形4BCD,

：.Z-ABC=90°,

过点B作BE||a,

a\\b,

：.BE||a||b,

zl=Z.ABE,z2=Z,CBE,

/.Z.ABC=乙ABE+Z.CBE=Z1+Z2,

Vz2=41°,

・"1=90。-41。=49。；

故选C.

【变式5-2］如图，在矩形ABOD中，AC,80相交于点。，AE平分立B4D交BC于点E.若乙。。4=30。,

则NB0E的度数为（）

A.45°B.60°75°

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知

识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.根据矩形的性质及4E平分482。分别判定BE=B4及

△A0B为等边三角形，然后求得NOBE=30。，贝I」可在AB0E中求得NB0E的度数.

【详解】解：在矩形A8CD中，/.BAD=90°,AD||BC,0A=OB=OD,

•ZE平分

・•.ABAE=LEAD=45°,

・•・乙AEB=^EAD=45°,

^AEB=^BAE=45°,

BE=BA.

•・•Z.OAD=乙ODA=30°,

/.ABAC=60°,又OA=OB,

・•.△ZOB为等边三角形，

BO=BA,

：.BO=BE,

9：AD\\BC,

:•乙OBE=A.ADO=30°,

・•・乙BOE=(180°-30°)+2=75°.

故选：D.

【变式5-3］如图，矩形48CD中，CD=2,NDBC=30。，则矩形的对角线BD的长度为()

A.2A/2B.4C.2V3D.4遮

【答案】B

【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质.

根据矩形的性质得NC=90°,再利用含30。角的直角三角形的性质即可解决问题.

【详解】解：：四边形2BCD是矩形，

.,.ZC=90°,

在RtADBC中，/.DBC=30°,CD=2,

：.BD=2CD=4.

故选：B.

【变式5-4］如图，四边形4BCD是面积为30的矩形，F是BC边上一点，连接4F,作DE垂直于4F于点

E,已知AE=DE=4,贝IJEF的值为（）

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，根据题意得出4。=

&AE=4立,NE2D=45。，根据四边形ABCD是面积为30的矩形，得出4B=竺也，AF=皿3=

4

y,进而根据EF=2F—4E,即可求解.

【详解】解：•••£>£■AE=DE=4,

：.AD=yjAE2+DE2=42AE=4Vx^EAD=45°,

•..四边形ABC。是面积为30的矩形，

：.AD\\BC,

J./.AFB=/.DAE=45°,ABXAD=30

：.AB=个=—,AF=y[2AB=-

4V242

15

：.EF=AF-AE=--4=3.5,

2

故选：D.

【变式5-5]如图，在矩形ABC。中，AD=4,CD=3,对角线/C的垂直平分线分别交BC于点、

E、F,垂足为。，贝!J/E的长为

【答案】Y

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关

键.连接EC,设力E=x,则ED=4-x,在RtAEDC中，勾股定理，即可求解.

【详解】解：连接EC,设=则ED=4—尤，

E

AD

FC「EF是AC的中垂线,

EC=AE=x,

在RtAEDC中，x2=32+(4-x)2,

解得：x=^,

o

25

故答案为：

o

【考点题型六】直角三角形斜边上的中线

【典例6】如图，△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，点尸在DE上，且NAFB=90。，若EF=2,

BC=10,贝l|4B的长为（）

B

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，根据三角形中位线定理求出DE,进而

求出。尸，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可.

【详解】解：YD,E分别是AB,4c的中点*

；.£）£1是△ABC的中位线，

・.・DE=：BC,

•:BC=10,

：.DE=5,

VEF=2,

：.DF=5—2=3,

在RtAAFB中，。是AB的中点,

：.AB=2DF=6,

故选：D.

【变式6-1］如图，在RtAABC中，NC=90。，。为4B的中点，连接CD,若CD=5,4。=6,则8c的长

为（）

A.5V2B.8C.5V3D.10

【答案】B

【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和

勾股定理是解题的关键.

先根据直角三角形的性质求得4B=2CD=10,再由勾股定理求解即可.

【详解】解：：在Rt△ABC中，ZC=90°,。为的中点，CD=5,

：.AB=2CD=10,

：.BC=7AB2-AC?=V102-62=8,

故选：B.

【变式6-2】如图，菱形4BCD的对角线AC、BD相交于点。，过点A作力E1BC于点E,若。B=4,

S菱形4BCD=16「则OE的长为（）

A.2V5B.4

【答案】C

【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的

关键.由菱形的性质得出BD=8,由菱形的面积得出4C=4,再由直角三角形斜边上的中线性质即可

得出结果.

【详解】解：,・•四边形/BCD是菱形，

：.0A=OC,OB=0D=4,BDLAC,

：.BD=20B=8,

YS菱形.co=，BD=16,

・・・ZC=4,

*：AE1BC,

：.^AEC=90°,

TO为AC的中点，

：.OE=-AC=2,

2

故选：c.

【变式6-3］如图，在RtAABC中，乙4cB=90。,。为AB的中点，乙4=3(T,BC=2,贝UCD的长为.

【答案】2

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形30。角所对的直角边等于斜

边的一半的性质，以及勾股定理，熟记各性质是解题的关键.

根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求出AB,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半求出CD,

【详解】解：N4CB=90。/4=302BC=2,

AB=2BC=4.

•••AACB=90°,。为AB的中点，

1

•••CD=-AB=2.

