中考数学专项复习：探索三角形几何模型（双角平分线模型）知识讲解

专题4.20探索三角形几何模型

(双角平分线模型)(知识讲解)

几何模型1：内角平分线+内角平分线模型

如图一、条件：BI、CZ分别为AABC的内角/48C、

结论：ABIC=90°+-AA

已知：如图一：B/、C7分别为AABC的内角48C、

N/C5的角平分线相交于点I.

求证：ABIC=90°+-AA

2

证明：在AB/C中，

・••B/、CZ分别为AABC的内角4BC、ZACB

Z5/C=180°-(Z/SC+Z/C5)

=180°--(ZABC+NACB)

2

=180°--(180°-Z^)

2

=90°+-ZA

2

模型2：内角平分线+外角平分线模型

如图二、条件:。为AABC的内角NA8C和外角乙4CD的角平分线BP、CP相交于点,

结论：ZP=90°+-ZA

2

D

B

如图二

已知：如图二：BP、CP分别为AABC的内角N48C、

外角NNCD的角平分线相交于点P.

求证:NP=—AA

2

证明：•.•N48C、44CD平分线交于点P,

ZPBC=-ZABC;ZPCD=-ZACD,

22

­.•NPCD=NP+ZPBC,ZACD=ZA+ZABC,

ZP+ZPBC=1(Z^+NABC)

ZP+ZPBC=-AA+ZPBC

2

ZP=-ZA

2

模型三：外角平分线+外角平分线模型

如图三、条件：AABC的外角NCBE和外角N8CD的角平分线相交于点,

结论：ZP=90°--ZA

2

如图三

已知：如图三：BP、CP分别为AABC的外角NCBE、

外角/BCD的角平分线相交于点P.

求证:NP=90°--AA

2

证明：•••NE8C、NDC5平分线交于点P,

ZPBC=-ZCBE;ZPCB=-ZBCD,

22

•••NP=180°-(ZPBC+NPCB)

=180°-^(ZEBC+ZDCB)

=180°-g(NZ+ZACB+ZA+ZABC)

=1800—g(2NZ+180°—NZ)

=90°--ZA

2

模型四：飞镖+角平分线模型

1、飞镖模型内角关系模型：

如图四：如图，在四边形ABCD中，

结论：ZC=ZA+ZB+ZD.

证明：延长BC交AD于E,则分别为外角,

ZBCD=ZCED+ZD,ZCED=ZA+ZB,

ZC=ZA+ZB+ZD.

图四

2、飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型:

BDS

图五

如图五：条件：/ABC、/4DC平分线交于点

生人小ZA+ZC

结论：ZP=-----------

2

略证：如图五：NC=NPBC+NPDC+/P(1)

/P=/PB4+/PDA+NA(2)

ZPBC=ZPBA,ZPDC=ZPDA

(1)-(2)得NC-NP=NP-乙4

小//+NC

ZP=-----------

2

类型一、内角平分线+内角平分线模型

1.如图，在△48C中，/48C和N/C3的平分线相交于点尸.

(1)若N48C+N/CB=130。，求NAPC的度数.

(2)当//为多少度时，/BPC=3NA?

【答案】(1)115。；(2)4=36°

【分析】(1)根据角平分线的定义，求得NPBC,NPCB,再根据三角形内角和定理即可求得N8PC；

(2)根据(1)的方法求得尸C,再结合条件N8PC=3N4解方程即可求得

解：(1)•;PB平分N4BC,尸C平分N/CB,

NPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

22

ZABC+ZACB=UO°,

:.NPBC+NPCB=g(4ABC+NACB)=6',

ZBPC=180°-(ZPSC+ZPC5)=180°-65°=115°,

(2)；PB平分/ABC,尸C平分2/CB,

NPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

22

ZPBC+ZPCB=^(ZABC+ZACB),

ZABC+ZACB=180°-〃

ZPBC+ZPCB=90°—〃

2

0BPC=180°-@PBC+DPCB)

=180°-(90°-1z^)

=90°+-ZA

2

•・•ZBPC=3ZA

.­.3ZA=90°+-ZA,

2

ZA=36°.

【点拨】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题

的关键.

类型二、内角平分线+外角平分线模型

▼2.如图，在4ABD中，/ABD的平分线与NACD的外角平分线交于点E,ZA=80°,求NE

的度数

【分析】由题意：设/ABE=/EBC=x,ZACE=ZECD=y,利用三角形的外角的性质构建方程组解决

问题即可.

解：由题意：设/ABE=NEBC=x,ZACE=ZECD=y,

2y=2x+ZA①

则有

y=x+ZE②，

①-2x②可得NA=2NE,

：.ZE=-ZA=40°.

2

【点拨】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方

程组解决问题.

类型三、外角平分线+外角平分线模型

©Ks.如图，已知射线OE_L射线。尸，B、A分别为。£、O尸上一动点，ZABE>N8N厂的平分

线交于C点.问8、A分别在OE、。尸上运动的过程中，/C的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变,

说明理由.

【答案】不变，ZC=45°.

【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到/C=90。-'/。.

2

解：/C的度数不会改变.

•//ABE、ZBAF的平分线交于C,

/.ZCAB=-ZFAB??ZCBA=-ZEBA

22

.-.ZC=180°-(ZCAB+ZCBA)

=180°--(ZABE+ZBAF)

2

=180°--(ZO+ZOAB+ZBAF)

2

=180°--(ZO+1800)

2

=90°--ZO=45°.

2

【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质定理，熟练掌握相关

的性质是解题的关键.

类型四、飞镖内角平分线+内角平分线模型

©>4.(1)在锐角A43c中，NC边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为P,

Z5PC=110°,求//的度数.

