湖南省部分学校A佳联考2024届高三5月模拟考试数学试题（解析版）

湖南省部分学校A佳联考2024届高三5月模拟考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次

为：8,12,9,18,16,17,15,9,18,20,13,11,则这组样本数据的中位数与第60

百分位数之和是（）

A.29B.30C.30.5D.31

［答案］B

K解析X将这12个数据从小到大排列为8,9,9,11,12,13,15,16,17,18,18,20,

60%x12=7.2,所以排列后的第8个数即为第60百分位数：16,

中位数为上士"=14,故所求为：14+16=30.

2

故选：B.

/Z7

2.双曲线V=1（。〉0）的上焦点尸2到双曲线一条渐近线的距离为一，则双曲线两

a2

条渐近线的斜率之积为（）

A.-4B.4C.-2D.2

K答案》A

k解析X由对称性，不妨设耳（0,c）,双曲线的渐近线是y=±依，

ca

则由题意—=1=一解得〃=2,故所求为-

2

故选：A.

3.已知根，〃是两条不重合的直线，£是两个不重合的平面，下列命题正确的是

（）

A.若mila,nil0,al1/3,则〃

B.若ntua,nua,mllB，nll。,则a//£

C,若m工a,mlln,a1,则〃_L/?

D.若加_La,〃_L尸，加_L〃，则

K答案1D

K解析》对于A,若〃//p,alIp,则〃//o或〃ua,则如〃相交、平行、异面都

有可能，A错误；

对于B,若加烫z,"a,mlip,nllp,则a与夕相交或平行，B错误；

对于C,若机J_/加〃〃，则〃J_c,又a，B,则〃//4或"u^,C错误；

对于D,由加_La,〃2-L/，得〃//a或〃ua,若〃//a,则存在过〃的平面与a相交，

令交线为/,则"///,而九，/，于是/，尸，«!/?；若〃ua,而九，尸，贝U

aV/3,

因此a_L/?,D正确.

故选：D.

4.己知函数7(x)的导函数是/'(X),且尸(x)=x3,p=ln3,q=log]i3,则下列命题正确

的是()

A./(-?)</(/B.f(p)>f(2q)

C./(—)>/(—)D./(—+1)>/(―)

pqpq

k答案》B

K解析工依题意，/(x)=-x4+c(c为常数)，/(%)是偶函数，且在(0,+8)上单调递

4

增，

又夕=ln3>l,0<^=logn3<l,则0<q<l<a，

对于A,f(~p)=f(p)>f(q),A错误；

对于B,p-2q=In3-2lognS=lnS-log^Q>lne-lognll=0,

p>2q>0,于(p)>fQq),B正确;

对于c,->->o,/(-)>/(-),C错误；

Qpqp

113e

对于D,—+1——=log3e+l-log311=log3—<log31=0,

Pq11

—+1<~,/(--+1)</(-),D错误.

pqpq

故选：B

12

5.右5cos2a-sin2。=---------tan2a,贝Utanc=()

cos2a

22

A.-B.-1C.1D.—1或一

33

K答案』A

K解析』由5cos20一sin2a=------------tan22a,

cos2a

2

-rzg_.2、c•1sin2al.2

口」行5(zcos2a-sma)-2sinacosa=----------------------=l=smi+cos2a,

cos2acos2a

(cos2aw0),

两边同时除以2cos2a并整理可得：3tan2a+tandz-2=0»

解得:tana=-或tan。二一1,

当tana=-l时，sina=-cos。，cos2a=0,不符合题意，

2

所以tana=—.

3

故选：A.

6.已知一个多边形的周长等于207cm,所有各边的长成等差数列，最大的边长为

42cm,公差为3cm,则这个多边形的边数为（）

A.4B.6C.23D.6或23

K答案』B

臬=她詈=207

K解析1由题意可知：%=42总=207,d=3,则v

an=q+(九一1)x3=42

n(a+42)=414

即〈，W3n2—87/Z+414=0>解得："=6或〃=23.

q=45-3n

当〃=23时，%<0不合题意；

故选：B.