2

故答案为：2.

【考点题型七】矩形的判定

【典例7】如图，已知A/IBC中，。是BC边上的一点，E是4。的中点，过A点作BC的平行线，交CE的

延长线于点E且2F=BD,连接8F.

(1)求证：BD=CD；

(2)如果ZB=AC,试判断四边形4FBD的形状，并证明你的结论.

【答案】(1)见解析

(2)四边形4FBD为矩形，证明见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定：

(1)证明AAEF三△£»£1(：,得到4F=CD,即可得出结论；

(2)先证明四边形4FBD为平行四边形，根据三线合一，得到4D1BD,得到四边形为矩形.

【详解】(1)证明：:AF||BC,

：./-AFC=Z.DCF,

是4D的中点，

：.AE=DE,

•：^AEF=MED,

AAEF=△DEC,

：.AF=CD,

'：AF=BD,

：.BD=CD-,

(2)四边形4FBD为矩形，证明如下：

'：AF||BC,AF=BD,

二四边形MB。为平行四边形，

'：AB=AC,由(1)知BD=CD,

：.AD1BD,

：.^ADB=90°,

四边形4F8D为矩形.

【变式7-1】依次连接四边形4BCD各边中点，得四边形EFGH是矩形，则四边形48CD必须满足的条件

是（）

A.矩形B.等腰梯形C.AC=BDD.AC1BD

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，中位线的性质，根据题意，运用

中位线可得EFGH是平行四边形，再根据矩形的判定和性质即可求解.

【详解】解：根据题意，作图如下，

点、E,F,G,"分别是力B,BC,CD,4D的中点，连接AC,BD,交于点。,

：.EF||AC,EF=-AC,GH||AC,GH=-AC,

22

：.EF||GH,EF=GH,

：.四边形EFG"是平行四边形，

A、若四边形A8CD是矩形，如图所示，贝

：.EF=GH=-AC,EH=FH=-BD,

22

：.EF=FG=GH=EH,

二平行四边形EFGH是菱形，不符合题意；

B、若四边形ABCD是等腰梯形，如图所示，则力C=BD,

AHD

同理可得，平行四边形EFGH是菱形，不符合题意;

C、若4C=BD,证明方法同上，平行四边形EFGH是菱形，不符合题意;

D、若AC1BD,如图所示，设EH与2C交于点M,EF与BD交于点、N,

：.^AOB=90°,

"：EF||BD,EF||AC,

：.EH1AC,EF工BD,

.••四边形ENOM是矩形，

：.^FEH=90°,且四边形EFG”是平行四边形，

平行四边形EFGH是矩形，符合题意；

故选：D.

【变式7-2】如图，在团力BCD中，增加一个条件四边形2BCD就成为矩形，这个条件是（）

A.AB=CDB.4BAD+乙BCD=180°C.BD=2ABD.AC1BD

【答案】B

【分析】本题考查了矩形的判定的应用，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解题即可.

【详解】解：A.由=CD无法判断四边形48CD为矩形，故不符合题意；

B.•.•四边形2BCD是平行四边形，

：.4BAD=Z-BCD

'：^BAD+^BCD=180°,

：.^BAD=乙BCD=90°,

二四边形4BCD为矩形，故符合题意；

C.由BD=24B无法判断四边形48CD为矩形，故不符合题意；

D.由471BD可判断四边形力BCD为菱形，故不符合题意；

故选B.

【变式7-3】小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的窗户是否为矩形，下面的测量方

法正确的是()

A.度量窗户的两个角是否是90°

B.测量窗户两组对边是否分别相等

C.测量窗户两条对角线是否相等

D.测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等

【答案】D

【分析】本题考查了矩形判定的应用，掌握矩形判定方法是关键；根据矩形的判定即可解答.

【详解】解：A、度量窗户的两个角是否是90。，不能保证窗户是矩形；

B、测量窗户两组对边是否分别相等，只能保证是平行四边形，不能保证是矩形；

C、测量窗户两条对角线是否相等，无法保证是矩形；

D、测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等，根据对角线相互平分且相等的四边形是矩

形，保证是矩形；

故选：D.

【变式7-4】如图，在团4BCD中，DE平分4WB,交2B于点E,BF平分NCBD,交CD于点F.

(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；

(2)若=求证：四边形DEBF是矩形.

【答案】(1)见详解

(2)四边形DEBF是矩形

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边

形的判定与性质是解题的关键.

(1)由平行四边形的性质得出NADB=NCBD,由角平分线的定义得出NEDB=ADBF,则DEIIBF,可

证出结论；

(2)由等腰三角形的性质得出DE14B,则可得出结论.

【详解】(1)证明：•••四边形28CD是平行四边形，

AD||BC,ABWCD,

•••Z-ADB=Z.CBD,

•・・。£*平分“。8,BF平分乙CBD,

•••乙EDB=-^ADB,乙DBF=-^CBD,

22

•••Z.EDB=(DBF,

：.DE\\BF,

又・・・ZB||m

••・四边形DEBF是平行四边形.

⑵证明：4。=BD,DE平分乙4DB,

DE1AB,

又••・四边形DEBF是平行四边形，

四边形DEBF是矩形.

【变式7-5］如图，在菱形48CD中，对角线4C、BD相交于点0,点E是4。的中点，连接。E,过点。作

(1)求证：AAOE