(2)如图，4尸和CE分别平分NB/D和N8C。，当点。在直线/C上时，且3、P、。三点共线，

ZAPC=100°,贝.

(3)在(2)的基础上，当点。在直线ZC外时，如下图：ZADC=130°,ZAPC=100°,求的

度数.

【答案】(1)70°；(2)20°；(3)70°.

【分析】(1)根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；

(2)法一：根据ZAPC=100°以及AF和CE分别平分ZBAD和ZBCD,算出NBAD和NBCD，从而

算出/B；

法二：根据三角形的外角定理得到再求出/为8+/尸。8,故可求解；

(3)法一：连接NC,根据三角形的内角和与角平分线的性质分别求出/2+/4=30。，

ABAC+ZBCA=110°,故可求解；

法二：连接8。并延长到G根据三角形的外角定理得到N/OC=N2+N4+/4PC,再求出/2+N4,

故可求解.

解：(1)如图/C边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为P

・・・ABDA=ACEA=90°

又,:Z5PC=110°

J/EPD=/BPC=H。。

・・・在四边形/£尸。中，内角和为360。

・・・Z^=360°-l100-90°-90°=700.

(2)法一：・・•胫和CE分别平分/氏4。和

ZBAP=NFAC,ZBCE=ZACE

又,://PC=100。

・•・/FAC+/4CE=180。-100。=80。

ZBAC+ZBCA=160°

：.郸=180-160鞍20.

法二：连接5Q,・：B、P、。三点共线

；・BD、AF、CE交于P点、

VZAPD=ZBAP+ZABP9ZCPD=Z.BCP+ZCBP,

・・・ZAPC=ZB+ZPAB+ZPCB

丁AF和CE分别平分/BAD和/BCD,

:・/PAC=/PAB,ZPCA=ZPCBf

・.,ZAPC=100°,

：.ZPAC+ZPCA=180°?100°=80°,

JZPAB+ZPCB=S0°f

：.ZB=ZAPC?QPAB+/PCB)=100°?80°=20°.

(3)法一：如图：连接4c

B

VZy4DC=130°,//PC=100。

.・・ADAC+ZDCA=180。—130。=50°,APAC+ZPCA=180°-l00°=80°

・・・Z2+Z4=30°

又,:AF和CE分别平分/氏4。和/BCD

：.Nl+/3=/2+N4=30。

，ABAC+ZBCA=110°

，*180-110鞍70.

法二：如图，连接并延长到G,

VZADG=Z2+ZAPD,ZCDG=Z4+ZCPD,

：.ZADC=Z2+Z4+NAPC,

.•.Z2+Z4=30°

同理可得N/PC=N1+N3+N5,N1=N2,N3=N4,

・•・ZB=Z^PC-Z2-Z4=l00°-30°=70°

JZB=70°.

【点拨】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型.

类型五、双角平分线模型综合

V5.探究：

(1)如图1,在△48C中，BP平分/ABC,CP平分//C3.求证：/尸=90。+：//.

(2)如图2,在4/台。中，BP平分/ABC,CP平分外角//CE.猜想NP和//有何数量关系，并

证明你的结论.

(3)如图3,BP平分/CBF,CP平分NBCE.猜想/尸和//有何数量关系，请直接写出结论.

【分析】(1)根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可：

(2)根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出/A的度数,

根据补角的定义求出NACB的度数，根据三角形的内角和即可求出/P的度数，即可求出结果，

(3)根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明.

解：证明：(1):△/Be中，ZABC+ZACB=180°-ZA.

又；BP平分/4BC,CP平分NACB,

：./PBC=1/ABC,

/PCB=g/ACB,

:./PBC+/PCB=g(180°-//),

根据三角形内角和定理可知N3PC=180。-g(180。-//)=90°+yZyl；

(2)1AA=/LP,理由如下：

'：BP是△NBC中N/8C的平分线，CP是/ACB的外角的平分线，

NPBC=yZABC,/PCE=yZACE.

是ZUBC的外角，NPCE是ABPC的外角，

AZACE^ZABC+ZA,/PCE=NPBC+/P,

：.yZACP=1ZABC+^-ZA,

：.yZABC+^ZA=ZPBC+ZP,

：.^-ZA=ZP.

(3)ZP=90°-^-ZA,理由如下：

,:P点是外角/C3k和NBCE的平分线的交点，NP+/PBC+NPCB=180。

：.ZP=180°-(ZPBC+ZPCB)

=180°-1(NFBC+NECB)

=180。-g(ZA+ZACB+ZA+ZABC)

=180°-1(//+180°)

=90°-

【点拨】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定

义以及三角形的内角和为180。，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三

角形内角和定理求解.

CF6.如图，在“8C中，//8C与//CB的角平分线交于。点.

(1)若N/=40。，贝i]NBOC=°；

(2)若N/=〃。，贝!]N8OC=°；

(3)若44=〃。，//BC与//C3的角平分线交于。点，4480的平分线与N/C。的平分线交于点J,

NO刈6BD的平分线与ZO2016CE的平分线交于点(92017,则ZO2017=。.

1)2018_i

【答案】(1)110(2)(90+1«)⑶产乂90。+拳9n°

【分析】(1)根据角平分线的性质，结合三角形的内角和定理可得到角之间的关系，然后求解即可;

(2)根据3。、C。分别是N48C与NNC2的角平分线，用"。的代数式表示出N08C与NOCB的和，再

根据三角形的内角和定理求出NBOC的度数；(3)根据规律直接计算即可.

解：(1)VZA=40°,

.•.ZABC+ZACB=140°,

・・•点O是NAB故答案为：110。；C与NACB的角平分线的交点，

.\ZOBC+ZOCB=70o,

.,.ZBOC=110°.

(2)VZA=n°,

,ZABC+ZACB=18