7.某大学一宿舍4名同学参加2024年研究生招生考试，其中两人顺利上初试线，还有两

人差几分上线，这两名学生准备从A,B,C,D,E,尸这6所大学中任选三所大学申请调

剂，则这两名学生在选择了相同大学的条件下，恰好选择了两所相同大学的概率为

K答案UC

k解析X依题意，这两名学生恰好选择了两所相同大学的方法总数为：C；C；C；=180,

这两名学生选择了相同大学的方法总数为：C；C；C；+C；C；C；+C：=380,

所以所求概率p=&=2.

38019

故选：C.

22

8.己知耳,鸟是椭圆C:=+与=1（。〉人〉0）的左、右焦点，O是坐标原点，过可作直

ab

线与c交于A,B两点，若|AE|=|AB|,且AOAF2的面积为也〃，则椭圆C的离心率

为（）

A石R旧「四NA/3

A.---D.C.U.---

12632

[答案XC

k解析》我们首先来证明一个引理：若/月伤=a（0<。<兀），则川明已

2

证明如下：^&\AF^=m\AF^=2a-m,

则由余弦定理有4c2=trr+（2a-m）--2m（2a—m）cos6,

即4c2=^m+（2a—my^-2/n（2a-m）（l+cos^）,

4a2-4c22H

所以词2""）=赤砌=匚嬴万，

C.。0

]12h22sin—cos—，

1222

所以\AF,F2=-rn（2«-m）sin6>=----------•sin8=b------=btan-,

221+cosO2cos2-2

2

从而引理得证;

2

根据题意可得，SAFF=btan-=2S0AF=2义乌?=乌2,解得tan，=止

△AriF22△UAt'z6323

因为0<2<^，所以g=解得。=巴,

22263

由|隹ZBAF2=^,可得三角形ABg为等边三角形，

所以4a=忸闾+|乃|+|他|=3|然|,所以仙叫=事,忸制=2a—事=当，

所以忸用=事—g=g=|A《|,所以玛是AB的中点，

所以A3,6乃，

所以（引=（2c『+（引，即。2=302,

所以e=£=3.

a3

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.己知/（%）=45桁（8+。）（4>0,0〉0,0<0<兀）是某个简谐运动的函数K解析H

式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是（）

IT57r

B.这个简谐运动的初相为二或

66

5兀

C./（%）在—,37t上单调递减

7T

D.将函数/（X）的图象向左平移一个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数

6

k答案》AD

K解析［对于AB,由题意A=2，/（O）=2sin0=l,

因为0<0<兀，

LL.7T_5兀

所以0=7或0=

66

717171

—0+—=—+2E/eZ

662

当。二巴时，由1：一二，」＜0，解得0＜刃=2+12左＜3,ZeZ,此时只能

664口

6t?＞0

是左=0,69=2,

兀5兀_71

一G++24兀,左£Z

6~6~~2

5兀兀12兀

当9=一时，由｛——•—<0,解得0<0=—2+12左<3,左eZ,此时

664

a)>0

k,①无解,

TT

综上所述，①=2,这个简谐运动的初相为:，故A正确，B错误;

6

对于C,由题意/(x)=2sin[2x+S],

,「5兀_7t「31兀37兀

当工£--,3兀时，t—2%H--G----,---,

L2J6L66J

,.c.4「31兀37兀1丁、卬

而y=2sm/在———上不单1vt调，

o6

5兀

由复合函数单调性可知，/(X)在5,3兀上不单调，故C错误；

JT

对于D,将函数/(光)的图象向左平移；个单位长度得到的图象对应的函数

6

显然g(-x)=2cos(-x)=2cosx=g(x),

且g(x)的定义域(全体实数)关于原点对称，

所以g(x)是偶函数，故D正确.

故选：AD.

10.如图，在棱长为2的正方体ABC。-44GA中，点尸是正方体的上底面4片

内(不含边界)的动点，点。是棱8C的中点，则以下命题正确的是()

A.三棱锥Q-PCD的体积是定值

B.存在点P,使得P。与A41所成的角为60°

C.直线PQ与平面AADD,所成角的正弦值的取值范围为[0,5-

D.若PQ=PQ,则尸的轨迹的长度为述

4

（答案》ACD

（解析》对于A,三棱锥PC。的体积等于三棱锥P-QC。的体积，

1112

七棱锥p-℃£）SA0C»xA4j=§X]><2xlx2=§是定值，A正确；

以A为坐标原点，4片分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则。(2,1,—2),设P(x,y,0)(0<x<2,0<y<2),则⑪=(x—2,y—1,2)

对于B,招=(O,0,2),使得P。与A、所成的角a满足：

A

10p2X2

CCS"=------------——----------------------------------

一网.阳「加一致+5以+皿'

因为0<%<2,0<y<2,故0<(x—2)2+(y—I)?<5,故cosce]g,l

而cos60°=—0(—,1),B错误；

23

对于C,平面4ADR的法向量7=（1,0,0）,

所以直线P。与平面AADA所成角夕的正弦值为：sin〃=

4-2)2+(5+4

因为0<x<2,0<y<2,故一2<1—2<0

故<7K|x-2|,

J(x-2)2+5J(x-2)~+(y-l)2+4J(x-2)?+4

A21J。2]|x-2|__1_J。受]

22

而正_2『+515I3j,7(X-2)+414CJ

V(x-2)2V(x-2)2

k-2|0

故0<（《-即sinp的取值范围为c正确;

J(x-2)2+(y-l)2+4KJ

对于D,2(0,2,0),取=(苍y—2,0),由P2=P。,

可得f+(y—2)2=(x—2)2+(y—Ip+4,化简可得4x-2y-5=0,

35

在硒丁平面内，令x=o,得y=5,令y=0，得％=^，则尸的轨迹的长度为

J(2一子+6=手口正确；

故选：ACD.

11.已知定义域为R的函数/(x),g(x),/'(x)是/(%)的导函数，且满足：

/'(尤)+g(x)=-f(4-x)+g(x-l)=2,g(x)—2是奇函数，则下列判断正确的是

()

A./‘(X)是奇函数B.r(3)=o

2024

c.g⑴+g⑵=2D.£g(，)=4048

i=l

K答案》ABD

I1解析U由解(x)+g(x)=2,得/'(—x)+g(—x)=2,

则/'(%)+g(x)+/'(—%)+g(f)=4,

又g(x)-2是奇函数，即g(—x)—2=—[g(x)—2],从而g(-%)+g(%)=4,

nx)+f(-x)=Q,

即/'(一%)=—/'(%),则/'(x)是奇函数，A正确;

对于B,在g(-x)+g(x)=4中,令x=o,可得g(0)=2,

在—/'(4—x)+gQ—1)=2中，令龙=1,可得一/'⑶+g(0)=2,从而r(3)=0,B正

确；

对于C,在一/'(4一%)+8(％-1)=2中，以4一%代X,可得一/'(%)+g(3—%)=2,

与/'(%)+g(%)=2求和，可得g(3—x)+g(x)=4,令x=2,可得g(l)+g⑵=4,C

错误；

对于D,由g(—x)+g(x)=4以及g(3-x)+g(x)=4,可得g(—x)=g(3—x),

从而g(3+x)=g(x),则g(x)是周期为3的周期函数，g(3)=g(0)=2,

g(l)+g(2)=4,

2024

£g(i)=674x[g⑴+g(2)+g(3)]+g⑴+g⑵=674x6+4=4048,D正确.

i=l

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数是方程公―2尤+10=0的两根，则Z：+Z]Z2+2Z2=.

K答案X4

K解析X由韦达定理有4+z2=2,Z]Z2=10,且z；—2Z]+10=0=>z；=2Z]—10,

所以z；+Z]Z?+222=2Z]—10+ZJZJ+2z2=2(z[+z?)+—10=4+10—10=4.

13.已知AB=4,点P是以线段AB为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它

与点B的距离的加倍，则1PMi的取值范围为.

[答案X[0,8+4近]

K解析工以中点。为坐标原点，A8所在直线为无轴，建立平面直角坐标系，

则A(-2,0),8(2,0),M(x,y),于是J(x+2『+y2="小-2『+y2,

化简得：X2+/-12X+4=0,即(x—6)2+/=32,

因此点M的轨迹是以。(6,0)为圆心，4垃为半径的一个圆，与。。的位置关系是相

交，

所以0W|PM|W8+4jI

14.对集合A={-l,2,x,y},其中％>0,y>0,定义向量集合

Q={ala=（m,n）,m,n&A},若对任意［eO,存在工^。，使得贝I

x+y=.

k答案』5或1+行

k解析U取7=（2,2）,则存在Z=（sj）使得瓦_1_）,从而可得2s+2f=0,即

s+1=0,

所以S"一定是一正一负（因为。不属于集合A）,不妨令$<，，则5=-1/=1,

所以f=leA,所以A={-1,2,1,机},（m>0）,

取q=（m,2）,则存在g=（M,V）使得从而可得加"+2v=0,

若M>0,V>0,则/〃"+2n>0矛盾，故"，v不可能同时大于0,

若M<0,V<0,则m〃+2v<0矛盾，故"，丫不可能同时小于0,

所以必定有一正一负，

所以有：u=-l<v,则ve{2,l,m},或v=—l<a,则〃e{2,l,、},

情况一：当〃=-l<v,ve{2,l,〃z}时，m—2v,

从而加=2x2=4,或m=2xl=2（舍去，集合元素间互异），或加=2加，即〃z=0

（舍去，与加>0矛盾），

此时光+y=/+m=l+4=5（这里不考虑具体无,V与才,"2的对应关系，因为由加法交换

律可知，两个加数交换位置不影响结果），

情况一：当v=-l<a,ue{2,l,m},mu=2,

从而2加=2,即〃z=l（舍去，集合元素间互异），或加=2（舍去，集合元素间互异），

或加2=2,（m>0）,即加=夜，

此时x+y=/+根=1+0（这里不考虑具体阳,与/,"2的对应关系，因为由加法交换律

可知，两个加数交换位置不影响结果），

综上所述，龙+丁=5或x+y=l+0.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.阳春三月，油菜花进入最佳观赏期，长沙县江背镇、望城光明村彭家老屋、浏阳达浒

油菜花田、岳麓区含泰社区油菜花田都免费向市民、游客开放，长沙某三所高级中学4

B,C组织学生去这四个景区春游，已知A,B两所学校去每个景区春游的可能性都相同，

C学校去岳麓区含泰社区春游的可能性为,，去其它三个景区春游的可能性相同.

2

(1)求望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率;

(2)长沙县江背镇迎来学校所数的分布列及数学期望.

解：(1)依题意’48两所学校去每个景区春游的概率都是:’

c学校去岳麓区含泰社区春游的概率为!，去其它三个景区春游的概率为‘

所以望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率为：P=(-)2x-=—.

4696

(2)依题意，长沙县江背镇迎来学校所数X的可能值为：0,1,2,3,

,,3515人,3113513

Pn(Xv=0)=(-)2x-=—,P(X=1)=(-)2x-+C*x-x-x-=—,

46327v46244632

P(X=2)=4)2x|+C^xix|xi=H,P(X=3)=4)2X1=-1,

46446964696

所以长沙县江背镇迎来学校所数X的分布列为：

X0123

1513111

p

32329696

15।13

数学期望E(X)=0x.+2cx-1-1--i-。3x——1二一2

323296963

16.如图，四棱锥尸-ABCD的底面ABCD是梯形，

//AD,PA=AB==1,AD=2,PC=6,PA，平面ABC。-

(1)求证：平面P3CJ_平面MB；

在棱上是否存在一点区使得二面角E-AC-尸的余弦值为好.若存在，求出

(2)

3

尸石:即的值；若不存在，请说明理由.

(1)证明：因为平面ABCD,8。,4?,48<=平面48。£),

所以PA，5cpA,AC,PA，AB,

因为PA=AB=BC=1,PC=百，

22

所以3=?。2—丛2=3-i=2=AB+BC，

所以ABL5C,

又因为申_18。,24八48=人,率,/止＜=平面^43,所以5CL平面2S,

因为NCu平面P3C,所以平面P3CL平面承B；

（2）解：因为5C,平面MB,BC//AD,所以AD,平面B4B,

又因为？A,A5u平面E43,所以AO，E4,AO，A3,又R4LAB,

所以AB,AD,AP两两互相垂直，

所以以点A为坐标原点，AB,AO,AP所在直线分别为羽％z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，

如图，c（l,1,0）,P（0,0,1）,D（0,2,0）,PD=（0,2-1）,

设而=4M=（O,22T）,（OWXWl）,

则荏=Q+而=（0,0,1）+（0,22,-彳）=（0,22,1-X）,

AC=（1,1,0）,设平面EAC的法向量为五=（Xi，yi，zi）,

n.-AC=0{x,+y,=0

则，一，即二八八C，取为=2—1,石=1一%4=24满足条件,

«1-AE=0[2肛+（1-4”1=0

所以可取瓦=（1—44—1,22）,

AC=（l,l,0）,AP=（0,0,1）,设平面PAC的法向量为a=（%2，%，22），

n,•AC=0x,+1=0

即’：2,取力=_1,解得％=1/2=0,

0=0

n2-AP=0

所以Z=（L-l,0）,

由题意gs雇词|%同|2—2川

叶同V2-^2（2-l）2+4223

1

化简并整理得（2—1）9-=4彳2,解得;1=§或4=—1（舍去）,

tuniinr

所以PE=—PD,

3

综上所述，棱尸。上是否存在一点E,且PE:ED=1:2,使得二面角E-AC-尸的余弦

值为运

3

17.己知抛物线石：丁2=2夕%（°〉0）的焦点为品过尸且斜率为2的直线与E交于A,B

两点，|AB|=10.

（1）求E的方程；

（2）直线/:x=T,过/上一点尸作E的两条切线尸M,PN,切点分别为M,N.求证：

直线MN过定点，并求出该定点坐标.

y2=2px

联立<1n,得V=0,则/=°2+4夕2>0,则%+%=。，

X=—y+—

I2，2

所以|AB\=Xy+xp=一~~।—+--■卜p=——=10,

212/

解得p=4,

故抛物线E的方程为：/=8x.

（2）设直线A/N的方程为x=2Y+，z,/（&,%），N（X4，%），

y2=

联立<，得/一^my-8〃=0,A—64m2+32n>0，即2m1+n>0»

x=my+n

所以为+%=8加，y3y4=-8〃，

令丹〉0,当y>0时，y2=8x可化为y=2后，则/=芈，

yjl/、4%

则在加处的切线PM的方程为：y—%=i=(x-&),即丁=一%+二，

U^%2

4y

同理可得切线PN的方程为：y=—x+U4，

为2

联立PM与PN的方程，解得％=2=-4，

「8

所以y3y4=-32=-8〃，则〃=4,满足2加2+〃〉0，

则直线跖V的方程为了=切+4,

所以直线MN过定点，该定点坐标为(4,0).

18.己知函数f(x)=ae2*—(<zx+2—a)e*+—x2.

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若/(龙)有两个零点，求。的取值范围.

解：(1)函数/(x)=ae"—(at+2—a)e*+—%2的定义域为R,

求导得/'(X)=2ae2x-{ax+2)el+x-(tze1-l)(2ex-x)，

令9(x)=2e*-x,求导得d(x)=2e*-1,当为<—ln2时，”(x)<0,当%>-ln2

时，(p(x)>0,

函数。(x)在(-8,Tn2)上递减，在(-In2,-+w)上递增,

^(%)>^(-ln2)=l+ln2>0,即2e*—x>0，

①当aW0时，ae“—1<0，/'(x)<0恒成立，/(%)在R上单调递减；

②当a>0时，由/'(x)<0,得尤<-Ina,由/'(x)>0,得x>-lna,

函数/(%)在(-8,Tna)上单调递减，在(-Ina,+<»)上单调递增，

所以当aWO时，/(光)在R上单调递减；

当a>0时，/(%)(一8,Tna)上单调递减，在(—Ina,+0。)上单调递增.

(2)由(1)知，当aWO时，/(x)在R上单调递减，/(x)在R上至多一个零点，不满

足条件，

["12112

当a>0时，/OOmin=/(-Ina)=1——+111〃+』♦,令g(a)=1---FIn,

a2a2

e,/、11Ina11、11

则g(〃)=—+—+---=—(Z—+1+1D4Z)=—(Z—+l-ln—),

aaaaaaaa

令式(x)=x-l-lnx,求导得/(%)=1-L

x

当Ovxvl时，u(x)<0,当%>1时，u\x)>0,

函数”(%)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,u(x)>u(l)=0,即

—]nx>l—x,

111?

于是g'(a)N—[—+1+(1——)]=->0,函数g(〃)在R上单调递增,而g⑴二。，

aaaa

则当Ovavl时，g(a)<0,当〃=1时，g(〃)=0,当a>l时，g(〃)>0,

①若Q>1,则/l(%)min=g(a)>0,故/(%)>。恒成立，/(%)无零点；

②若4=1,则/(力而n=g(a)=O，/(%)=0仅有一个实根》=—1114=0,不满足条件；

③若0<。<1,贝U/(x)min=g(a)<。,

注意到一Ina>0,f(-2)=4+手+2=.a+2-4>0,

eeee

31

于是/(x)在(-2,-Ina)上有一个实根，又ln(——1)〉In—=—In。，

aa

333313

且/(ln(——1))=a(——l)2—[aln(——1)+2—皿——l)+-ln2(——1)

aaaa2a

33313

>a(——I)2-[aln(——1)+2—翅——l)=(3-a)[——ln(——1)],

aaaaa

33_4

令h(x)=x-ln(3x-l)(x>1),则〃(％)=1———二r,

3x13x1

当1cx〈g时<0,当时/a)>o,

所以〃(x)在(1,7)上单调递减，在g,+8)上单调递增，/i(x)>/iO=J-ln3>0,

3333

1313

则——ln(——1)>0,又Ovavl,即3—a〉0,则有(3—，)[——ln(——1)]>0,

aaaa

33

即/(ln(——1))>0,于是/(x)在(-InaM——1))上有一个实根，

aa

又/(%)在(f,-lna)上单调递减，在(-In〃,内)上单调递增，因此/(%)在R上至多两

个实根，

3

又/(%)在(-2-Ina)及(-InaM——1))上均至少有一个实根，则/(%)在R上恰有两个

a

实根,

所以0＜。＜1时，/(九)在R上恰有两个实根.

19.角谷猜想，也称为“3〃+1”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以

2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1,如此反复运算，该数最终将变为1.这就是对一个

正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数4(4»2),按照上述规则实施第

1次运算后的结果记为q,实施第2次运算后的结果记为名，…，实施第1次运算后的

结果记为%实施第八次运算后得到数1,停止运算，便可以得到有穷数列

3ak+1%为奇数

必厂1,其递推关系式为：ak+l="a(k=0,l,2,--^n-l^Og

-y《为偶数

\Aak+1|a*为奇数

叫做数列的原始项•将此递推关系式推广为：以+i=a中皿

*t以为偶数

(A;=0,l,2,---,/z-l;2eZ,且九。0),其它规则不变，得到的数列记作｛4〜%｝数

列，试解答以下问题：

(1)若旬=5,则数列｛3〜an｝的项数为；

(2)求｛-1〜4｝数列的原始项a0的所有可能取值构成的集合；

(3)若对任意的｛1~%｝数列，均有210g24+1,求d的最小值.

解：(1)4=5,4=3x5+1=16,%=16+2=8,43=8+2=4,%=4+2=2,

%=2+2=1,所以数列｛3〜%｝的项数为5.

%-1,%为奇数

⑵…"以为偶数/=。/2…，1)，

下面证明对于任意的正整数当旬